Ожидаемый дефицит

Ожидаемый дефицит ( ES ) — это мера риска — концепция, используемая в области измерения финансового риска для оценки рыночного риска или кредитного риска портфеля. «Ожидаемый дефицит на уровне q%» — это ожидаемая доходность портфеля в худшем случае. $q\%$ случаев. ES является альтернативой стоимости под риском , которая более чувствительна к форме хвоста распределения убытков.

Ожидаемый дефицит также называется условной стоимостью под риском ( CVaR ), среднее значение риска ( AVaR ), ожидаемая хвостовая потеря ( ETL ) и суперквантиль .

ES оценивает риск инвестиций консервативным способом, уделяя особое внимание менее прибыльным результатам. Для высоких значений $q$ он игнорирует наиболее выгодные, но маловероятные возможности, а при небольших значениях $q$ он фокусируется на худших потерях. С другой стороны, в отличие от дисконтированного максимального убытка даже при меньших значениях $q$ ожидаемый дефицит не учитывает только один наиболее катастрофический результат. Значение $q$ на практике часто используется 5%.

Ожидаемый дефицит считается более полезным показателем риска, чем VaR, поскольку он является последовательным спектральным показателем риска финансового портфеля. Он рассчитывается для заданного квантильного уровня. $q$ и определяется как средняя потеря стоимости портфеля при условии, что убыток происходит на уровне или ниже $q$-квантиль.

Формальное определение

Если $X\in L^{p}({\mathcal {F}})$ ( Л ^п ) — это доходность портфеля в некоторый момент в будущем и $0<\alpha <1$ то мы определяем ожидаемый дефицит как

$\operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-{\frac {1}{\alpha }}\int _{0}^{\alpha }\operatorname {VaR} _{\gamma }(X)\,d\gamma$

где $\operatorname {VaR} _{\gamma }$ это стоимость, подверженная риску . Это можно эквивалентно записать как

$\operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-{\frac {1}{\alpha }}\left(\operatorname {E} [X\ 1_{\{X\leq x_{\alpha }\}}]+x_{\alpha }(\alpha -P[X\leq x_{\alpha }])\right)$

где $x_{\alpha }=\inf\{x\in \mathbb {R} :P(X\leq x)\geq \alpha \}=-\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)$ это нижний $\alpha$- квантиль и $1_{A}(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x\in A\\0&{\text{else}}\end{cases}}$ – индикаторная функция . Заметим, что второе слагаемое обращается в нуль для случайных величин с непрерывными функциями распределения.

Двойное представление – это

$\operatorname {ES} _{\alpha }(X)=\inf _{Q\in {\mathcal {Q}}_{\alpha }}E^{Q}[X]$

где ${\mathcal {Q}}_{\alpha }$ — это набор вероятностных мер , абсолютно непрерывных по отношению к физической мере $P$ такой, что ${\frac {dQ}{dP}}\leq \alpha ^{-1}$ почти наверняка . Обратите внимание, что ${\frac {dQ}{dP}}$ – Радона–Никодима производная $Q$ относительно $P$.

Ожидаемый дефицит можно обобщить на общий класс последовательных мер риска по $L^{p}$ пространства ( пространство Lp ) с соответствующей двойственной характеризацией в соответствующей $L^{q}$ двойное пространство . Домен может быть расширен для более общих Orlicz Hearts.

Если базовое распределение для $X$ является непрерывным распределением, то ожидаемый дефицит эквивалентен хвостовому условному ожиданию, определяемому формулой $\operatorname {TCE} _{\alpha }(X)=E[-X\mid X\leq -\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)]$.

Неформально и нестрого это уравнение сводится к следующему: «Каков наш средний убыток в случае потерь, настолько серьезных, что они происходят только в альфа-процентах времени?»

Ожидаемый дефицит также можно записать как меру риска искажения, определяемую функцией искажения.

