Грубое моделирование

Грубое моделирование , крупнозернистые модели , направлены на моделирование поведения сложных систем с использованием их грубого (упрощенного) представления. Грубозернистые модели широко используются для молекулярного моделирования биомолекул. на различных уровнях детализации .

Был предложен широкий спектр крупнозернистых моделей. Обычно они посвящены компьютерному моделированию конкретных молекул: белков, нуклеиновые кислоты, липидные мембраны, углеводы или вода. В этих моделях молекулы представлены не отдельными атомами, а «псевдоатомами», аппроксимирующими группы атомов, например целый аминокислотный остаток . Уменьшив степени свободы, можно изучить гораздо более длительное время моделирования за счет молекулярных деталей. Грубозернистые модели нашли практическое применение в молекулярно-динамическом моделировании. Другой случай, представляющий интерес, — это упрощение данной системы с дискретными состояниями, поскольку очень часто возможны описания одной и той же системы на разных уровнях детализации. Примером может служить хемомеханическая динамика молекулярной машины, такой как Кинезин .

Грубое моделирование берет свое начало в работах Майкла Левитта и Ариэля Варшела в 1970-х годах. Грубозернистые модели в настоящее время часто используются как компоненты протоколов многомасштабного моделирования в сочетании с инструментами реконструкции. (от крупнозернистого к атомистическому представлению) и модели атомистического разрешения. Модели атомистического разрешения сами по себе в настоящее время недостаточно эффективны для обработки систем больших размеров и сроков моделирования.

Грубое и мелкое зерно в статистической механике затрагивает тему энтропии. $S$и, следовательно, второй закон термодинамики. Надо понимать, что понятие температуры $T$ не может быть отнесено к сколь угодно микроскопической частице, поскольку она не излучает тепло, как макроскопическое или « черное тело ». Однако можно приписать ненулевую энтропию $S$ к объекту, имеющему всего два состояния, например « бит » (и ничего больше). Энтропии двух случаев называются тепловой энтропией и энтропией фон Неймана соответственно. Их также различают терминами крупнозернистый и мелкозернистый соответственно. Последнее различие связано с аспектом, изложенным выше, и более подробно рассматривается ниже.

Теорема Лиувилля (иногда также называемая уравнением Лиувилля )

${\frac {d}{dt}}(\Delta q\Delta p)=0$

утверждает, что объем фазового пространства $\Gamma$ (охвачен $q$ и $p$, здесь в одном пространственном измерении) остается постоянной с течением времени, где бы ни находилась точка $q,p$ содержится в $\Delta q\Delta p$ движется. Это рассмотрение классической механики. Чтобы связать этот взгляд с макроскопической физикой, каждую точку окружают $q,p$ например, со сферой некоторого фиксированного объема - процедура, называемая грубым зернением, которая объединяет точки или состояния со схожим поведением. Траектория этой сферы в фазовом пространстве затем охватывает и другие точки, и, следовательно, ее объем в фазовом пространстве увеличивается. Энтропия $S$ связанная с этим соображением, равная нулю или нет, называется крупнозернистой энтропией или тепловой энтропией. Большое количество таких систем, т. е. рассматриваемая вместе со многими копиями, называется ансамблем. Если эти системы не взаимодействуют друг с другом или чем-либо еще и каждая имеет одинаковую энергию $E$ансамбль называется микроканоническим ансамблем. Каждая система реплик появляется с одинаковой вероятностью, и температура не влияет.

Теперь предположим, что мы определили плотность вероятности $\rho (q_{i},p_{i},t)$ описывающее движение точки $q_{i},p_{i}$ с элементом фазового пространства $\Delta q_{i}\Delta p_{i}$. В случае равновесия или установившегося движения из уравнения неразрывности следует, что плотность вероятности $\rho$ не зависит от времени $t$. Мы берем $\rho _{i}=\rho (q_{i},p_{i})$ ненулевое значение только внутри объема фазового пространства $V_{\Gamma }$. Затем определяют энтропию $S$ по отношению

$S=-\Sigma _{i}\rho _{i}\ln \rho _{i},\;\;$ где $\;\;\Sigma _{i}\rho _{i}=1.$

Тогда путем максимизации для заданной энергии $E$, то есть связывание $\delta S=0$ с $\delta$ другой суммы, равной нулю, через множитель Лагранжа $\lambda$, получаем (как в случае решетки спинов или с битом в каждой точке решетки)

$V_{\Gamma }=e^{(\lambda +1)}={\frac {1}{\rho }}$ $\;\;\;$ и $\;\;\;$ $S=\ln V_{\Gamma }$,

объем $\Gamma$ пропорциональна экспоненте S.Это снова вопрос классической механики.

В квантовой механике фазовое пространство становится пространством состояний, а плотность вероятности $\rho$ оператор с подпространством состояний $\Gamma$ размерности или количества состояний $N_{\Gamma }$ задан оператором проекции $P_{\Gamma }$. Тогда энтропия $S$ (получено, как указано выше)

$S=-Tr\rho \ln \rho =\ln N_{\Gamma },$

и описывается как мелкозернистая энтропия или энтропия фон Неймана. Если $N_{\Gamma }=1$энтропия исчезает и говорят, что система находится в чистом состоянии. Здесь экспонента S пропорциональна количеству состояний. Микроканонический ансамбль – это опять-таки большое количество невзаимодействующих копий данной системы и $S$, энергия $E$ и т. д. становятся средними по ансамблю.

