Численные методы в механике жидкости

Движение жидкости определяется уравнениями Навье – Стокса , набором связанных и нелинейных уравнений.уравнения в частных производных, выведенные из основных законов сохранения массы , импульса и энергия . Неизвестными обычно являются скорость потока , давление , плотность и температура . Аналитическое решение этого уравнения невозможно, поэтому в таких ситуациях ученые прибегают к лабораторным экспериментам. Однако полученные ответы обычно качественно различны, поскольку трудно обеспечить одновременное динамическое и геометрическое подобие между лабораторным экспериментом и прототипом . Более того, планирование и проведение этих экспериментов может быть трудным (и дорогостоящим), особенно для стратифицированных вращающихся потоков. Вычислительная гидродинамика (CFD) — дополнительный инструмент в арсенале учёных. На заре своего существования CFD часто вызывал споры, поскольку требовал дополнительного приближения к основным уравнениям и поднимал дополнительные (законные) проблемы. В настоящее время CFD является признанной дисциплиной наряду с теоретическими и экспериментальными методами. Такая позиция во многом обусловлена экспоненциальным ростом мощности компьютеров, который позволил нам решать все более крупные и сложные проблемы.

Дискретизация

Центральным процессом в CFD является процесс дискретизации , то есть процесс взятия дифференциальных уравнений с бесконечным числом степеней свободы и сведения их к системе с конечными степенями свободы. Следовательно, вместо того, чтобы определять решение везде и во все времена, мы будем довольствоваться его вычислением в конечном числе мест и в заданные промежутки времени. Уравнения в частных производных затем сводятся к системе алгебраических уравнений, которую можно решить на компьютере. В процессе дискретизации возникают ошибки. Необходимо контролировать характер и характеристики ошибок, чтобы обеспечить:

решаем правильные уравнения (свойство непротиворечивости)
что ошибку можно уменьшить по мере увеличения числа степеней свободы (устойчивости и сходимости).

Как только эти два критерия будут установлены, мощность вычислительных машин можно будет использовать для решения проблемы численно надежным способом. Для решения различных проблем были разработаны различные схемы дискретизации. Наиболее примечательными для наших целей являются: методы конечных разностей , методы конечных объёмов, методы конечных элементов и спектральные методы .

Метод конечных разностей

Конечная разность заменяет бесконечно малый предельный процесс вычисления производной:

\lim _{\Delta x\to 0}f'(x)={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}

с конечным предельным процессом, т.е.

f'(x)={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}+O(\Delta x)

Термин $O(\Delta x)$ дает представление о величине ошибки как функции шага сетки. В этом случае ошибка уменьшается вдвое, если шаг сетки _x уменьшается вдвое, и мы говорим, что это метод первого порядка. Большинство FDM, используемых на практике, имеют точность как минимум второго порядка, за исключением особых обстоятельств. Метод конечных разностей по-прежнему остается самым популярным численным методом решения уравнений в частных уравнениях из-за его простоты, эффективности и низких вычислительных затрат. Их главный недостаток заключается в их геометрической негибкости, что усложняет их применение в общих сложных областях. Эти проблемы можно устранить за счет использования методов отображения и/или маскировки для соответствия расчетной сетки вычислительной области.

Метод конечных элементов

Метод конечных элементов был разработан для решения проблем со сложными расчетными областями. УЧП сначала преобразуется в вариационную форму, которая, по сути, приводит к тому, что средняя ошибка везде становится малой. Шаг дискретизации заключается в разделении расчетной области на элементы треугольной или прямоугольной формы. Решение внутри каждого элемента интерполируется полиномом обычно низкого порядка. Опять же, неизвестные являются решением в точках коллокации. Сообщество CFD приняло FEM в 1980-х годах, когда были разработаны надежные методы решения проблем, в которых преобладает адвекция.

