Мера риска искажения

В финансовой математике и экономике мера риска искажения — это тип меры риска которая связана с кумулятивной функцией распределения доходности , финансового портфеля .

Математическое определение

Функция $\rho _{g}:L^{p}\to \mathbb {R}$ связанный с функцией искажения $g:[0,1]\to [0,1]$ является мерой риска искажения , если для любой случайной величины выигрышей $X\in L^{p}$ (где $L^{p}$ это Л ^п пространство ) тогда

$\rho _{g}(X)=-\int _{0}^{1}F_{-X}^{-1}(p)d{\tilde {g}}(p)=\int _{-\infty }^{0}{\tilde {g}}(F_{-X}(x))dx-\int _{0}^{\infty }g(1-F_{-X}(x))dx$

где $F_{-X}$ — кумулятивная функция распределения для $-X$ и ${\tilde {g}}$ это функция двойного искажения ${\tilde {g}}(u)=1-g(1-u)$.

Если $X\leq 0$ почти наверняка тогда $\rho _{g}$ задается интегралом Шоке , т.е. $\rho _{g}(X)=-\int _{0}^{\infty }g(1-F_{-X}(x))dx.$ Эквивалентно, $\rho _{g}(X)=\mathbb {E} ^{\mathbb {Q} }[-X]$ такой, что $\mathbb {Q}$ - вероятностная мера , порожденная $g$, то есть для любого $A\in {\mathcal {F}}$ сигма -алгебра тогда $\mathbb {Q} (A)=g(\mathbb {P} (A))$.

Характеристики

Помимо свойств общих мер риска, меры риска искажений также обладают:

1. Закон инвариантен : если распределение $X$ и $Y$ тогда они такие же $\rho _{g}(X)=\rho _{g}(Y)$.
2. Монотонный относительно стохастического доминирования первого порядка .
   1. Если $g$ — функция вогнутого искажения, тогда $\rho _{g}$ является монотонным относительно стохастического доминирования второго порядка.
3. $g$ является функцией вогнутого искажения тогда и только тогда, когда $\rho _{g}$ является последовательной мерой риска .

Примеры

• Величина риска – это мера риска искажения с соответствующей функцией искажения. $g(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}0\leq x<1-\alpha \\1&{\text{if }}1-\alpha \leq x\leq 1\end{cases}}.$
• Условное значение риска представляет собой меру риска искажения с соответствующей функцией искажения. $g(x)={\begin{cases}{\frac {x}{1-\alpha }}&{\text{if }}0\leq x<1-\alpha \\1&{\text{if }}1-\alpha \leq x\leq 1\end{cases}}.$
• Отрицательное ожидание — это мера риска искажения с соответствующей функцией искажения. $g(x)=x$.

См. также

• Мера риска
• Последовательная мера риска
• Мера риска отклонения
• Спектральная мера риска

Ссылки

• Ву, Сяньи; Сянь Чжоу (7 апреля 2006 г.). «Новая характеристика премий за искажения посредством счетной аддитивности для комонотонных рисков». Страхование: Математика и Экономика . 38 (2): 324–334. doi : 10.1016/j.insmatheco.2005.09.002 .