Хвостовая стоимость под угрозой

«ТВАР» перенаправляется сюда. Этот термин может также относиться к отклонению во времени.

В финансовой математике хвостовое значение риска ( TVaR ), также известное как хвостовое условное ожидание ( TCE ) или условное хвостовое ожидание ( CTE ), является мерой риска , связанной с более общим значением риска . Он количественно определяет ожидаемую величину ущерба, учитывая, что произошло событие, выходящее за пределы заданного уровня вероятности.

Фон

В литературе существует ряд родственных, но слегка различающихся формулировок TVaR. В литературе часто встречается определение TVaR и среднего значения риска как одной и той же меры. Согласно некоторым формулировкам, это эквивалентно ожидаемому дефициту , когда базовая функция распределения непрерывна только тогда при $\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)$, значение риска уровня $\alpha$. При некоторых других настройках TVaR — это условное ожидание убытков, превышающих заданное значение, тогда как ожидаемый дефицит — это произведение этого значения на вероятность его возникновения. Первое определение, возможно, не является последовательным показателем риска в целом, однако оно является последовательным, если лежащее в его основе распределение является непрерывным. Последнее определение представляет собой последовательную меру риска. TVaR учитывает серьезность сбоя, а не только вероятность сбоя. TVaR является мерой ожидания только в хвосте распределения.

Математическое определение

Каноническое хвостовое значение, подверженное риску, — это левое хвостовое значение (большие отрицательные значения) в некоторых дисциплинах и правое хвостовое значение (большие положительные значения) в других, например, в актуарной науке . Обычно это происходит из-за различных соглашений о том, как рассматривать потери как большие отрицательные или положительные значения. Используя соглашение об отрицательном значении, Арцнер и другие определяют хвостовое значение риска как:

Учитывая случайную величину $X$ который представляет собой выигрыш портфеля в какой-то момент в будущем и при заданном параметре $0<\alpha <1$ тогда хвостовое значение риска определяется выражением $$\operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=\operatorname {E} [-X|X\leq -\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)]=\operatorname {E} [-X|X\leq x^{\alpha }],$$где $x^{\alpha }$ это верхний $\alpha$- квантиль , заданный $x^{\alpha }=\inf\{x\in \mathbb {R} :\Pr(X\leq x)>\alpha \}$. Обычно случайная величина выигрыша $X$ находится в некотором L ^п -пространство, где $p\geq 1$ гарантировать существование ожидания. Типичные значения для $\alpha$ составляют 5% и 1%.

Формулы для непрерывных распределений вероятностей

Существуют формулы закрытой формы для расчета TVaR при выплате портфеля $X$ или соответствующая потеря $L=-X$ следует определенному непрерывному распределению. Если $X$ следует некоторому распределению вероятностей с функцией плотности вероятности (pdf) $f$ и кумулятивная функция распределения (cdf) $F$, левый TVaR можно представить как

$$\operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=\operatorname {E} [-X|X\leq -\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)]=-{\frac {1}{\alpha }}\int _{0}^{\alpha }\operatorname {VaR} _{\gamma }(X)d\gamma =-{\frac {1}{\alpha }}\int _{-\infty }^{F^{-1}(\alpha )}xf(x)dx.$$

Для инженерных или актуарных приложений чаще рассматривают распределение убытков. $L=-X$, в этом случае рассматривается правосторонний TVaR (обычно для $\alpha$ 95% или 99%):

$$\operatorname {TVaR} _{\alpha }^{\text{right}}(L)=E[L\mid L\geq \operatorname {VaR} _{\alpha }(L)]={\frac {1}{1-\alpha }}\int _{\alpha }^{1}\operatorname {VaR} _{\gamma }(L)d\gamma ={\frac {1}{1-\alpha }}\int _{F^{-1}(\alpha )}^{+\infty }yf(y)dy.$$

Поскольку некоторые формулы, приведенные ниже, были выведены для левостороннего случая, а некоторые — для правостороннего, могут быть полезны следующие согласования:

$$\operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=-{\frac {1}{\alpha }}E[X]+{\frac {1-\alpha }{\alpha }}\operatorname {TVaR} _{\alpha }^{\text{right}}(L)$$ и $$\operatorname {TVaR} _{\alpha }^{\text{right}}(L)={\frac {1}{1-\alpha }}E[L]+{\frac {\alpha }{1-\alpha }}\operatorname {TVaR} _{\alpha }(X).$$