Спектральный метод

И методы конечных элементов, и методы конечных разностей являются методами низкого порядка, обычно 2–4-го порядка, и обладают свойством локальной аппроксимации. Под локальным мы подразумеваем, что на конкретную точку коллокации влияет ограниченное количество точек вокруг нее. Напротив, спектральный метод обладает свойством глобальной аппроксимации. Интерполяционные функции, полиномы или тригономические функции, носят глобальный характер. Их основное преимущество заключается в скорости сходимости, которая зависит от гладкости решения (т. е. от того, сколько непрерывных производных оно допускает). Для бесконечно гладкого решения ошибка убывает экспоненциально, т.е. быстрее, чем алгебраически. Спектральные методы в основном используются при расчетах однородной турбулентности и требуют относительно простой геометрии. В модели атмосферы также используются спектральные методы из-за их свойств сходимости и правильной сферической формы расчетной области.

Метод конечного объема

Методы конечных объемов в основном используются в аэродинамических приложениях, где возникают сильные толчки и разрывы решения. Метод конечных объемов решает интегральную форму основных уравнений, так что свойство локальной непрерывности не обязательно должно соблюдаться.

Стоимость вычислений

Время процессора для решения системы уравнений существенно различается от метода к методу. Конечные разности обычно являются самыми дешевыми в расчете на каждую точку сетки, за ними следуют метод конечных элементов и спектральный метод. Однако сравнение по точкам сетки немного похоже на сравнение яблок и апельсинов. Спектральные методы обеспечивают большую точность в расчете на каждую точку сетки, чем FEM или FDM . Сравнение будет более значимым, если вопрос будет сформулирован следующим образом: «Каковы вычислительные затраты для достижения заданной устойчивости к ошибкам?». Проблема становится проблемой определения меры ошибки, что в общих ситуациях является сложной задачей.

Прямое приближение Эйлера

{\frac {u^{n+1}-u^{n}}{\Delta t}}\approx \kappa u^{n}

Уравнение является явной аппроксимацией исходного дифференциального уравнения, поскольку никакая информация о неизвестной функции в будущий момент времени ( n + 1) _t в правой части уравнения не использовалась . Чтобы получить ошибку, допущенную в аппроксимации, мы снова полагаемся на ряд Тейлора .

Обратная разница

Это пример неявного метода, поскольку неизвестное u ( n + 1) использовалось при оценке наклона решения в правой части; это не проблема, которую нужно решить для u ( n + 1) в этом скалярном и линейном случае. Для более сложных ситуаций, таких как нелинейная правая часть или система уравнений, возможно, придется инвертировать нелинейную систему уравнений.

Ссылки

Источники

Залесак, С.Т., 2005. Разработка алгоритмов транспорта с коррекцией потока для структурированных сетей. В: Кузьмин Д., Лёнер Р., Турек С. (ред.), Транспорт с коррекцией потока. Спрингер
Залесак, С.Т., 1979. Полностью многомерные алгоритмы переноса жидкостей с коррекцией потока. Журнал вычислительной физики.
Леонард, Б.П., МакВин, М.К., Лок, А.П., 1995. Метод интеграла потока для многомерной конвекции и диффузии. Прикладное математическое моделирование.
Щепеткин А.Ф., МакВильямс Дж.К., 1998. Схемы квазимонотонной адвекции, основанные на явной локально адаптивной диссипации . Ежемесячный обзор погоды
Цзян, К.-С., Шу, К.-В., 1996. Эффективная реализация взвешенных Эно-схем. Журнал вычислительной физики
Финлейсон, Б.А., 1972. Метод взвешенных невязок и вариационные принципы. Академическая пресса.
Дюрран, Д.Р., 1999. Численные методы решения волновых уравнений в геофизической гидродинамике. Спрингер, Нью-Йорк.
Дукович, Дж. К., 1995. Эффекты сетки для волн Россби. Журнал вычислительной физики
Кануто, К., Хуссаини, М.Ю., Квартерони, А., Занг, Т.А., 1988. Спектральные методы в гидродинамике. Серия Спрингера по вычислительной физике. Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк.
Батчер, Дж. К., 1987. Численный анализ обыкновенных дифференциальных уравнений . John Wiley and Sons Inc., Нью-Йорк.
Борис, Дж. П., Бук, Д. Л., 1973. Транспорт с коррекцией потока, i: Shasta, работающий алгоритм транспортировки жидкости. Журнал вычислительной физики

Цитаты