Энтропия Верля

В квантовой теории энтропия Верля информации названная в честь Альфреда Верля, представляет собой классическую энтропию матрицы квантово-механической плотности . Это тип квазиэнтропии, определенный для представления Хусими Q в фазовом пространстве распределения квазивероятностей . Видеть за всесторонний обзор основных свойств классической , квантовой энтропии и энтропии Верля, а также их значения в статистической механике .

Определения

Функция Хусими является функцией « классического фазового пространства » положения x и импульса p и в одном измерении определяется для любой квантово-механической матрицы плотности ρ формулой

$Q_{\rho }(x,p)=\int \phi (x,p|y)^{*}\rho (y,y')\phi (x,p|y')dydy',$

где φ — « (глауберовское) когерентное состояние », определяемое формулой

$\phi (x,p|y)=\pi ^{-1/4}\exp(-|y-x|^{2}/2)+i\,px).$

(Его можно понимать как преобразование Вейерштрасса . квазивероятностного распределения Вигнера )

Тогда энтропия Верля определяется как

$S_{W}(\rho )=-\int Q_{\rho }(x,p)\log Q_{\rho }(x,p)\,dx\,dp~.$

Определение можно легко обобщить на любую конечную размерность.

Характеристики

Такое определение энтропии основано на том факте, что Q-представление Хусими остается неотрицательно определенным, в отличие от других представлений квантовых распределений квазивероятностей в фазовом пространстве. Энтропия Верля имеет несколько важных свойств:

1. Это всегда позитив, $S_{W}(\rho )\geq 0,$ как полная квантовая энтропия фон Неймана, но в отличие от классической дифференциальной энтропии , которая может быть отрицательной при низкой температуре. Фактически минимальное значение энтропии Верля равно 1, т.е. $S_{W}(\rho )\geq 1,$ как обсуждается ниже в разделе «Гипотеза Верля».
2. Энтропия тензорного произведения двух систем всегда больше энтропии одной системы. Другими словами, для государства $\rho$ в гильбертовом пространстве ${\mathcal {H}}={\mathcal {H}}_{1}\otimes {\mathcal {H}}_{2}$, у нас есть $S_{W}(\rho _{1})\leq S_{W}(\rho )$, где $\rho _{1}=\mathrm {Tr} _{2}\,\rho$. Обратите внимание, что квантовая энтропия фон Неймана , $S(\rho )$, не обладает этим свойством, что хорошо видно для чистого максимально запутанного состояния .
3. Энтропия Верля строго ограничена снизу энтропией фон Неймана: $S_{W}(\rho )>S(\rho )$. Не существует известной верхней или нижней границы (кроме нуля) для разницы $S_{W}(\rho )-S(\rho )$.
4. Энтропия Верля не инвариантна относительно всех унитарных преобразований, в отличие от энтропии фон Неймана. Другими словами, $S_{W}(U^{*}\rho \,U)\neq S_{W}(\rho )$ для общего унитарного U . Однако он инвариантен относительно некоторых унитарных преобразований.

Гипотеза Верля

В своей оригинальной статье Верль выдвинул гипотезу, что наименьшее возможное значение энтропии Верля равно 1, $S_{W}(\rho )\geq 1,$ и это происходит тогда и только тогда, когда матрица плотности $\rho$ является проектором чистого состояния на любое когерентное состояние, т.е. для всех вариантов выбора $x_{0},p_{0}$,

$\rho _{0}(y,y')=\phi (x_{0},p_{0}|y)^{*}\phi (x_{0},p_{0}|y')$.

Вскоре после того, как эта гипотеза была высказана, Э. Х. Либ доказал что минимум энтропии Верля равен 1, и это происходит, когда состояние является проектором на любое когерентное состояние.

В 1991 году Э. Карлен доказал уникальность минимизатора, т.е. минимум энтропии Верля, возникает только тогда, когда состояние является проектором на любое когерентное состояние.

