Мера риска отклонения

В финансовой математике мера риска отклонения — это функция для количественной оценки финансового риска (и не обязательно риска снижения ) другим методом, чем общая мера риска . Меры риска отклонения обобщают концепцию стандартного отклонения .

Математическое определение

Функция $D:{\mathcal {L}}^{2}\to [0,+\infty ]$, где ${\mathcal {L}}^{2}$ — пространство L2 ( случайных величин случайная доходность портфеля ), — мера риска отклонения, если

1. Сдвиг-инвариант: $D(X+r)=D(X)$ для любого $r\in \mathbb {R}$
2. Нормализация: $D(0)=0$
3. Положительно однородные: $D(\lambda X)=\lambda D(X)$ для любого $X\in {\mathcal {L}}^{2}$ и $\lambda >0$
4. Сублинейность: не удалось проанализировать (SVG (MathML можно включить через плагин браузера): неверный ответ («Расширение Math не может подключиться к Restbase.») с сервера «http://localhost:6011/en.wikipedia.org/v1/» :): {\displaystyle D(X + Y) \leq D(X) + D(Y)} для любого $X,Y\in {\mathcal {L}}^{2}$
5. Позитивность: $D(X)>0$ для всех непостоянных X и $D(X)=0$ для любой константы X .

Связь с мерой риска

существует взаимосвязь один к одному Между мерой риска отклонения D ограниченной ожиданием и мерой риска, R, , где для любого $X\in {\mathcal {L}}^{2}$

• $D(X)=R(X-\mathbb {E} [X])$
• $R(X)=D(X)-\mathbb {E} [X]$.

R является ограниченным математическим ожиданием, если $R(X)>\mathbb {E} [-X]$ для любых непостоянных X и $R(X)=\mathbb {E} [-X]$ для любой константы X .

Если $D(X)<\mathbb {E} [X]-\operatorname {ess\inf } X$ для каждого X (где $\operatorname {ess\inf }$ — существенная нижняя грань ), то существует связь между D и когерентной мерой риска .

Примеры

Наиболее известными примерами мер по отклонению риска являются:

• Стандартное отклонение $\sigma (X)={\sqrt {E[(X-EX)^{2}]}}$;
• Среднее абсолютное отклонение $MAD(X)=E(|X-EX|)$;
• Нижние и верхние полуотклонения $\sigma _{-}(X)={\sqrt {{E[(X-EX)_{-}}^{2}]}}$ и $\sigma _{+}(X)={\sqrt {{E[(X-EX)_{+}}^{2}]}}$, где $[X]_{-}:=\max\{0,-X\}$ и $[X]_{+}:=\max\{0,X\}$;
• Отклонения на основе диапазона, например, $D(X)=EX-\inf X$ и $D(X)=\sup X-\inf X$;
• Отклонение условного значения риска (CVaR), определенное для любого $\alpha \in (0,1)$ к ${\rm {CVaR}}_{\alpha }^{\Delta }(X)\equiv ES_{\alpha }(X-EX)$, где $ES_{\alpha }(X)$ Ожидается дефицит .

См. также

• Единый риск