$g(x)={\begin{cases}{\frac {x}{1-\alpha }}&{\text{if }}0\leq x<1-\alpha ,\\1&{\text{if }}1-\alpha \leq x\leq 1.\end{cases}}\quad$

Примеры

Пример 1. Если мы считаем, что наш средний убыток при худших 5% возможных результатов для нашего портфеля составляет 1000 евро, то мы можем сказать, что наш ожидаемый дефицит составляет 1000 евро для хвоста в 5%.

Пример 2. Рассмотрим портфель, который на конец периода будет иметь следующие возможные значения:

вероятность события	конечное значение портфолио
10%	0
30%	80
40%	100
20%	150

Теперь предположим, что в начале периода мы заплатили 100 за этот портфель. Тогда прибыль в каждом случае равна ( конечная стоимость −100) или:

вероятность события	выгода
10%	−100
30%	−20
40%	0
20%	50

По этой таблице рассчитаем ожидаемый дефицит. $\operatorname {ES} _{q}$ для нескольких значений $q$:

$q$	ожидаемый дефицит $\operatorname {ES} _{q}$
5%	100
10%	100
20%	60
30%	46. 6
40%	40
50%	32
60%	26. 6
80%	20
90%	12. 2
100%	6

Чтобы увидеть, как были рассчитаны эти значения, рассмотрим расчет $\operatorname {ES} _{0.05}$, ожидание в худших 5% случаев. Эти случаи относятся к подмножеством строке 1 таблицы прибыли (являются ее ) и имеют прибыль -100 (общий убыток от 100 инвестированных). Ожидаемая прибыль для этих случаев равна −100.

Теперь рассмотрим расчет $\operatorname {ES} _{0.20}$, ожидание в худших 20 случаях из 100. Эти случаи следующие: 10 случаев из первой строки и 10 случаев из второй строки (обратите внимание, что 10+10 равняется желаемым 20 случаям). Для строки 1 прибыль равна -100, а для строки 2 - прибыль -20. Используя формулу ожидаемого значения, мы получаем

${\frac {{\frac {10}{100}}(-100)+{\frac {10}{100}}(-20)}{\frac {20}{100}}}=-60.$

Аналогично для любого значения $q$. Мы выбираем столько строк, начиная сверху, сколько необходимо, чтобы получить кумулятивную вероятность $q$ а затем рассчитать ожидание для этих случаев. Как правило, последняя выбранная строка может использоваться не полностью (например, при расчете $-\operatorname {ES} _{0.20}$ мы использовали только 10 из 30 случаев на 100, указанных в строке 2).

В качестве последнего примера вычислите $-\operatorname {ES} _{1}$. Это ожидание для всех случаев, или

$0.1(-100)+0.3(-20)+0.4\cdot 0+0.2\cdot 50=-6.\,$

Значение риска (VaR) приведено ниже для сравнения.

$q$	$\operatorname {VaR} _{q}$
$0\%\leq q<10\%$	−100
$10\%\leq q<40\%$	−20
$40\%\leq q<80\%$	0
$80\%\leq q\leq 100\%$	50

Характеристики

Ожидаемый дефицит $\operatorname {ES} _{q}$ увеличивается по мере $q$ уменьшается.

Ожидаемый дефицит в 100%-м квантиле $\operatorname {ES} _{1}$ равно отрицательному значению ожидаемой стоимости портфеля.

Для данного портфеля ожидаемый дефицит $\operatorname {ES} _{q}$ больше или равно значению риска $\operatorname {VaR} _{q}$ в то же время $q$ уровень.

Оптимизация ожидаемого дефицита

Известно, что ожидаемый дефицит в его стандартной форме приводит к обычно невыпуклой задаче оптимизации. Однако можно преобразовать проблему в линейную программу и найти глобальное решение. Это свойство делает ожидаемый дефицит краеугольным камнем альтернатив средней дисперсии оптимизации портфеля , которые учитывают более высокие моменты (например, асимметрию и эксцесс) распределения доходности.

