Приемочный комплект

В финансовой математике приемочный набор – это набор приемлемого будущего собственного капитала, который приемлем для регулирующего органа . Это связано с мерами риска .

Математическое определение

Учитывая вероятностное пространство $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$и позволяя $L^{p}=L^{p}(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ — пространство Lp в скалярном случае и $L_{d}^{p}=L_{d}^{p}(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ в d-размерах, то мы можем определить приемочные множества, как показано ниже.

Скалярный случай

Приемочный набор – это набор $A$ удовлетворительно:

1. $A\supseteq L_{+}^{p}$
2. $A\cap L_{--}^{p}=\emptyset$ такой, что $L_{--}^{p}=\{X\in L^{p}:\forall \omega \in \Omega ,X(\omega )<0\}$
3. $A\cap L_{-}^{p}=\{0\}$
4. Кроме того, если $A$ выпукло , то это выпуклое приемочное множество
   1. И если $A$ является положительно однородным конусом, то это когерентное приемочное множество

Случай с множеством значений

Приемочный комплект (в пространстве с $d$ активы) представляет собой набор $A\subseteq L_{d}^{p}$ удовлетворительно:

1. $u\in K_{M}\Rightarrow u1\in A$ с $1$ обозначая случайную величину, которая постоянно равна 1 $\mathbb {P}$-как
2. $u\in -\mathrm {int} K_{M}\Rightarrow u1\not \in A$
3. $A$ замкнут направленно в $M$ с $A+u1\subseteq A\;\forall u\in K_{M}$
4. $A+L_{d}^{p}(K)\subseteq A$

Кроме того, если $A$ выпукло ( выпуклый конус ), то оно называется выпуклым (когерентным) приемочным множеством .

Обратите внимание, что $K_{M}=K\cap M$ где $K$ представляет собой конус постоянной платежеспособности и $M$ представляет собой набор портфелей $m$ справочные активы.

Связь с мерами риска

Приемное множество является выпуклым (когерентным) тогда и только тогда, когда соответствующая мера риска выпукла (когерентна). Как определено ниже, можно показать, что $R_{A_{R}}(X)=R(X)$ и $A_{R_{A}}=A$.

Набор мер риска для принятия

• Если $\rho$ является (скалярной) мерой риска, тогда $A_{\rho }=\{X\in L^{p}:\rho (X)\leq 0\}$ является приемочным множеством.
• Если $R$ является мерой риска с заданным значением, тогда $A_{R}=\{X\in L_{d}^{p}:0\in R(X)\}$ является приемочным множеством.

Приемка установлена ​​на меру риска

• Если $A$ является приемочным множеством (в 1-d), тогда $\rho _{A}(X)=\inf\{u\in \mathbb {R} :X+u1\in A\}$ определяет (скалярную) меру риска.
• Если $A$ тогда это приемочный набор $R_{A}(X)=\{u\in M:X+u1\in A\}$ является установленной мерой риска.

Примеры

Цена суперхеджирования

Основная статья: Цена суперхеджирования

Набор приемок, связанный с ценой суперхеджирования, является отрицательным набором значений самофинансируемого портфеля в терминальный момент. То есть

$A=\{-V_{T}:(V_{t})_{t=0}^{T}{\text{ is the price of a self-financing portfolio at each time}}\}$.

Мера энтропийного риска

Основная статья: Мера энтропийного риска

Приемлемый набор, связанный с мерой энтропийного риска, представляет собой набор выигрышей с положительной ожидаемой полезностью . То есть

$A=\{X\in L^{p}({\mathcal {F}}):E[u(X)]\geq 0\}=\{X\in L^{p}({\mathcal {F}}):E\left[e^{-\theta X}\right]\leq 1\}$

где $u(X)$ – экспоненциальная функция полезности .