Аналогом гипотезы Верля для систем с классическим фазовым пространством, изоморфным сфере (а не плоскости), является гипотеза Либа .

Обсуждение

Однако это не полностью квантовая энтропия фон Неймана в представлении Хусими в фазовом пространстве, − ∫ Q ★ log _★ Q   dx   dp : все необходимые звездные продукты ★ в этой энтропии здесь опущены. В представлении Хусими звездные продукты гласят:

$\star \equiv \exp \left({\frac {\hbar }{2}}({\stackrel {\leftarrow }{\partial }}_{x}-i{\stackrel {\leftarrow }{\partial }}_{p})({\stackrel {\rightarrow }{\partial }}_{x}+i{\stackrel {\rightarrow }{\partial }}_{p})\right)~,$

и изоморфны к произведениям Мойала представления Вигнера –Вейля .

Таким образом, энтропию Верля можно рассматривать как своего рода эвристическое квазиклассическое приближение к полной квантовой энтропии фон Неймана, поскольку она сохраняет некоторую зависимость от ħ (через Q ), но не всю ее .

Как и всякая энтропия, она отражает некоторую степень нелокализации. поскольку преобразование Гаусса , участвующее в генерации Q , и жертвование звездными операторами фактически отбрасывают информацию. Вообще, как указывалось, для одного и того же состояния энтропия Верля превышает энтропию фон Неймана (которая для чистых состояний обращается в нуль).

Энтропия Верля для когерентных состояний Блоха

Энтропию Верля можно определить и для других видов когерентных состояний. Например, его можно определить для когерентных состояний Блоха, то есть для по угловому моменту представлений группы $SU(2)$ для квантовых спиновых систем .

Когерентные состояния Блоха

Рассмотрим пространство $\mathbb {C} ^{2J+1}$ с $J={\frac {1}{2}},1,{\frac {3}{2}},\dots$ . Мы рассматриваем одиночный квантовый спин с фиксированным угловым моментом J и будем обозначать его через $\mathbf {S} =(S_{x},S_{y},S_{z})$ обычные операторы углового момента, удовлетворяющие следующим коммутационным соотношениям: $[S_{x},S_{y}]=i\,S_{z}$ и циклические перестановки.

Определять $S_{\pm }=S_{x}\pm i\,S_{y}$, затем $[S_{z},S_{\pm }]=\pm S_{\pm }$ и $[S_{+},S_{-}]=S_{z}$.

Собственные состояния $S_{z}$ являются

$S_{z}|s\rangle =s|s\rangle ,s=-J,\dots ,J.$

Для $s=J$ государство $|J\rangle \in \mathbb {C} ^{2J+1}$ удовлетворяет: $S_{z}|J\rangle =J|J\rangle ,$ и $S_{+}|J\rangle =0,S_{-}|J\rangle =|J-1\rangle$.

Обозначим единичную сферу в трех измерениях через

$\Xi _{2}=\{\Omega =(\theta ,\phi )\ |\ 0\leq \theta \leq \pi ,\ 0\leq \phi \leq 2\pi \}$,

и по $L^{2}(\Xi )$ пространство интегрируемых с квадратом функций на Ξ с мерой

$d\Omega ={\frac {2J+1}{4\pi }}\sin \theta \,d\theta \,d\phi$.

определяется Когерентное состояние Блоха формулой

$|\Omega \rangle \equiv \exp \left\{{\frac {1}{2}}\theta e^{i\phi }S_{-}-{\frac {1}{2}}\theta e^{-i\phi }S_{+}\right\}|J\rangle$.

Учитывая вышеперечисленные свойства государства $|J\rangle$, когерентное состояние Блоха также можно выразить как

$|\Omega \rangle =(1+|z|^{2})^{-J}e^{zS_{-}}|J\rangle =(1+|z|^{2})^{-J}\sum _{M=-J}^{J}z^{J-M}{\binom {2J}{J+M}}^{1/2}|M\rangle ,$

где $~~z=e^{i\phi }\tan {\frac {\theta }{2}}$, и

$|M\rangle ={\binom {2J}{J+M}}^{-1/2}{\frac {1}{(J-M)!}}\,S_{-}^{J-M}|J\rangle$

является нормализованным собственным состоянием $S_{z}$ удовлетворяющий $S_{z}|M\rangle =M|M\rangle$.