Нормальное распределение

Если доходность портфеля $X$ следует нормальному (гауссовскому) распределению с помощью PDF-файла $$f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$$ тогда левый TVaR равен $$\operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=-\mu +\sigma {\frac {\phi (\Phi ^{-1}(\alpha ))}{\alpha }},$$ где ${\textstyle \phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{x^{2}}/{2}}}$ это стандартный обычный pdf, $\Phi (x)$ это стандартный нормальный cdf, поэтому $\Phi ^{-1}(\alpha )$ — стандартный нормальный квантиль.

Если потеря портфеля $L$ следует нормальному распределению, правосторонний TVaR равен $$\operatorname {TVaR} _{\alpha }^{\text{right}}(L)=\mu +\sigma {\frac {\phi (\Phi ^{-1}(\alpha ))}{1-\alpha }}.$$

Обобщенное t-распределение Стьюдента

Если доходность портфеля $X$ следует обобщенному t-распределению Стьюдента с PDF-файлом $$f(x)={\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right){\sqrt {\pi \nu }}\sigma }}\left(1+{\frac {1}{\nu }}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}$$ тогда левый TVaR равен $$\operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=-\mu +\sigma {\frac {\nu +(\mathrm {T} ^{-1}(\alpha ))^{2}}{\nu -1}}{\frac {\tau (\mathrm {T} ^{-1}(\alpha ))}{\alpha }},$$ где $$\tau (x)={\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right){\sqrt {\pi \nu }}}}\left(1+{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}$$ это стандартный PDF-файл t-распределения, $\mathrm {T} (x)$ является стандартным t-распределением cdf, поэтому $\mathrm {T} ^{-1}(\alpha )$ — стандартный квантиль t-распределения.

Если потеря портфеля $L$ следует обобщенному t-распределению Стьюдента, правостороннее TVaR равно $$\operatorname {TVaR} _{\alpha }^{\text{right}}(L)=\mu +\sigma {\frac {\nu +(\mathrm {T} ^{-1}(\alpha ))^{2}}{\nu -1}}{\frac {\tau (\mathrm {T} ^{-1}(\alpha ))}{1-\alpha }}.$$

Распределение Лапласа

Если доходность портфеля $X$ следует за распределением Лапласа в PDF-файле $$f(x)={\frac {1}{2b}}e^{-{\frac {|x-\mu |}{b}}}$$ и компакт-диск $$F(x)={\begin{cases}1-{\frac {1}{2}}e^{-{\frac {x-\mu }{b}}}&{\text{if }}x\geq \mu ,\\{\frac {1}{2}}e^{\frac {x-\mu }{b}}&{\text{if }}x<\mu .\end{cases}}$$ тогда левый TVaR равен $\operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=-\mu +b(1-\ln 2\alpha )$ для $\alpha \leq 0.5$.

Если потеря портфеля $L$ следует распределению Лапласа, правосторонний TVaR равен $$\operatorname {TVaR} _{\alpha }^{\text{right}}(L)={\begin{cases}\mu +b{\frac {\alpha }{1-\alpha }}(1-\ln 2\alpha )&{\text{if }}\alpha <0.5,\\[1ex]\mu +b[1-\ln(2(1-\alpha ))]&{\text{if }}\alpha \geq 0.5.\end{cases}}$$

Логистическое распределение

Если доходность портфеля $X$ следит за логистическим распределением в формате pdf $$f(x)={\frac {1}{s}}e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}\left(1+e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}\right)^{-2}$$ и компакт-диск $$F(x)=\left(1+e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}\right)^{-1}$$ тогда левый TVaR равен $$\operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=-\mu +s\ln {\frac {(1-\alpha )^{1-{\frac {1}{\alpha }}}}{\alpha }}.$$

Если потеря портфеля $L$ следует логистическому распределению , правосторонний TVaR равен $$\operatorname {TVaR} _{\alpha }^{\text{right}}(L)=\mu +s{\frac {-\alpha \ln \alpha -(1-\alpha )\ln(1-\alpha )}{1-\alpha }}.$$