Предположим, мы хотим минимизировать ожидаемый дефицит портфеля. Ключевым вкладом Рокафеллара и Урясева в их статье 2000 года является введение вспомогательной функции $F_{\alpha }(w,\gamma )$ ожидаемый дефицит: $$F_{\alpha }(w,\gamma )=\gamma +{1 \over {1-\alpha }}\int _{\ell (w,x)\geq \gamma }\left[\ell (w,x)-\gamma \right]_{+}p(x)\,dx$$Где $\gamma =\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)$ и $\ell (w,x)$ — это функция потерь для набора весов портфеля $w\in \mathbb {R} ^{p}$ применять к доходам. Рокафеллар/Урясев доказали, что $F_{\alpha }(w,\gamma )$ является выпуклым относительно $\gamma$ и эквивалентен ожидаемому дефициту в минимальной точке. Чтобы численно вычислить ожидаемый дефицит набора доходностей портфеля, необходимо сгенерировать $J$ моделирование составляющих портфеля; это часто делается с помощью копул . Имея это моделирование, вспомогательную функцию можно аппроксимировать следующим образом: $${\widetilde {F}}_{\alpha }(w,\gamma )=\gamma +{1 \over {(1-\alpha )J}}\sum _{j=1}^{J}[\ell (w,x_{j})-\gamma ]_{+}$$Это эквивалентно формулировке: $$\min _{\gamma ,z,w}\;\gamma +{1 \over {(1-\alpha )J}}\sum _{j=1}^{J}z_{j},\quad {\text{s.t. }}z_{j}\geq \ell (w,x_{j})-\gamma ,\;z_{j}\geq 0$$ Наконец, выбрав линейную функцию потерь $\ell (w,x_{j})=-w^{T}x_{j}$ превращает задачу оптимизации в линейную программу. Используя стандартные методы, легко найти портфель, который минимизирует ожидаемый дефицит.

Формулы для непрерывных распределений вероятностей

Существуют формулы закрытой формы для расчета ожидаемого дефицита при выплате портфеля. $X$ или соответствующая потеря $L=-X$ следует определенному непрерывному распределению. В первом случае ожидаемый дефицит соответствует числу, противоположному левостороннему условному ожиданию ниже $-\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)$:

$\operatorname {ES} _{\alpha }(X)=E[-X\mid X\leq -\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)]=-{\frac {1}{\alpha }}\int _{0}^{\alpha }\operatorname {VaR} _{\gamma }(X)\,d\gamma =-{\frac {1}{\alpha }}\int _{-\infty }^{-\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)}xf(x)\,dx.$

Типичные значения ${\textstyle \alpha }$ в данном случае составляют 5% и 1%.

Для инженерных или актуарных приложений чаще рассматривают распределение убытков. $L=-X$, ожидаемый дефицит в этом случае соответствует правому условному ожиданию выше $\operatorname {VaR} _{\alpha }(L)$ и типичные значения $\alpha$ составляют 95% и 99%:

$\operatorname {ES} _{\alpha }(L)=\operatorname {E} [L\mid L\geq \operatorname {VaR} _{\alpha }(L)]={\frac {1}{1-\alpha }}\int _{\alpha }^{1}\operatorname {VaR} _{\gamma }(L)\,d\gamma ={\frac {1}{1-\alpha }}\int _{\operatorname {VaR} _{\alpha }(L)}^{+\infty }yf(y)\,dy.$

Поскольку некоторые формулы, приведенные ниже, были выведены для левостороннего случая, а некоторые — для правостороннего, могут быть полезны следующие согласования:

$\operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-{\frac {1}{\alpha }}\operatorname {E} [X]+{\frac {1-\alpha }{\alpha }}\operatorname {ES} _{\alpha }(L){\text{ and }}\operatorname {ES} _{\alpha }(L)={\frac {1}{1-\alpha }}\operatorname {E} [L]+{\frac {\alpha }{1-\alpha }}\operatorname {ES} _{\alpha }(X).$

Нормальное распределение

Если доходность портфеля $X$ следует нормальному (гауссову) распределению с pdf $f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$ тогда ожидаемый дефицит равен $\operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\mu +\sigma {\frac {\varphi (\Phi ^{-1}(\alpha ))}{\alpha }}$, где $\varphi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}$ это стандартный обычный pdf, $\Phi (x)$ это стандартный нормальный cdf, поэтому $\Phi ^{-1}(\alpha )$ — стандартный нормальный квантиль.

