Уравнение Больцмана

Чтобы узнать о других значениях, см. формулу энтропии Больцмана , закон Стефана-Больцмана и распределение Максвелла-Больцмана .

«БТЭ» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о других значениях, см. BTE (значения) .

Место кинетического уравнения Больцмана на лестнице редукции модели от микроскопической динамики к макроскопической динамике сплошной среды (иллюстрация к содержанию книги) )

Уравнение Больцмана или уравнение переноса Больцмана ( БТЕ ) ​​описывает статистическое поведение термодинамической системы, не находящейся в состоянии равновесия ; он был разработан Людвигом Больцманом в 1872 году. Классическим примером такой системы является жидкость с температурными градиентами в пространстве, заставляющими тепло перетекать из более горячих областей в более холодные за счет случайного, но смещенного переноса частиц , составляющих эту жидкость. В современной литературе термин «уравнение Больцмана» часто используется в более общем смысле, имея в виду любое кинетическое уравнение, описывающее изменение макроскопической величины в термодинамической системе, такой как энергия, заряд или число частиц.

Уравнение возникает не в результате анализа отдельных положений и импульсов каждой частицы в жидкости, а в результате рассмотрения распределения вероятностей положения и импульса типичной частицы, то есть вероятности того , что частица займет данную очень небольшую область пространства. (математически элемент объема $d^{3}\mathbf {r}$) по центру позиции $\mathbf {r}$, и имеет импульс, почти равный заданному вектору импульса $\mathbf {p}$ (таким образом, занимая очень небольшую область импульсного пространства $d^{3}\mathbf {p}$), в момент времени.

Уравнение Больцмана можно использовать для определения того, как изменяются физические величины, такие как тепловая энергия и импульс , когда жидкость перемещается. Можно также получить другие свойства, характерные для жидкостей, такие как вязкость , теплопроводность и электропроводность (рассматривая носители заряда в материале как газ). См. также уравнение конвекции-диффузии .

Уравнение представляет собой нелинейное интегро-дифференциальное уравнение , а неизвестная функция в уравнении представляет собой функцию плотности вероятности в шестимерном пространстве положения и импульса частицы. Проблема существования и единственности решений до сих пор до конца не решена, но некоторые недавние результаты весьма многообещающи.

Обзор

Фазовое пространство и функция плотности

Множество всех возможных положений r и импульсов p называется фазовым пространством системы; другими словами, набор из трех для каждой координаты положения x, y, z и еще трех для каждой компоненты импульса p _x , py _{координат} , p _z . Все пространство шестимерно : точка в этом пространстве равна ( r , p ) = ( x, y, z, p _x , p _y , p _z ) , и каждая координата параметризована временем t . Малый объем (« элемент дифференциального объема ») пишется $$d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} =dx\,dy\,dz\,dp_{x}\,dp_{y}\,dp_{z}.$$

Поскольку вероятность существования N молекул, все из которых имеют r и p в пределах $d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p}$В основе уравнения лежит величина f, которая дает эту вероятность на единицу объема фазового пространства или вероятность на единицу длины в кубе на единицу импульса в кубе в момент времени t . Это функция плотности вероятности : f ( r , p , t ) , определенная так, что $$dN=f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)\,d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p}$$ - это количество молекул, позиции которых лежат внутри элемента объема. $d^{3}\mathbf {r}$ о r и импульсах, лежащих внутри импульсного пространства элемента $d^{3}\mathbf {p}$ около р , в момент времени т . Интегрирование по области пространства позиций и пространства импульсов дает общее количество частиц, которые имеют положения и импульсы в этой области:

$${\begin{aligned}N&=\int \limits _{\mathrm {momenta} }d^{3}\mathbf {p} \int \limits _{\mathrm {positions} }d^{3}\mathbf {r} \,f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)\\[5pt]&=\iiint \limits _{\mathrm {momenta} }\quad \iiint \limits _{\mathrm {positions} }f(x,y,z,p_{x},p_{y},p_{z},t)\,dx\,dy\,dz\,dp_{x}\,dp_{y}\,dp_{z}\end{aligned}}$$

что является 6-кратным интегралом . Хотя f связано с несколькими частицами, фазовое пространство предназначено для одной частицы (не для всех из них, что обычно имеет место в детерминированных системах многих тел ), поскольку только об одном r и p речь идет не является частью анализа . Использование r ₁ , p ₁ для частицы 1, r ₂ , p ₂ для частицы 2 и т. д. вплоть до r _N , p _N для частицы N .