Экспоненциальное распределение

Если потеря портфеля $L$ следует экспоненциальному распределению с помощью PDF $$f(x)={\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x}&{\text{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}$$ и компакт-диск $$F(x)={\begin{cases}1-e^{-\lambda x}&{\text{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}$$ тогда правосторонний TVaR равен $$\operatorname {TVaR} _{\alpha }^{\text{right}}(L)={\frac {-\ln(1-\alpha )+1}{\lambda }}.$$

Распределение Парето

Если потеря портфеля $L$ следует распределению Парето с PDF-файлом $$f(x)={\begin{cases}{\frac {ax_{m}^{a}}{x^{a+1}}}&{\text{if }}x\geq x_{m},\\0&{\text{if }}x<x_{m}.\end{cases}}$$ и компакт-диск $$F(x)={\begin{cases}1-(x_{m}/x)^{a}&{\text{if }}x\geq x_{m},\\0&{\text{if }}x<x_{m}.\end{cases}}$$ тогда правосторонний TVaR равен $$\operatorname {TVaR} _{\alpha }^{\text{right}}(L)={\frac {x_{m}a}{(1-\alpha )^{1/a}(a-1)}}.$$

Обобщенное распределение Парето (GPD)

Если потеря портфеля $L$ следует за GPD с PDF-файлом $$f(x)={\frac {1}{s}}\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{s}}\right)^{\left(-{\frac {1}{\xi }}-1\right)}$$ и компакт-диск $$F(x)={\begin{cases}1-\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{s}}\right)^{-{\frac {1}{\xi }}}&{\text{if }}\xi \neq 0,\\1-\exp \left(-{\frac {x-\mu }{s}}\right)&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}$$ тогда правосторонний TVaR равен $$\operatorname {TVaR} _{\alpha }^{\text{right}}(L)={\begin{cases}\mu +s\left[{\frac {(1-\alpha )^{-\xi }}{1-\xi }}+{\frac {(1-\alpha )^{-\xi }-1}{\xi }}\right]&{\text{if }}\xi \neq 0,\\\mu +s[1-\ln(1-\alpha )]&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}$$ и VaR равен $$\mathrm {VaR} _{\alpha }(L)={\begin{cases}\mu +s{\frac {(1-\alpha )^{-\xi }-1}{\xi }}&{\text{if }}\xi \neq 0,\\\mu -s\ln(1-\alpha )&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}$$

Распределение Вейбулла

Если потеря портфеля $L$ следует распределению Вейбулла с PDF-файлом $$f(x)={\begin{cases}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}&{\text{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}$$ и компакт-диск $$F(x)={\begin{cases}1-e^{-(x/\lambda )^{k}}&{\text{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}$$ тогда правосторонний TVaR равен $$\operatorname {TVaR} _{\alpha }^{\text{right}}(L)={\frac {\lambda }{1-\alpha }}\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}},-\ln(1-\alpha )\right),$$ где $\Gamma (s,x)$ – верхняя неполная гамма-функция .

Обобщенное распределение экстремальных значений (GEV)

Если доходность портфеля $X$ следует за GEV с PDF-файлом $$f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{\sigma }}\left(1+\xi {\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{-{\frac {1}{\xi }}-1}\exp \left[-\left(1+\xi {\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{-{\frac {1}{\xi }}}\right]&{\text{if }}\xi \neq 0,\\{\frac {1}{\sigma }}e^{-{\frac {x-\mu }{\sigma }}}e^{-e^{-{\frac {x-\mu }{\sigma }}}}&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}$$ и компакт-диск $$F(x)={\begin{cases}\exp \left(-\left(1+\xi {\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{-{\frac {1}{\xi }}}\right)&{\text{if }}\xi \neq 0,\\\exp \left(-e^{-{\frac {x-\mu }{\sigma }}}\right)&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}$$ тогда левый TVaR равен $$\operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)={\begin{cases}-\mu -{\frac {\sigma }{\alpha \xi }}\left[\Gamma (1-\xi ,-\ln \alpha )-\alpha \right]&{\text{if }}\xi \neq 0,\\-\mu -{\frac {\sigma }{\alpha }}\left[{\text{li}}(\alpha )-\alpha \ln(-\ln \alpha )\right]&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}$$ и VaR равен $$\mathrm {VaR} _{\alpha }(X)={\begin{cases}-\mu -{\frac {\sigma }{\xi }}\left[(-\ln \alpha )^{-\xi }-1\right]&{\text{if }}\xi \neq 0,\\-\mu +\sigma \ln(-\ln \alpha )&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}$$ где $\Gamma (s,x)$ — верхняя неполная гамма-функция , ${\text{li}}(x)=\int {\frac {dx}{\ln x}}$ – логарифмическая интегральная функция .