Если потеря портфеля $L$ следует нормальному распределению, ожидаемый дефицит равен $\operatorname {ES} _{\alpha }(L)=\mu +\sigma {\frac {\varphi (\Phi ^{-1}(\alpha ))}{1-\alpha }}$.

Обобщенное t-распределение Стьюдента

Если доходность портфеля $X$ следует обобщенному t-распределению Стьюдента с pdf $f(x)={\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right){\sqrt {\pi \nu }}\sigma }}\left(1+{\frac {1}{\nu }}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}$ тогда ожидаемый дефицит равен $\operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\mu +\sigma {\frac {\nu +(\mathrm {T} ^{-1}(\alpha ))^{2}}{\nu -1}}{\frac {\tau (\mathrm {T} ^{-1}(\alpha ))}{\alpha }}$, где $\tau (x)={\frac {\Gamma {\bigl (}{\frac {\nu +1}{2}}{\bigr )}}{\Gamma {\bigl (}{\frac {\nu }{2}}{\bigr )}{\sqrt {\pi \nu }}}}{\Bigl (}1+{\frac {x^{2}}{\nu }}{\Bigr )}^{-{\frac {\nu +1}{2}}}$ это стандартный PDF-файл t-распределения, $\mathrm {T} (x)$ является стандартным t-распределением cdf, поэтому $\mathrm {T} ^{-1}(\alpha )$ — стандартный квантиль t-распределения.

Если потеря портфеля $L$ следует обобщенному t-распределению Стьюдента, ожидаемый дефицит равен $\operatorname {ES} _{\alpha }(L)=\mu +\sigma {\frac {\nu +(\mathrm {T} ^{-1}(\alpha ))^{2}}{\nu -1}}{\frac {\tau (\mathrm {T} ^{-1}(\alpha ))}{1-\alpha }}$.

Распределение Лапласа

Если доходность портфеля $X$ следует распределению Лапласа с PDF-файлом

$f(x)={\frac {1}{2b}}e^{-|x-\mu |/b}$

и компакт-диск

$F(x)={\begin{cases}1-{\frac {1}{2}}e^{-(x-\mu )/b}&{\text{if }}x\geq \mu ,\\[4pt]{\frac {1}{2}}e^{(x-\mu )/b}&{\text{if }}x<\mu .\end{cases}}$

тогда ожидаемый дефицит равен $\operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\mu +b(1-\ln 2\alpha )$ для $\alpha \leq 0.5$.

Если потеря портфеля $L$ следует распределению Лапласа, ожидаемый дефицит равен

$\operatorname {ES} _{\alpha }(L)={\begin{cases}\mu +b{\frac {\alpha }{1-\alpha }}(1-\ln 2\alpha )&{\text{if }}\alpha <0.5,\\[4pt]\mu +b[1-\ln(2(1-\alpha ))]&{\text{if }}\alpha \geq 0.5.\end{cases}}$

Логистическое распределение

Если доходность портфеля $X$ следит за логистическим распределением в формате pdf $f(x)={\frac {1}{s}}e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}\left(1+e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}\right)^{-2}$ и компакт-диск $F(x)=\left(1+e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}\right)^{-1}$ тогда ожидаемый дефицит равен $\operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\mu +s\ln {\frac {(1-\alpha )^{1-{\frac {1}{\alpha }}}}{\alpha }}$.

