Мера энтропийного риска
 | Эта статья может быть слишком технической для понимания большинства читателей . ( сентябрь 2010 г. ) |
В финансовой математике (которая связана с математическим моделированием финансовых рынков) энтропийная мера риска — это мера риска , которая зависит от неприятия риска пользователем посредством экспоненциальной функции полезности . Это возможная альтернатива другим мерам риска, таким как стоимость под риском или ожидаемый дефицит .
Это теоретически интересный показатель, поскольку он дает разные значения риска для разных людей, чье отношение к риску может различаться. Однако на практике его будет сложно использовать, поскольку количественно оценить неприятие риска для человека сложно. Энтропийная мера риска является ярким примером выпуклой меры риска , которая не является последовательной. [1] Учитывая связь с функциями полезности , его можно использовать в задачах максимизации полезности .
Математическое определение
[ редактировать ]Энтропийная мера риска с параметром неприятия риска определяется как
![{\displaystyle \rho ^{\mathrm {ent} }(X)={\frac {1}{\theta }}\log \left(\mathbb {E} [e^{-\theta X}]\right )=\sup _{Q\in {\mathcal {M}}_{1}}\left\{E^{Q}[-X]-{\frac {1}{\theta }}H(Q| P)\вправо\}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08cba67b97db6cc6893ebafcf1e0663c2a3ed009)
где — энтропия Q P << . относительная [3]
![{\displaystyle H(Q|P)=E\left[{\frac {dQ}{dP}}\log {\frac {dQ}{dP}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ccdf0b3b0d53a6dab206f8e9735c873ba1ae05e)
Приемочный комплект
[ редактировать ]Приемлемым множеством для меры энтропийного риска является множество выигрышей с положительной ожидаемой полезностью. То есть
![{\displaystyle A=\{X\in L^{p}({\mathcal {F}}):E[u(X)]\geq 0\} = \{X\in L^{p}({ \mathcal {F}}):E\left[e^{-\theta X}\right]\leq 1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80d6685215c56591efda8b664a22dccb36ba5cd1)
где – экспоненциальная функция полезности. [3]
Динамическая энтропийная мера риска
[ редактировать ]Условная мера риска , связанная с динамическим энтропийным риском с параметром неприятия риска дается
![{\displaystyle \rho _{t}^{\mathrm {ent} }(X)={\frac {1}{\theta }}\log \left(\mathbb {E} [e^{-\theta X }|{\mathcal {F}}_{t}]\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e34c785feea6ba5e954cc34b7129b27a6b119e22)
Это постоянная во времени мера риска, если постоянен во времени, [4] и может быть эффективно вычислен с использованием дифференциальных уравнений вперед-назад [5] [6] .
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Рудлофф, Биргит; Сасс, Йорн; Вундерлих, Ральф (21 июля 2008 г.). «Ограничения энтропийного риска для максимизации полезности» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 18 октября 2012 года . Проверено 22 июля 2010 г.
{{cite journal}}: Для цитирования журнала требуется|journal=( помощь ) - ^ Фёлльмер, Ганс; Шид, Александр (2004). Стохастические финансы: введение в дискретное время (2-е изд.). Вальтер де Грютер. стр. 174 . ISBN 978-3-11-018346-7 .
- ^ Jump up to: а б Фоллмер, Ганс; Шид, Александр (8 октября 2008 г.). «Выпуклые и последовательные меры риска» (PDF) . Проверено 22 июля 2010 г.
{{cite journal}}: Для цитирования журнала требуется|journal=( помощь ) - ^ Пеннер, Ирина (2007). «Динамические выпуклые меры риска: временная последовательность, осмотрительность и устойчивость» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 19 июля 2011 года . Проверено 3 февраля 2011 г.
{{cite journal}}: Для цитирования журнала требуется|journal=( помощь ) - ^ Гайндман, Коди; Крациос, Анастасис; Ван, Ренджи (2020). «Преобразование энтропийной меры» (pdf) . Канадский статистический журнал . 48 : 97–129. arXiv : 1511.06032 . дои : 10.1002/cjs.11537 . S2CID 159089174 .
- ^ Чонг, Винг Фунг; Ху, Ин; Лян, Гечунь; Зарифопулу, Талея (2019). «Эргодический подход BSDE к перенаправлению энтропийных мер риска: представление и поведение с большим сроком погашения» . Финансы и стохастика . 23 : 239–273. arXiv : 1607.02289 . дои : 10.1007/s00780-018-0377-3 . S2CID 16261697 .