Теперь рассмотрим взаимодействие данной системы с другой – или в терминологии ансамбля – данной системой и большим количеством реплик, погруженных в большую систему, называемую тепловой баней, характеризующуюся $\rho$. Поскольку системы взаимодействуют только через тепловую ванну, отдельные системы ансамбля могут иметь разные энергии. $E_{i},E_{j},...$ в зависимости от того, какое энергетическое состояние $E_{i},E_{j},...$ они находятся внутри. Это взаимодействие описывается как запутанность, а ансамбль — как канонический ансамбль (макроканонический ансамбль допускает также обмен частицами).

Взаимодействие элементов ансамбля через тепловую ванну приводит к повышению температуры $T$, как мы сейчас покажем. Рассматривая два элемента с энергиями $E_{i},E_{j}$, вероятность обнаружить их в бане пропорциональна $\rho (E_{i})\rho (E_{j})$, и это пропорционально $\rho (E_{i}+E_{j})$ если рассматривать бинарную систему как систему, находящуюся в одной тепловой бане, определяемую функцией $\rho$. Отсюда следует, что $\rho (E)\propto e^{-\mu E}$ (единственный способ удовлетворить пропорциональность), где $\mu$ является константой. Тогда нормализация подразумевает

$\rho (E_{i})={\frac {e^{-\mu E_{i}}}{\Sigma _{j}e^{-\mu E_{j}}}},\Sigma _{i}\rho (E_{i})=1.$

Тогда в терминах средних по ансамблю

${\overline {S}}=-{\overline {\ln \rho }}$, и $\mu \equiv {\frac {1}{T}},\;k_{B}=1,$

или по сравнению со вторым законом термодинамики. ${\overline {S}}$ теперь это энтропия запутанности или мелкозернистая энтропия фон Неймана. Это значение равно нулю, если система находится в чистом состоянии, и отлично от нуля в смешанном (запутанном) состоянии.

Выше мы рассматривали систему, погруженную в другую огромную систему, называемую тепловой ванной, с возможностью обеспечения теплообмена между ними. Часто рассматривают другую ситуацию, т.е. две системы А и Б с небольшой дыркой в ​​перегородке между ними. Предположим, что B изначально пуст, но A содержит взрывное устройство, которое мгновенно наполняет A фотонами. Первоначально A и B имеют энергии $E_{A}$ и $E_{B}$ соответственно и взаимодействия нет. Следовательно, изначально оба находятся в чистых квантовых состояниях и имеют нулевую мелкозернистую энтропию. Сразу после взрыва А наполняется фотонами, энергия все еще остается $E_{A}$ и у Б тоже $E_{B}$ (ни один фотон еще не убежал). Поскольку A заполнено фотонами, они подчиняются закону распределения Планка и, следовательно, крупнозернистая тепловая энтропия A отлична от нуля (напомним: множество конфигураций фотонов в A, множество состояний с одним максимальным), хотя мелкозернистая квантовомеханическая энтропия энтропия все еще равна нулю (то же энергетическое состояние), как и у B. Теперь позвольте фотонам медленно перетекать (т.е. без нарушения равновесия) из A в B. С меньшим количеством фотонов в A его крупнозернистая энтропия уменьшается, но энтропия Б увеличивается. Эта запутанность A и B подразумевает, что теперь они квантовомеханически находятся в смешанных состояниях, и поэтому их мелкозернистая энтропия больше не равна нулю. Наконец, когда все фотоны находятся в B, крупнозернистая энтропия A, а также его мелкозернистая энтропия исчезают, и A снова находится в чистом состоянии, но с новой энергией. С другой стороны, B теперь имеет увеличенную тепловую энтропию, но, поскольку запутанность закончилась, он снова находится в квантовомеханическом чистом состоянии, в своем основном состоянии, и имеет нулевую мелкозернистую энтропию фон Неймана. Рассмотрим B: в ходе запутанности с A его мелкозернистая энтропия или энтропия запутанности начиналась и заканчивалась в чистых состояниях (то есть с нулевой энтропией). Однако его крупнозернистая энтропия выросла с нуля до конечного ненулевого значения. Примерно в середине процедуры энтропия запутанности B достигает максимума, а затем уменьшается до нуля в конце.

Классическая крупнозернистая тепловая энтропия второго закона термодинамики не то же самое, что (в основном меньшая) квантовомеханическая мелкозернистая энтропия. Разница называется информацией . Как можно заключить из приведенных выше аргументов, эта разница примерно равна нулю до того, как энтропия запутанности (которая одинакова для A и B) достигнет своего максимума. Примером грубого измельчения является броуновское движение .

Пакеты программного обеспечения

• Крупномасштабный атомно-молекулярный симулятор массового параллелизма ( LAMMPS )
• Расширяемый пакет моделирования для исследований мягкой материи ESPresSo (внешняя ссылка)