Если потеря портфеля $L$ следует логистическому распределению , ожидаемый дефицит равен $\operatorname {ES} _{\alpha }(L)=\mu +s{\frac {-\alpha \ln \alpha -(1-\alpha )\ln(1-\alpha )}{1-\alpha }}$.

Экспоненциальное распределение

Если потеря портфеля $L$ следует экспоненциальному распределению с pdf $f(x)={\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x}&{\text{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}$ и компакт-диск $F(x)={\begin{cases}1-e^{-\lambda x}&{\text{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}$ тогда ожидаемый дефицит равен $\operatorname {ES} _{\alpha }(L)={\frac {-\ln(1-\alpha )+1}{\lambda }}$.

Распределение Парето

Если потеря портфеля $L$ следует распределению Парето с pdf $f(x)={\begin{cases}{\frac {ax_{m}^{a}}{x^{a+1}}}&{\text{if }}x\geq x_{m},\\0&{\text{if }}x<x_{m}.\end{cases}}$ и компакт-диск $F(x)={\begin{cases}1-(x_{m}/x)^{a}&{\text{if }}x\geq x_{m},\\0&{\text{if }}x<x_{m}.\end{cases}}$ тогда ожидаемый дефицит равен $\operatorname {ES} _{\alpha }(L)={\frac {x_{m}a}{(1-\alpha )^{1/a}(a-1)}}$.

Обобщенное распределение Парето (GPD)

Если потеря портфеля $L$ следует GPD с pdf

$f(x)={\frac {1}{s}}\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{s}}\right)^{\left(-{\frac {1}{\xi }}-1\right)}$

и компакт-диск

$F(x)={\begin{cases}1-\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{s}}\right)^{-1/\xi }&{\text{if }}\xi \neq 0,\\1-\exp \left(-{\frac {x-\mu }{s}}\right)&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}$

тогда ожидаемый дефицит равен

$\operatorname {ES} _{\alpha }(L)={\begin{cases}\mu +s\left[{\frac {(1-\alpha )^{-\xi }}{1-\xi }}+{\frac {(1-\alpha )^{-\xi }-1}{\xi }}\right]&{\text{if }}\xi \neq 0,\\\mu +s\left[1-\ln(1-\alpha )\right]&{\text{if }}\xi =0,\end{cases}}$

и VaR равен

$\operatorname {VaR} _{\alpha }(L)={\begin{cases}\mu +s{\frac {(1-\alpha )^{-\xi }-1}{\xi }}&{\text{if }}\xi \neq 0,\\\mu -s\ln(1-\alpha )&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}$

Распределение Вейбулла

Если потеря портфеля $L$ соответствует распределению Вейбулла с pdf $f(x)={\begin{cases}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}&{\text{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}$ и компакт-диск $F(x)={\begin{cases}1-e^{-(x/\lambda )^{k}}&{\text{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}$ тогда ожидаемый дефицит равен $\operatorname {ES} _{\alpha }(L)={\frac {\lambda }{1-\alpha }}\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}},-\ln(1-\alpha )\right)$, где $\Gamma (s,x)$ – верхняя неполная гамма-функция .

Обобщенное распределение экстремальных значений (GEV)