Предполагается, что частицы в системе идентичны (поэтому каждая имеет одинаковую массу m ). Для смеси более чем одного химического вещества необходимо одно распределение для каждого, см. ниже.

Основное заявление

Тогда общее уравнение можно записать в виде $${\frac {df}{dt}}=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\text{force}}+\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\text{diff}}+\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\text{coll}},$$

где термин «сила» соответствует силам, действующим на частицы внешним воздействием (а не самими частицами), термин «разность» представляет собой диффузию частиц , а термин «колл» - это термин столкновения , учитывающий силы действие между частицами при столкновении. Ниже приведены выражения для каждого термина в правой части.

Обратите внимание, что некоторые авторы используют скорость частицы v вместо импульса p ; они связаны в определении импульса соотношением p = m v .

Силовые и диффузионные условия

Рассмотрим частицы, описываемые f , каждая из которых испытывает внешнюю силу F, не связанную с другими частицами (см. термин столкновения для последней трактовки).

Предположим, что в момент времени t некоторое количество частиц находится в позиции r внутри элемента. $d^{3}\mathbf {r}$ и импульс p внутри $d^{3}\mathbf {p}$. Если на каждую частицу мгновенно действует сила F , то в момент времени t + Δt их положение будет $\mathbf {r} +\Delta \mathbf {r} =\mathbf {r} +{\frac {\mathbf {p} }{m}}\,\Delta t$ и импульс p + Δ p знак равно p + F Δ t . Тогда при отсутствии столкновений f должно удовлетворять

$$f\left(\mathbf {r} +{\frac {\mathbf {p} }{m}}\,\Delta t,\mathbf {p} +\mathbf {F} \,\Delta t,t+\Delta t\right)\,d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} =f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)\,d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p}$$

Обратите внимание, что мы использовали тот факт, что элемент объема фазового пространства $d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p}$ является константой, что можно показать с помощью уравнений Гамильтона (см. обсуждение теоремы Лиувилля ). Однако поскольку столкновения все же происходят, плотность частиц в фазовом объеме $d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p}$ меняется, поэтому

$${\begin{aligned}dN_{\mathrm {coll} }&=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\mathrm {coll} }\Delta t\,d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} \\[5pt]&=f\left(\mathbf {r} +{\frac {\mathbf {p} }{m}}\Delta t,\mathbf {p} +\mathbf {F} \Delta t,t+\Delta t\right)d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} -f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)\,d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} \\[5pt]&=\Delta f\,d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} \end{aligned}}$$

( 1 )

где Δf ​ — общее изменение f . Разделив ( 1 ) на $d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} \,\Delta t$ пределам ∆t → → 0 и ∆f и переходя к 0 , имеем

$${\frac {df}{dt}}=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\mathrm {coll} }$$

( 2 )

Полный дифференциал f : равен

$${\begin{aligned}df&={\frac {\partial f}{\partial t}}\,dt+\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\,dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}\,dy+{\frac {\partial f}{\partial z}}\,dz\right)+\left({\frac {\partial f}{\partial p_{x}}}\,dp_{x}+{\frac {\partial f}{\partial p_{y}}}\,dp_{y}+{\frac {\partial f}{\partial p_{z}}}\,dp_{z}\right)\\[5pt]&={\frac {\partial f}{\partial t}}dt+\nabla f\cdot d\mathbf {r} +{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {p} }}\cdot d\mathbf {p} \\[5pt]&={\frac {\partial f}{\partial t}}dt+\nabla f\cdot {\frac {\mathbf {p} }{m}}dt+{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {p} }}\cdot \mathbf {F} \,dt\end{aligned}}$$

( 3 )

где ∇ — оператор градиента , · — скалярное произведение , $${\frac {\partial f}{\partial \mathbf {p} }}=\mathbf {\hat {e}} _{x}{\frac {\partial f}{\partial p_{x}}}+\mathbf {\hat {e}} _{y}{\frac {\partial f}{\partial p_{y}}}+\mathbf {\hat {e}} _{z}{\frac {\partial f}{\partial p_{z}}}=\nabla _{\mathbf {p} }f$$ является сокращением аналога импульса ∇ , а ê _x , ê _y , ê _z — декартовы единичные векторы .