Когерентное состояние Блоха является собственным состоянием повернутого оператора углового момента. $S_{z}$ с максимальным собственным значением. Другими словами, для оператора вращения

$R_{\theta ,\phi }=\exp \left\{{\frac {1}{2}}\theta e^{i\phi }S_{-}-{\frac {1}{2}}\theta e^{-i\phi }S_{+}\right\}$,

когерентное состояние Блоха $|\Omega \rangle$ удовлетворяет

$R_{\theta ,\phi }S_{z}R_{\theta ,\phi }^{-1}\ |\Omega \rangle =J\,|\Omega \rangle$.

Энтропия Верля для когерентных состояний Блоха

Учитывая матрицу плотности ρ , определите квазиклассическое распределение плотности

$\rho ^{cl}(\Omega )=\langle \Omega |\rho |\Omega \rangle$.

Энтропия Верля $\rho$ для когерентных состояний Блоха определяется как классическая энтропия распределения плотности $\rho ^{cl}$,

$S_{W}^{B}(\rho )=S^{cl}(\rho ^{cl})=-\int \rho ^{cl}(\Omega )\ \ln \rho ^{cl}(\Omega )\ d\Omega$,

где $S^{cl}$ — классическая дифференциальная энтропия.

Гипотеза Верля о когерентных состояниях Блоха

Аналог гипотезы Верля для когерентных состояний Блоха был предложен в в 1978 году. Это предполагает минимальное значение энтропии Верля для когерентных состояний Блоха,

$S_{W}^{B}(\rho )\geq {\frac {2J}{2J+1}}$,

и утверждает, что минимум достигается тогда и только тогда, когда состояние является чистым когерентным состоянием Блоха.

В 2012 году Э. Х. Либ и Й. П. Соловей доказали существенную часть этой гипотезы, подтверждающую минимальное значение энтропии Верля для блоховских когерентных состояний и тот факт, что оно достигается для любого чистого блоховского когерентного состояния. Уникальность минимизаторов доказал в 2022 году Р. Л. Франк. и А. Куликов, Ф. Никола, Х. Ортега-Серда и П. Тилли.

Обобщенная гипотеза Верля

В Э. Х. Либ и Дж. П. Соловей доказали гипотезу Верля о когерентных состояниях Блоха, обобщив ее следующим образом.

Обобщенная гипотеза Верля

Для любой вогнутой функции $f:[0,1]\rightarrow \mathbb {R}$ (например $f(x)=-x\log x$ как в определении энтропии Верля) и любой матрицы плотности ρ имеем

$\int f(Q_{\rho }(x,p))dx\,dp\geq \int f(Q_{\rho _{0}}(x,p))dx\,dp$,

где ρ ₀ — чистое когерентное состояние, определенное в разделе «Гипотеза Верля».

Обобщенная гипотеза Верля о когерентных состояниях Блоха.

Обобщенная гипотеза Верля для глауберовых когерентных состояний была доказана как следствие аналогичного утверждения для блоховских когерентных состояний. Для любой вогнутой функции $f:[0,1]\rightarrow \mathbb {R}$, и любая матрица плотности ρ имеем

$\int f(\langle \Omega |\rho |\Omega \rangle )d\Omega \geq \int f(|\langle \Omega |\Omega _{0}\rangle |^{2})d\Omega$,

где $\Omega _{0}\in \Xi _{2}$ любая точка сферы.

Единственность минимизаторов была доказана в упомянутых выше работах. и.

См. также

• Когерентное состояние
• Энтропия
• Теория информации и теория меры
• Гипотеза Либа
• Квантовая информация
• Квантовая механика
• Вращаться
• Статистическая механика
• Энтропия фон Неймана