Если доходность портфеля $X$ следует за GEV в формате pdf $f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{\sigma }}\left(1+\xi {\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{-{\frac {1}{\xi }}-1}\exp \left[-\left(1+\xi {\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{-{1}/{\xi }}\right]&{\text{if }}\xi \neq 0,\\{\frac {1}{\sigma }}e^{-{\frac {x-\mu }{\sigma }}}e^{-e^{-{\frac {x-\mu }{\sigma }}}}&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}$ и компакт-диск $F(x)={\begin{cases}\exp \left(-\left(1+\xi {\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{-{1}/{\xi }}\right)&{\text{if }}\xi \neq 0,\\\exp \left(-e^{-{\frac {x-\mu }{\sigma }}}\right)&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}$ тогда ожидаемый дефицит равен $\operatorname {ES} _{\alpha }(X)={\begin{cases}-\mu -{\frac {\sigma }{\alpha \xi }}{\big [}\Gamma (1-\xi ,-\ln \alpha )-\alpha {\big ]}&{\text{if }}\xi \neq 0,\\-\mu -{\frac {\sigma }{\alpha }}{\big [}{\text{li}}(\alpha )-\alpha \ln(-\ln \alpha ){\big ]}&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}$ и VaR равен $\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)={\begin{cases}-\mu -{\frac {\sigma }{\xi }}\left[(-\ln \alpha )^{-\xi }-1\right]&{\text{if }}\xi \neq 0,\\-\mu +\sigma \ln(-\ln \alpha )&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}$, где $\Gamma (s,x)$ — верхняя неполная гамма-функция , $\mathrm {li} (x)=\int {\frac {dx}{\ln x}}$ – логарифмическая интегральная функция .

Если потеря портфеля $L$ следует за GEV , то ожидаемый дефицит равен $\operatorname {ES} _{\alpha }(X)={\begin{cases}\mu +{\frac {\sigma }{(1-\alpha )\xi }}{\bigl [}\gamma (1-\xi ,-\ln \alpha )-(1-\alpha ){\bigr ]}&{\text{if }}\xi \neq 0,\\\mu +{\frac {\sigma }{1-\alpha }}{\bigl [}y-{\text{li}}(\alpha )+\alpha \ln(-\ln \alpha ){\bigr ]}&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}$, где $\gamma (s,x)$ — нижняя неполная гамма-функция , $y$ — постоянная Эйлера-Машерони .

Распределение обобщенного гиперболического секанса (GHS)

Если доходность портфеля $X$ соответствует распространению СГС в формате pdf $f(x)={\frac {1}{2\sigma }}\operatorname {sech} \left({\frac {\pi }{2}}{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)$и компакт-диск $F(x)={\frac {2}{\pi }}\arctan \left[\exp \left({\frac {\pi }{2}}{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)\right]$ тогда ожидаемый дефицит равен $\operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\mu -{\frac {2\sigma }{\pi }}\ln \left(\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}\right)-{\frac {2\sigma }{\pi ^{2}\alpha }}i\left[\operatorname {Li} _{2}\left(-i\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}\right)-\operatorname {Li} _{2}\left(i\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}\right)\right]$, где $\operatorname {Li} _{2}$ это дилогарифм и $i={\sqrt {-1}}$ является мнимой единицей.

SU-распределение Джонсона

Если доходность портфеля $X$ следует за SU-распределением Джонсона с помощью cdf $F(x)=\Phi \left[\gamma +\delta \sinh ^{-1}\left({\frac {x-\xi }{\lambda }}\right)\right]$ тогда ожидаемый дефицит равен $\operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\xi -{\frac {\lambda }{2\alpha }}\left[\exp \left({\frac {1-2\gamma \delta }{2\delta ^{2}}}\right)\;\Phi \left(\Phi ^{-1}(\alpha )-{\frac {1}{\delta }}\right)-\exp \left({\frac {1+2\gamma \delta }{2\delta ^{2}}}\right)\;\Phi \left(\Phi ^{-1}(\alpha )+{\frac {1}{\delta }}\right)\right]$, где $\Phi$ это CDF стандартного нормального распределения.

Распределение заусенцев типа XII

Если доходность портфеля $X$ следует распределению Берра типа XII. PDF-файл $f(x)={\frac {ck}{\beta }}\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{c-1}\left[1+\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{c}\right]^{-k-1}$ и компакт-диск $F(x)=1-\left[1+\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{c}\right]^{-k}$, ожидаемый дефицит равен $\operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\gamma -{\frac {\beta }{\alpha }}\left((1-\alpha )^{-1/k}-1\right)^{1/c}\left[\alpha -1+{_{2}F_{1}}\left({\frac {1}{c}},k;1+{\frac {1}{c}};1-(1-\alpha )^{-1/k}\right)\right]$, где $_{2}F_{1}$ — гипергеометрическая функция . Альтернативно, $\operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\gamma -{\frac {\beta }{\alpha }}{\frac {ck}{c+1}}\left((1-\alpha )^{-1/k}-1\right)^{1+{\frac {1}{c}}}{_{2}F_{1}}\left(1+{\frac {1}{c}},k+1;2+{\frac {1}{c}};1-(1-\alpha )^{-1/k}\right)$.

