Спектральная мера риска

Спектральная мера риска — это мера риска, выраженная как средневзвешенное значение исходов, в которые плохие исходы обычно включаются с более высокими весами. Мера спектрального риска является функцией доходности портфеля и выводит сумму числового показателя (обычно валюты ), который необходимо хранить в резерве. Спектральная мера риска всегда является последовательной мерой риска , но обратное не всегда справедливо. Преимущество спектральных показателей заключается в том, что их можно связать с неприятием риска и, в частности, с функцией полезности через веса, придаваемые возможной доходности портфеля.

Определение

Рассмотрите портфолио $X$ (обозначает доходность портфеля). Тогда спектральная мера риска $M_{\phi }:{\mathcal {L}}\to \mathbb {R}$ где $\phi$ — неотрицательная, невозрастающая, непрерывная справа интегрируемая функция, определенная на $[0,1]$ такой, что $\int _{0}^{1}\phi (p)dp=1$ определяется

$M_{\phi }(X)=-\int _{0}^{1}\phi (p)F_{X}^{-1}(p)dp$

где $F_{X}$ — распределения X. функция кумулятивная

Если есть $S$ равновероятные исходы с соответствующими выигрышами, заданными порядковой статистикой $X_{1:S},...X_{S:S}$. Позволять $\phi \in \mathbb {R} ^{S}$. Мера $M_{\phi }:\mathbb {R} ^{S}\rightarrow \mathbb {R}$ определяется $M_{\phi }(X)=-\delta \sum _{s=1}^{S}\phi _{s}X_{s:S}$ является спектральной мерой риска, если $\phi \in \mathbb {R} ^{S}$ удовлетворяет условиям

1. Неотрицательность: $\phi _{s}\geq 0$ для всех $s=1,\dots ,S$,
2. Нормализация: $\sum _{s=1}^{S}\phi _{s}=1$,
3. Монотонность: $\phi _{s}$ не возрастает, то есть $\phi _{s_{1}}\geq \phi _{s_{2}}$ если ${s_{1}}<{s_{2}}$ и ${s_{1}},{s_{2}}\in \{1,\dots ,S\}$.

Характеристики

Меры по спектральному риску также являются последовательными . Каждая спектральная мера риска $\rho :{\mathcal {L}}\to \mathbb {R}$ удовлетворяет:

1. Положительная однородность: для каждого портфеля X и положительного значения. $\lambda >0$, $\rho (\lambda X)=\lambda \rho (X)$;
2. Трансляционная инвариантность: для каждого портфеля X и $\alpha \in \mathbb {R}$, $\rho (X+a)=\rho (X)-a$;
3. Монотонность: для всех портфелей X и Y таких, что $X\geq Y$, $\rho (X)\leq \rho (Y)$;
4. Субаддитивность: для всех портфелей X и Y , $\rho (X+Y)\leq \rho (X)+\rho (Y)$;
5. Закон-инвариантность: для всех портфелей X и Y с кумулятивными функциями распределения. $F_{X}$ и $F_{Y}$ соответственно, если $F_{X}=F_{Y}$ затем $\rho (X)=\rho (Y)$;
6. Комонотонная аддитивность: для каждой комонотонной случайной X и Y величины $\rho (X+Y)=\rho (X)+\rho (Y)$. Заметим, что X и Y комонотонны, если для любого $\omega _{1},\omega _{2}\in \Omega :\;(X(\omega _{2})-X(\omega _{1}))(Y(\omega _{2})-Y(\omega _{1}))\geq 0$.

В некоторых текстах вход X интерпретируется как убытки, а не как выигрыш портфеля. В этом случае свойство трансляционной инвариантности будет определяться выражением $\rho (X+a)=\rho (X)+a$, а свойство монотонности $X\geq Y\implies \rho (X)\geq \rho (Y)$ вместо вышеперечисленного.

Примеры

• Ожидаемый дефицит является спектральной мерой риска.
• Ожидаемое значение, является по сути, спектральной мерой риска.

См. также

• Мера риска искажения