Заключительное заявление

Разделив ( 3 ) на dt и подставив в ( 2 ), получим:

$${\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\mathbf {p} }{m}}\cdot \nabla f+\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {p} }}=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\mathrm {coll} }$$

В этом контексте F ( r , t ) — силовое поле, действующее на частицы в жидкости, а m — масса частиц. Термин в правой части добавлен для описания эффекта столкновений между частицами; если оно равно нулю, то частицы не сталкиваются. Бесстолкновительное уравнение Больцмана, в котором отдельные столкновения заменяются дальнодействующими совокупными взаимодействиями, например кулоновскими взаимодействиями , часто называют уравнением Власова .

Это уравнение более полезно, чем основное, приведенное выше, но все еще неполное, поскольку f член столкновения в f не может быть решено, если не известен . Этот термин не может быть найден так же легко или вообще, как другие – это статистический термин, обозначающий столкновения частиц, и требует знания статистики, которой подчиняются частицы, например, Максвелла-Больцмана , Ферми-Дирака или Бозе-Эйнштейна распределения .

Член столкновения (Stosszahlansatz) и молекулярный хаос

Член столкновения двух тел

Ключевой вывод, примененный Больцманом, заключался в определении члена столкновения, возникающего исключительно в результате двухчастичных столкновений между частицами, которые до столкновения считались некоррелированными. Это предположение было названо Больцманом « Stosszahlansatz » и также известно как « предположение о молекулярном хаосе ». При этом предположении член столкновений можно записать как интеграл в пространстве импульсов по произведению одночастичных функций распределения: $$\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\text{coll}}=\iint gI(g,\Omega )[f(\mathbf {r} ,\mathbf {p'} _{A},t)f(\mathbf {r} ,\mathbf {p'} _{B},t)-f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} _{A},t)f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} _{B},t)]\,d\Omega \,d^{3}\mathbf {p} _{B},$$ где p _A и p _B — импульсы любых двух частиц (обозначенных для удобства как A и B ) до столкновения, p’ _A и p’ _B — импульсы после столкновения, $$g=|\mathbf {p} _{B}-\mathbf {p} _{A}|=|\mathbf {p'} _{B}-\mathbf {p'} _{A}|$$ — величина относительных импульсов ( см. в разделе «Относительная скорость более подробную информацию об этой концепции »), а I ( g , Ω) — дифференциальное сечение столкновения, при котором относительные импульсы сталкивающихся частиц поворачиваются под углом θ в угол элемент телесного угла d Ω из-за столкновения.

Упрощение члена столкновения

Поскольку большая часть проблем при решении уравнения Больцмана связана со сложным членом столкновения, были предприняты попытки «моделировать» и упростить член столкновения. Самое известное модельное уравнение принадлежит Бхатнагару, Гроссу и Круку. В приближении БГК предполагается, что эффект молекулярных столкновений заключается в том, чтобы заставить неравновесную функцию распределения в точке физического пространства вернуться к максвелловской равновесной функции распределения, и что скорость, с которой это происходит, пропорциональна частоте молекулярных столкновений. . Таким образом, уравнение Больцмана преобразуется в форму БГК:

$${\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\mathbf {p} }{m}}\cdot \nabla f+\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {p} }}=\nu (f_{0}-f),$$

где $\nu$ - частота столкновений молекул, а $f_{0}$ — локальная максвелловская функция распределения, заданная при температуре газа в этой точке пространства. Это также называется «аппроксимацией времени релаксации».