Распределение игл

Если доходность портфеля $X$ соответствует дистрибутиву Дагума с pdf $f(x)={\frac {ck}{\beta }}\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{ck-1}\left[1+\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{c}\right]^{-k-1}$ и компакт-диск $F(x)=\left[1+\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{-c}\right]^{-k}$, ожидаемый дефицит равен $\operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\gamma -{\frac {\beta }{\alpha }}{\frac {ck}{ck+1}}\left(\alpha ^{-1/k}-1\right)^{-k-{\frac {1}{c}}}{_{2}F_{1}}\left(k+1,k+{\frac {1}{c}};k+1+{\frac {1}{c}};-{\frac {1}{\alpha ^{-1/k}-1}}\right)$, где $_{2}F_{1}$ — гипергеометрическая функция .

Логнормальное распределение

Если доходность портфеля $X$ следует логнормальному распределению , т.е. случайной величине $\ln(1+X)$ следует нормальному распределению с pdf $f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$, то ожидаемый дефицит равен $\operatorname {ES} _{\alpha }(X)=1-\exp \left(\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right){\frac {\Phi \left(\Phi ^{-1}(\alpha )-\sigma \right)}{\alpha }}$, где $\Phi (x)$ это стандартный нормальный cdf, поэтому $\Phi ^{-1}(\alpha )$ — стандартный нормальный квантиль.

Лог-логистическая дистрибуция

Если доходность портфеля $X$ следует логарифмическому распределению , т.е. случайной величине $\ln(1+X)$ следит за логистическим распределением в формате pdf $f(x)={\frac {1}{s}}e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}\left(1+e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}\right)^{-2}$, то ожидаемый дефицит равен $\operatorname {ES} _{\alpha }(X)=1-{\frac {e^{\mu }}{\alpha }}I_{\alpha }(1+s,1-s){\frac {\pi s}{\sin \pi s}}$, где $I_{\alpha }$ — регуляризованная неполная бета-функция , $I_{\alpha }(a,b)={\frac {\mathrm {B} _{\alpha }(a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}$.

Поскольку неполная бета-функция определяется только для положительных аргументов, в более общем случае ожидаемый дефицит можно выразить с помощью гипергеометрической функции : $\operatorname {ES} _{\alpha }(X)=1-{\frac {e^{\mu }\alpha ^{s}}{s+1}}{_{2}F_{1}}(s,s+1;s+2;\alpha )$.

Если потеря портфеля $L$ следует за распределением логистики в формате pdf $f(x)={\frac {{\frac {b}{a}}(x/a)^{b-1}}{(1+(x/a)^{b})^{2}}}$ и компакт-диск $F(x)={\frac {1}{1+(x/a)^{-b}}}$, то ожидаемый дефицит равен $\operatorname {ES} _{\alpha }(L)={\frac {a}{1-\alpha }}\left[{\frac {\pi }{b}}\csc \left({\frac {\pi }{b}}\right)-\mathrm {B} _{\alpha }\left({\frac {1}{b}}+1,1-{\frac {1}{b}}\right)\right]$, где $B_{\alpha }$ – неполная бета-функция .