Если потеря портфеля $L$ следует за GEV , то правосторонний TVaR равен $$\operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)={\begin{cases}\mu +{\frac {\sigma }{(1-\alpha )\xi }}\left[\gamma (1-\xi ,-\ln \alpha )-(1-\alpha )\right]&{\text{if }}\xi \neq 0,\\\mu +{\frac {\sigma }{1-\alpha }}\left[y-{\text{li}}(\alpha )+\alpha \ln(-\ln \alpha )\right]&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}$$ где $\gamma (s,x)$ — нижняя неполная гамма-функция , $y$ — постоянная Эйлера-Машерони .

Распределение обобщенного гиперболического секанса (GHS)

Если доходность портфеля $X$ следует за распространением GHS в формате pdf $$f(x)={\frac {1}{2\sigma }}\operatorname {sech} \left({\frac {\pi }{2}}{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)$$и компакт-диск $$F(x)={\frac {2}{\pi }}\arctan \left[\exp \left({\frac {\pi }{2}}{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)\right]$$ тогда левый TVaR равен $$\operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=-\mu -{\frac {2\sigma }{\pi }}\ln \left(\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}\right)-{\frac {2\sigma }{\pi ^{2}\alpha }}i\left[{\text{Li}}_{2}\left(-i\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}\right)-{\text{Li}}_{2}\left(i\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}\right)\right],$$ где ${\text{Li}}_{2}$ это дилогарифм и $i={\sqrt {-1}}$ является мнимой единицей.

SU-распределение Джонсона

Если доходность портфеля $X$ следует за SU-распределением Джонсона с помощью cdf $$F(x)=\Phi \left[\gamma +\delta \sinh ^{-1}\left({\frac {x-\xi }{\lambda }}\right)\right]$$ тогда левый TVaR равен $$\operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=-\xi -{\frac {\lambda }{2\alpha }}\left[\exp \left({\frac {1-2\gamma \delta }{2\delta ^{2}}}\right)\Phi \left(\Phi ^{-1}(\alpha )-{\frac {1}{\delta }}\right)-\exp \left({\frac {1+2\gamma \delta }{2\delta ^{2}}}\right)\Phi \left(\Phi ^{-1}(\alpha )+{\frac {1}{\delta }}\right)\right],$$ где $\Phi$ это CDF стандартного нормального распределения.

Распределение заусенцев типа XII

Если доходность портфеля $X$ соответствует распределению Берра типа XII с PDF-файлом $$f(x)={\frac {ck}{\beta }}\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{c-1}\left[1+\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{c}\right]^{-k-1}$$ и компакт-диск $$F(x)=1-\left[1+\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{c}\right]^{-k},$$ левый TVaR равен $$\operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=-\gamma -{\frac {\beta }{\alpha }}\left((1-\alpha )^{-1/k}-1\right)^{1/c}\left[\alpha -1+{_{2}F_{1}}\left({\frac {1}{c}},k;1+{\frac {1}{c}};1-(1-\alpha )^{-1/k}\right)\right],$$ где $_{2}F_{1}$ — гипергеометрическая функция . Альтернативно, $$\operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=-\gamma -{\frac {\beta }{\alpha }}{\frac {ck}{c+1}}\left((1-\alpha )^{-1/k}-1\right)^{1+{\frac {1}{c}}}{_{2}F_{1}}\left(1+{\frac {1}{c}},k+1;2+{\frac {1}{c}};1-(1-\alpha )^{-1/k}\right).$$

Распределение игл

Если доходность портфеля $X$ следует дистрибутиву Дагума с PDF-файлом $$f(x)={\frac {ck}{\beta }}\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{ck-1}\left[1+\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{c}\right]^{-k-1}$$ и компакт-диск $$F(x)=\left[1+\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{-c}\right]^{-k},$$ левый TVaR равен $$\operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=-\gamma -{\frac {\beta }{\alpha }}{\frac {ck}{ck+1}}\left(\alpha ^{-1/k}-1\right)^{-k-{\frac {1}{c}}}{_{2}F_{1}}\left(k+1,k+{\frac {1}{c}};k+1+{\frac {1}{c}};-{\frac {1}{\alpha ^{-1/k}-1}}\right),$$ где $_{2}F_{1}$ — гипергеометрическая функция .