Общее уравнение (для смеси)

Для смеси химических веществ, обозначенных индексами i = 1, 2, 3, ..., n, уравнение для видов i имеет вид

$${\frac {\partial f_{i}}{\partial t}}+{\frac {\mathbf {p} _{i}}{m_{i}}}\cdot \nabla f_{i}+\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial f_{i}}{\partial \mathbf {p} _{i}}}=\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial t}}\right)_{\text{coll}},$$

где ж я _знак равно ж _я ( р , п _я , т ) , а член столкновения

$$\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial t}}\right)_{\mathrm {coll} }=\sum _{j=1}^{n}\iint g_{ij}I_{ij}(g_{ij},\Omega )[f'_{i}f'_{j}-f_{i}f_{j}]\,d\Omega \,d^{3}\mathbf {p'} ,$$

где f' = f' ( p' _i , t ) , величина относительных импульсов равна

$$g_{ij}=|\mathbf {p} _{i}-\mathbf {p} _{j}|=|\mathbf {p'} _{i}-\mathbf {p'} _{j}|,$$

I частицами _ij — дифференциальное сечение, как и прежде, между i и j . Интегрирование производится по компонентам импульса в подынтегральном выражении (которые обозначены i и j ). Сумма интегралов описывает вход и выход частиц вида i в элемент фазового пространства или из него.

Приложения и расширения

Уравнения сохранения

Уравнение Больцмана можно использовать для вывода гидродинамических законов сохранения массы, заряда, импульса и энергии. Для жидкости, состоящей только из одного вида частиц, плотность числа n определяется выражением $$n=\int f\,d^{3}\mathbf {p} .$$

Среднее значение любой функции A равно $$\langle A\rangle ={\frac {1}{n}}\int Af\,d^{3}\mathbf {p} .$$

Поскольку в уравнениях сохранения используются тензоры, будет использоваться соглашение Эйнштейна о суммировании, где повторяющиеся индексы в произведении указывают на суммирование по этим индексам. Таким образом $\mathbf {x} \mapsto x_{i}$ и $\mathbf {p} \mapsto p_{i}=mv_{i}$, где $v_{i}$ – вектор скорости частицы. Определять $A(p_{i})$ как некоторая функция импульса $p_{i}$ единственное, которое сохраняется при столкновении. Предположим также, что сила $F_{i}$ является функцией только положения, и что f равно нулю для $p_{i}\to \pm \infty$. Умножение уравнения Больцмана на A и интегрирование по импульсу дает четыре члена, которые с помощью интегрирования по частям можно выразить как

$$\int A{\frac {\partial f}{\partial t}}\,d^{3}\mathbf {p} ={\frac {\partial }{\partial t}}(n\langle A\rangle ),$$

$$\int {\frac {p_{j}A}{m}}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\,d^{3}\mathbf {p} ={\frac {1}{m}}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}(n\langle Ap_{j}\rangle ),$$

$$\int AF_{j}{\frac {\partial f}{\partial p_{j}}}\,d^{3}\mathbf {p} =-nF_{j}\left\langle {\frac {\partial A}{\partial p_{j}}}\right\rangle ,$$

$$\int A\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\text{coll}}\,d^{3}\mathbf {p} =0,$$

где последний член равен нулю, поскольку A сохраняется при столкновении. Значения A соответствуют моментам скорости $v_{i}$ (и импульс $p_{i}$, поскольку они линейно зависимы).

Нулевой момент

Сдача в аренду $A=m(v_{i})^{0}=m$, масса частицы, интегрированное уравнение Больцмана становится уравнением сохранения массы: $${\frac {\partial }{\partial t}}\rho +{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}(\rho V_{j})=0,$$ где $\rho =mn$ - массовая плотность, а $V_{i}=\langle v_{i}\rangle$ – средняя скорость жидкости.

Первый момент

Сдача в аренду $A=m(v_{i})^{1}=p_{i}$, импульс частицы, интегрированное уравнение Больцмана становится уравнением сохранения импульса:

$${\frac {\partial }{\partial t}}(\rho V_{i})+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}(\rho V_{i}V_{j}+P_{ij})-nF_{i}=0,$$

где $P_{ij}=\rho \langle (v_{i}-V_{i})(v_{j}-V_{j})\rangle$ – тензор давления ( тензор вязких напряжений плюс гидростатическое давление ).

