Мера риска

Не путать с мерами риска отклонений , например, стандартным отклонением .

В финансовой математике мера риска используется для определения суммы актива или набора активов (традиционно валюты ), которые должны храниться в резерве. Целью этого резерва является сделать риски, принимаемые финансовыми учреждениями , такими как банки и страховые компании, приемлемыми для регулятора . В последние годы внимание переключилось на четкое и последовательное измерение риска .

Математически

Мера риска определяется как отображение набора случайных величин на действительные числа. Этот набор случайных величин представляет доходность портфеля. Общее обозначение меры риска, связанной со случайной величиной. $X$ является $\rho (X)$. Мера риска $\rho :{\mathcal {L}}\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}$ должен обладать определенными свойствами:

Нормализованный

$\rho (0)=0$

переводной

$\mathrm {If} \;a\in \mathbb {R} \;\mathrm {and} \;Z\in {\mathcal {L}},\;\mathrm {then} \;\rho (Z+a)=\rho (Z)-a$

монотонный

$\mathrm {If} \;Z_{1},Z_{2}\in {\mathcal {L}}\;\mathrm {and} \;Z_{1}\leq Z_{2},\;\mathrm {then} \;\rho (Z_{2})\leq \rho (Z_{1})$

множество значений

В ситуации с $\mathbb {R} ^{d}$-оцененные портфели, такие, что риск может быть измерен в $m\leq d$ активов, то набор портфелей является подходящим способом отобразить риск. Измерения риска с установленной стоимостью полезны для рынков с транзакционными издержками .

Математически

Установленная мера риска – это функция $R:L_{d}^{p}\rightarrow \mathbb {F} _{M}$, где $L_{d}^{p}$ это $d$-мерное пространство Lp , $\mathbb {F} _{M}=\{D\subseteq M:D=cl(D+K_{M})\}$, и $K_{M}=K\cap M$ где $K$ представляет собой конус постоянной платежеспособности и $M$ представляет собой набор портфелей $m$ справочные активы. $R$ должен иметь следующие свойства:

Нормализованный

$K_{M}\subseteq R(0){\text{ and }}R(0)\cap -\operatorname {int} K_{M}=\emptyset$

Перевод на М

$\forall X\in L_{d}^{p},\forall u\in M:R(X+u1)=R(X)-u$

монотонный

$\forall X_{2}-X_{1}\in L_{d}^{p}(K)\Rightarrow R(X_{2})\supseteq R(X_{1})$

Примеры

• Стоимость под угрозой
• Ожидаемый дефицит
• Наложенные меры риска
• Энтропийное значение под угрозой
• Просадка
• Хвостовое условное ожидание
• Мера энтропийного риска
• Цена суперхеджирования
• ожидаемый

Дисперсия

Дисперсия (или стандартное отклонение ) не является мерой риска в указанном выше смысле. Это видно, поскольку он не обладает ни свойством перевода, ни монотонностью. То есть, $Var(X+a)=Var(X)\neq Var(X)-a$ для всех $a\in \mathbb {R}$, и можно найти простой контрпример для монотонности. Стандартное отклонение является мерой риска отклонения . Во избежание путаницы обратите внимание, что меры риска отклонений, такие как дисперсия и стандартное отклонение, в разных областях иногда называют мерами риска.

Отношение к набору приемок

существует взаимно однозначное Между набором приемок и соответствующей мерой риска соответствие. Как определено ниже, можно показать, что $R_{A_{R}}(X)=R(X)$ и $A_{R_{A}}=A$.

Набор мер риска для приемки

• Если $\rho$ является (скалярной) мерой риска, тогда $A_{\rho }=\{X\in L^{p}:\rho (X)\leq 0\}$ является приемочным множеством.
• Если $R$ является мерой риска с заданным значением, тогда $A_{R}=\{X\in L_{d}^{p}:0\in R(X)\}$ является приемочным множеством.

Приемка установлена ​​на меру риска

• Если $A$ является приемочным множеством (в 1-d), тогда $\rho _{A}(X)=\inf\{u\in \mathbb {R} :X+u1\in A\}$ определяет (скалярную) меру риска.
• Если $A$ тогда это приемочный набор $R_{A}(X)=\{u\in M:X+u1\in A\}$ является установленной мерой риска.

Связь с мерой риска отклонения

Существует связь один к одному между мерой риска отклонения D и мерой риска, ограниченной ожиданием. $\rho$ где для любого $X\in {\mathcal {L}}^{2}$

• $D(X)=\rho (X-\mathbb {E} [X])$
• $\rho (X)=D(X)-\mathbb {E} [X]$.

$\rho$ называется ограниченным по ожиданию, если оно удовлетворяет $\rho (X)>\mathbb {E} [-X]$ для любых непостоянных X и $\rho (X)=\mathbb {E} [-X]$ для любой константы X .

См. также

• Последовательная мера риска
• Условная стоимость под риском
• Мера риска искажения
• Динамическая мера риска
• Энтропийное значение под угрозой
• Ожидаемый дефицит
• Управленческий учет рисков
• Управление рисками
• Метрика риска — абстрактная концепция, которую количественно определяет мера риска.
• Коэффициент доходности риска
• RiskMetrics - модель управления рисками
• Спектральная мера риска
• Стоимость под угрозой
• Мера риска наихудшего случая
• Минимизация эмпирического риска

Дальнейшее чтение

• Круи, Мишель; Д. Галай; Р. Марк (2001). Управление рисками . МакГроу-Хилл . стр. 752 страницы. ISBN  978-0-07-135731-9 .
• Кевин, Дауд (2005). Измерение рыночного риска (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья . стр. 410 страниц. ISBN  978-0-470-01303-8 .

• Фёлльмер, Ганс; Шид, Александр (2004). Стохастические финансы . Серия де Грюйтера по математике. Том. 27. Берлин: Вальтер де Грюйтер . стр. хи+459. ISBN  978-311-0183467 . МР   2169807 .
• Шапиро, Александр; Денчева, Даринка; Рущинский, Анджей (2009). Лекции по стохастическому программированию. Моделирование и теория . Серия MPS/SIAM по оптимизации. Том. 9. Филадельфия: Общество промышленной и прикладной математики . стр. xvi+436. ISBN  978-0898716870 . МР   2562798 .