Лог-распределение Лапласа

Если доходность портфеля $X$ следует логарифмическому распределению Лапласа , т.е. случайной величине $\ln(1+X)$ следует распределению Лапласа в формате pdf $f(x)={\frac {1}{2b}}e^{-{\frac {|x-\mu |}{b}}}$, то ожидаемый дефицит равен

$\operatorname {ES} _{\alpha }(X)={\begin{cases}1-{\frac {e^{\mu }(2\alpha )^{b}}{b+1}}&{\text{if }}\alpha \leq 0.5,\\1-{\frac {e^{\mu }2^{-b}}{\alpha (b-1)}}\left[(1-\alpha )^{(1-b)}-1\right]&{\text{if }}\alpha >0.5.\end{cases}}$

Логарифмически-обобщенное гиперболическое секущее (log-GHS) распределение

Если доходность портфеля $X$ следует логарифмическому распределению СГС, т.е. случайной величине $\ln(1+X)$ соответствует распространению СГС в формате pdf $f(x)={\frac {1}{2\sigma }}\operatorname {sech} \left({\frac {\pi }{2}}{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)$, то ожидаемый дефицит равен

$\operatorname {ES} _{\alpha }(X)=1-{\frac {1}{\alpha (\sigma +{\pi /2})}}\left(\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}\exp {\frac {\pi \mu }{2\sigma }}\right)^{2\sigma /\pi }\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}{_{2}F_{1}}\left(1,{\frac {1}{2}}+{\frac {\sigma }{\pi }};{\frac {3}{2}}+{\frac {\sigma }{\pi }};-\tan \left({\frac {\pi \alpha }{2}}\right)^{2}\right),$

где $_{2}F_{1}$ — гипергеометрическая функция .

Динамический ожидаемый дефицит

Условная формулой версия ожидаемого дефицита в момент времени t определяется

$\operatorname {ES} _{\alpha }^{t}(X)=\operatorname {ess\sup } _{Q\in {\mathcal {Q}}_{\alpha }^{t}}E^{Q}[-X\mid {\mathcal {F}}_{t}]$

где ${\mathcal {Q}}_{\alpha }^{t}=\left\{Q=P\,\vert _{{\mathcal {F}}_{t}}:{\frac {dQ}{dP}}\leq \alpha _{t}^{-1}{\text{ a.s.}}\right\}$.

Это не временная мера риска. Согласованная во времени версия имеет вид

$\rho _{\alpha }^{t}(X)=\operatorname {ess\sup } _{Q\in {\tilde {\mathcal {Q}}}_{\alpha }^{t}}E^{Q}[-X\mid {\mathcal {F}}_{t}]$

такой, что

${\tilde {\mathcal {Q}}}_{\alpha }^{t}=\left\{Q\ll P:\operatorname {E} \left[{\frac {dQ}{dP}}\mid {\mathcal {F}}_{\tau +1}\right]\leq \alpha _{t}^{-1}\operatorname {E} \left[{\frac {dQ}{dP}}\mid {\mathcal {F}}_{\tau }\right]\;\forall \tau \geq t{\text{ a.s.}}\right\}.$

См. также

• Последовательная мера риска
• EMP для стохастического программирования – технология решения задач оптимизации, связанных с ES и VaR
• Энтропийное значение под угрозой
• Стоимость под угрозой

Методы статистической оценки VaR и ES можно найти у Embrechts et al. и Новак. При прогнозировании VaR и ES или оптимизации портфелей для минимизации хвостового риска важно учитывать асимметричную зависимость и ненормальности в распределении доходности акций, такие как авторегрессия, асимметричная волатильность, асимметрия и эксцесс.

Внешние ссылки

• Рокафеллар, Урясев: Оптимизация условной стоимости под риском, 2000.
• К. Ачерби и Д. Таше: О согласованности ожидаемого дефицита, 2002 г.
• Рокафеллар, Урясев: Условная стоимость риска для распределения общих потерь, 2002.
• Ачерби: Спектральные меры риска, 2005 г.
• Оптимальные портфели Phi-Alpha и управление экстремальными рисками, Best of Wilmott, 2003 г.
• « Последовательные меры риска », Филипп Арцнер, Фредди Дельбен, Жан-Марк Эбер и Дэвид Хит.