Второй момент

Сдача в аренду $A={\frac {m(v_{i})^{2}}{2}}={\frac {p_{i}p_{i}}{2m}}$, кинетическая энергия частицы, интегрированное уравнение Больцмана становится уравнением сохранения энергии:

$${\frac {\partial }{\partial t}}(u+{\tfrac {1}{2}}\rho V_{i}V_{i})+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}(uV_{j}+{\tfrac {1}{2}}\rho V_{i}V_{i}V_{j}+J_{qj}+P_{ij}V_{i})-nF_{i}V_{i}=0,$$

где ${\textstyle u={\tfrac {1}{2}}\rho \langle (v_{i}-V_{i})(v_{i}-V_{i})\rangle }$ - плотность кинетической тепловой энергии, а ${\textstyle J_{qi}={\tfrac {1}{2}}\rho \langle (v_{i}-V_{i})(v_{k}-V_{k})(v_{k}-V_{k})\rangle }$ – вектор теплового потока.

гамильтонова механика

В гамильтоновой механике уравнение Больцмана часто записывается в более общем виде как $${\hat {\mathbf {L} }}[f]=\mathbf {C} [f],$$ где L — оператор Лиувилля (существует противоречивое определение между оператором Лиувилля, как он определен здесь, и определением в статье, на которую есть ссылка), описывающим эволюцию объема фазового пространства, а C — оператор столкновений. Нерелятивистская форма L есть $${\hat {\mathbf {L} }}_{\mathrm {NR} }={\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {\mathbf {p} }{m}}\cdot \nabla +\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial }{\partial \mathbf {p} }}\,.$$

Квантовая теория и нарушение закона сохранения числа частиц

Можно записать релятивистские квантовые уравнения Больцмана для релятивистских квантовых систем, в которых число частиц не сохраняется при столкновениях. Это имеет несколько применений в физической космологии . включая образование легких элементов в ходе нуклеосинтеза Большого взрыва , производство темной материи и бариогенеза . Априори не ясно, можно ли охарактеризовать состояние квантовой системы классической плотностью фазового пространства f . Однако для широкого класса приложений существует четко определенное обобщение f , которое является решением эффективного уравнения Больцмана, которое можно вывести из первых принципов квантовой теории поля .

Общая теория относительности и астрономия

Уравнение Больцмана используется в галактической динамике. Галактику при определенных предположениях можно представить как непрерывную жидкость; его массовое распределение тогда представляется f ; в галактиках физические столкновения между звездами очень редки, а эффектом гравитационных столкновений можно пренебречь в течение времени, намного превышающего возраст Вселенной .

Его обобщение в общей теории относительности есть $${\hat {\mathbf {L} }}_{\mathrm {GR} }[f]=p^{\alpha }{\frac {\partial f}{\partial x^{\alpha }}}-\Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma }p^{\beta }p^{\gamma }{\frac {\partial f}{\partial p^{\alpha }}}=C[f],$$ где Γ ^а _βγ — символ Кристоффеля второго рода (при этом предполагается отсутствие внешних сил, так что частицы движутся по геодезическим в отсутствие столкновений), с той важной тонкостью, что плотность является функцией смешанного контравариантно-ковариантного ( x ^я , pi ₎ контравариантного фазовое пространство в отличие от полностью ( x ^я , п ^я ) фазовое пространство.

В физической космологии полностью ковариантный подход использовался для изучения космического микроволнового фонового излучения. В более общем плане изучение процессов в ранней Вселенной часто пытается принять во внимание эффекты квантовой механики и общей теории относительности . В очень плотной среде, образованной первичной плазмой после Большого взрыва , частицы непрерывно создаются и уничтожаются. В такой среде квантовая когерентность и пространственное расширение волновой функции могут влиять на динамику, ставя под сомнение, подходит ли классическое распределение f в фазовом пространстве , которое появляется в уравнении Больцмана, для описания системы. Однако во многих случаях возможно вывести эффективное уравнение Больцмана для обобщенной функции распределения из первых принципов квантовой теории поля . Это включает в себя образование легких элементов в ходе нуклеосинтеза Большого взрыва , производство темной материи и бариогенез .

Решение уравнения

Доказано, что в некоторых случаях существуют точные решения уравнений Больцмана; этот аналитический подход дает понимание, но обычно непригоден для решения практических задач.

Вместо этого численные методы (включая методы конечных элементов и решеточные методы Больцмана для поиска приближенных решений различных форм уравнения Больцмана обычно используются ). Примеры применения варьируются от гиперзвуковой аэродинамики в потоках разреженного газа. плазменным потокам. Приложением уравнения Больцмана в электродинамике является расчет электропроводности - результат в ведущем порядке идентичен квазиклассическому результату.