Логнормальное распределение

Если доходность портфеля $X$ следует логнормальному распределению , т.е. случайной величине $\ln(1+X)$ следует нормальному распределению с PDF $$f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}},$$ тогда левый TVaR равен $$\operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=1-\exp \left(\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right){\frac {\Phi (\Phi ^{-1}(\alpha )-\sigma )}{\alpha }},$$ где $\Phi (x)$ это стандартный нормальный cdf, поэтому $\Phi ^{-1}(\alpha )$ — стандартный нормальный квантиль.

Лог-логистическая дистрибуция

Если доходность портфеля $X$ следует логарифмическому распределению , т.е. случайной величине $\ln(1+X)$ следит за логистическим распределением в формате pdf $$f(x)={\frac {1}{s}}e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}\left(1+e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}\right)^{-2},$$ тогда левый TVaR равен $$\operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=1-{\frac {e^{\mu }}{\alpha }}I_{\alpha }(1+s,1-s){\frac {\pi s}{\sin \pi s}},$$ где $I_{\alpha }$ — регуляризованная неполная бета-функция , $I_{\alpha }(a,b)={\frac {\mathrm {B} _{\alpha }(a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}$.

Поскольку неполная бета-функция определяется только для положительных аргументов, для более общего случая левосторонняя TVaR может быть выражена с помощью гипергеометрической функции : $$\operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=1-{\frac {e^{\mu }\alpha ^{s}}{s+1}}{_{2}F_{1}}(s,s+1;s+2;\alpha ).$$

Если потеря портфеля $L$ следует за распределением логистики в формате pdf $$f(x)={\frac {{\frac {b}{a}}(x/a)^{b-1}}{(1+(x/a)^{b})^{2}}}$$ и компакт-диск $$F(x)={\frac {1}{1+(x/a)^{-b}}},$$ тогда правосторонний TVaR равен $$\operatorname {TVaR} _{\alpha }^{\text{right}}(L)={\frac {a}{1-\alpha }}\left[{\frac {\pi }{b}}\csc \left({\frac {\pi }{b}}\right)-\mathrm {B} _{\alpha }\left({\frac {1}{b}}+1,1-{\frac {1}{b}}\right)\right],$$ где $B_{\alpha }$ – неполная бета-функция .

Лог-распределение Лапласа

Если доходность портфеля $X$ следует логарифмическому распределению Лапласа , т.е. случайной величине $\ln(1+X)$ следует распределению Лапласа в формате pdf $$f(x)={\frac {1}{2b}}e^{-{\frac {|x-\mu |}{b}}},$$ тогда левый TVaR равен $$\operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)={\begin{cases}1-{\frac {e^{\mu }(2\alpha )^{b}}{b+1}}&{\text{if }}\alpha \leq 0.5,\\1-{\frac {e^{\mu }2^{-b}}{\alpha (b-1)}}\left[(1-\alpha )^{(1-b)}-1\right]&{\text{if }}\alpha >0.5.\end{cases}}$$

Логарифмически-обобщенное гиперболическое секущее (log-GHS) распределение

Если доходность портфеля $X$ следует логарифмическому распределению СГС, т.е. случайной величине $\ln(1+X)$ следует за распространением GHS в формате pdf $$f(x)={\frac {1}{2\sigma }}\operatorname {sech} \left({\frac {\pi }{2}}{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right),$$ тогда левый TVaR равен $$\operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=1-{\frac {1}{\alpha (\sigma +{\pi /2})}}\left(\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}\exp {\frac {\pi \mu }{2\sigma }}\right)^{2\sigma /\pi }\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}{_{2}F_{1}}\left(1,{\frac {1}{2}}+{\frac {\sigma }{\pi }};{\frac {3}{2}}+{\frac {\sigma }{\pi }};-\tan \left({\frac {\pi \alpha }{2}}\right)^{2}\right),$$ где $_{2}F_{1}$ — гипергеометрическая функция .