Динамическая мера риска

В финансовой математике мера условного риска — это случайная переменная финансового риска (особенно риска убытков ), как если бы он был измерен в какой-то момент в будущем. Меру риска можно рассматривать как условную меру риска на тривиальной сигма-алгебре .

Динамическая мера риска — это мера риска, которая рассматривает вопрос о том, как связаны оценки риска в разное время. Его можно интерпретировать как последовательность условных мер риска.

Другой подход к динамическому измерению риска был предложен Новаком.

Условная мера риска

Рассмотрим портфеля доходность в некоторый конечный момент времени. $T$ как случайная величина , которая равномерно ограничена , т. е. $X\in L^{\infty }\left({\mathcal {F}}_{T}\right)$ обозначает доходность портфеля. Отображение $\rho _{t}:L^{\infty }\left({\mathcal {F}}_{T}\right)\rightarrow L_{t}^{\infty }=L^{\infty }\left({\mathcal {F}}_{t}\right)$ является условной мерой риска, если она обладает следующими свойствами для случайной доходности портфеля $X,Y\in L^{\infty }\left({\mathcal {F}}_{T}\right)$:

Условная денежная инвариантность

$\forall m_{t}\in L_{t}^{\infty }:\;\rho _{t}(X+m_{t})=\rho _{t}(X)-m_{t}$

Монотонность

$\mathrm {If} \;X\leq Y\;\mathrm {then} \;\rho _{t}(X)\geq \rho _{t}(Y)$

Нормализация

$\rho _{t}(0)=0$

Если это условная выпуклая мера риска , то она также будет обладать свойством:

Условная выпуклость

$\forall \lambda \in L_{t}^{\infty },0\leq \lambda \leq 1:\rho _{t}(\lambda X+(1-\lambda )Y)\leq \lambda \rho _{t}(X)+(1-\lambda )\rho _{t}(Y)$

Условная когерентная мера риска – это условная выпуклая мера риска, которая дополнительно удовлетворяет:

Условная положительная однородность

$\forall \lambda \in L_{t}^{\infty },\lambda \geq 0:\rho _{t}(\lambda X)=\lambda \rho _{t}(X)$

Приемочный комплект

Основная статья: Приемочный набор

Приемка , установленная во время $t$ связанный с условной мерой риска,

$A_{t}=\{X\in L_{T}^{\infty }:\rho _{t}(X)\leq 0{\text{ a.s.}}\}$.

Если вам дали прием, установленный вовремя $t$ то соответствующая мера условного риска равна

$\rho _{t}={\text{ess}}\inf\{Y\in L_{t}^{\infty }:X+Y\in A_{t}\}$

где ${\text{ess}}\inf$ это самый низкий уровень .

Обычная недвижимость

Условная мера риска $\rho _{t}$ называется регулярным, если для любого $X\in L_{T}^{\infty }$ и $A\in {\mathcal {F}}_{t}$ затем $\rho _{t}(1_{A}X)=1_{A}\rho _{t}(X)$ где $1_{A}$ включена функция индикаторная $A$. Любая нормированная условная выпуклая мера риска является регулярной.

Финансовая интерпретация этого гласит, что условный риск в каком-то будущем узле (т. е. $\rho _{t}(X)[\omega ]$) зависит только от возможных состояний этого узла. В биномиальной модели это было бы похоже на вычисление риска для поддерева, ответвляющегося от рассматриваемой точки.

Свойство согласованности во времени

Основная статья: Согласованность времени

Динамическая мера риска является согласованной во времени тогда и только тогда, когда $\rho _{t+1}(X)\leq \rho _{t+1}(Y)\Rightarrow \rho _{t}(X)\leq \rho _{t}(Y)\;\forall X,Y\in L^{0}({\mathcal {F}}_{T})$.

Пример: динамическая цена суперхеджирования

Динамическая цена суперхеджирования включает в себя условные меры риска в форме $\rho _{t}(-X)=\operatorname {*} {ess\sup }_{Q\in EMM}\mathbb {E} ^{Q}[X|{\mathcal {F}}_{t}]$. Показано, что это временная мера риска.