Вблизи локального равновесия решение уравнения Больцмана может быть представлено асимптотическим разложением по степеням числа Кнудсена ( Чепмена–Энскога разложение ). Первые два члена этого разложения дают уравнения Эйлера и уравнения Навье – Стокса . Высшие члены имеют особенности. Проблема математического развития предельных процессов, ведущих от атомистической точки зрения (представленной уравнением Больцмана) к законам движения континуумов, является важной частью шестой проблемы Гильберта .

Ограничения и дальнейшее использование уравнения Больцмана

Уравнение Больцмана справедливо только при нескольких предположениях. Например, предполагается, что частицы точечны, т.е. не имеют конечного размера. Существует обобщение уравнения Больцмана, называемое уравнением Энскога . Член столкновения изменен в уравнениях Энскога таким образом, что частицы имеют конечный размер, например, их можно моделировать как сферы с фиксированным радиусом.

Для частиц не предполагается никаких других степеней свободы, кроме поступательного движения. Если существуют внутренние степени свободы, уравнение Больцмана должно быть обобщенным и может иметь неупругие столкновения .

Многие реальные жидкости, такие как жидкости или плотные газы, помимо упомянутых выше особенностей имеют более сложные формы столкновений, будут не только бинарные, но также тройные и более высокие порядки столкновений. Они должны быть получены с использованием иерархии BBGKY .

Уравнения типа Больцмана также используются для движения клеток . Поскольку клетки представляют собой составные частицы , обладающие внутренними степенями свободы, соответствующие обобщенные уравнения Больцмана должны иметь интегралы неупругих столкновений. Такие уравнения могут описывать инвазию раковых клеток в ткани, морфогенез и хемотаксисом эффекты, связанные с .

См. также

• уравнение Власова
• Уравнение Власова–Пуассона
• Уравнение Фоккера – Планка
• Уравнение Вильямса – Больцмана
• Вывод уравнения Навье – Стокса из LBE
• Вывод уравнения Джинса из BE
• Теорема Джинса
• H-теорема

Ссылки

• Харрис, Стюарт (1971). Введение в теорию уравнения Больцмана . Дуврские книги. п. 221. ИСБН  978-0-486-43831-3 . . Очень недорогое введение в современную структуру (начиная с формального вывода из Лиувилля и иерархии Боголюбова-Борна-Грина-Кирквуда-Ивона (BBGKY), в которую помещено уравнение Больцмана). Большинство учебников по статистической механике, таких как Хуанг, по-прежнему рассматривают эту тему, используя оригинальные аргументы Больцмана. Для вывода уравнения в этих книгах используется эвристическое объяснение, которое не раскрывает диапазон применимости и характерные допущения, которые отличают уравнение Больцмана от других уравнений переноса, таких как уравнения Фоккера-Планка или Ландау .

• Аркерид, Лейф (1972). «Об уравнении Больцмана, часть I: Существование». Арх. Рациональный механизм. Анал . 45 (1): 1–16. Бибкод : 1972АрРМА..45....1А . дои : 10.1007/BF00253392 . S2CID   117877311 .
• Аркерид, Лейф (1972). «Об уравнении Больцмана, часть II: проблема полного начального значения». Арх. Рациональный механизм. Анал . 45 (1): 17–34. Бибкод : 1972АрРМА..45...17А . дои : 10.1007/BF00253393 . S2CID   119481100 .
• Аркерид, Лейф (1972). «Об уравнении Больцмана, часть I: Существование». Арх. Рациональный механизм. Анал . 45 (1): 1–16. Бибкод : 1972АрРМА..45....1А . дои : 10.1007/BF00253392 . S2CID   117877311 .
• ДиПерна, Р.Дж.; Лайонс, П.-Л. (1989). «О задаче Коши для уравнений Больцмана: глобальное существование и слабая устойчивость». Энн. математики . 2. 130 (2): 321–366. дои : 10.2307/1971423 . JSTOR   1971423 .

Внешние ссылки

• Уравнение переноса Больцмана, автор Франц Веселый.
• Поведение газов Больцмана решено