Уравнение распыления Вильямса

При сгорании уравнение распыления Вильямса , также известное как уравнение Вильямса-Больцмана , описывает статистическую эволюцию распылений, содержащихся в другой жидкости, аналогично уравнению Больцмана для молекул, названному в честь Формана А. Уильямса , который вывел это уравнение в 1958 году. .

Математическое описание

Предполагается, что струи имеют сферическую форму с радиусом $r$, хотя это предположение справедливо для твердых частиц (капель жидкости), когда их форма не влияет на горение. Чтобы капли жидкости были почти сферическими, струя должна быть разбавленной (общий объем, занимаемый струями, намного меньше объема газа) и число Вебера $We=2r\rho _{g}|\mathbf {v} -\mathbf {u} |^{2}/\sigma$, где $\rho _{g}$ плотность газа, $\mathbf {v}$ - скорость распыляемой капли, $\mathbf {u}$ скорость газа и $\sigma$ поверхностное натяжение распыляемой жидкости, должно быть $We\ll 10$.

Уравнение описывается функцией числовой плотности $f_{j}(r,\mathbf {x} ,\mathbf {v} ,T,t)\,dr\,d\mathbf {x} \,d\mathbf {v} \,dT$, который представляет собой вероятное количество распыляемых частиц (капель) химических веществ. $j$ (из $M$ общее количество видов), которые можно найти с радиусами между $r$ и $r+dr$, расположенный в пространственном диапазоне между $\mathbf {x}$ и $\mathbf {x} +d\mathbf {x}$, движущийся со скоростью между $\mathbf {v}$ и $\mathbf {v} +d\mathbf {v}$, имея температуру между $T$ и $T+dT$ во время $t$. Тогда уравнение распыления для эволюции этой функции плотности имеет вид

${\frac {\partial f_{j}}{\partial t}}+\nabla _{x}\cdot (\mathbf {v} f_{j})+\nabla _{v}\cdot (F_{j}f_{j})=-{\frac {\partial }{\partial r}}(R_{j}f_{j})-{\frac {\partial }{\partial T}}(E_{j}f_{j})+Q_{j}+\Gamma _{j},\quad j=1,2,\ldots ,M.$

где

$F_{j}=\left({\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\right)_{j}$ это сила на единицу массы, действующая на $j^{\text{th}}$ вид распыления (ускорение, приложенное к распылителям),

$R_{j}=\left({\frac {dr}{dt}}\right)_{j}$ это скорость изменения размера $j^{\text{th}}$ видовой спрей,

$E_{j}=\left({\frac {dT}{dt}}\right)_{j}$ это скорость изменения температуры $j^{\text{th}}$ разбрызгивание видов за счет теплопередачи,

$Q_{j}$ - скорость изменения плотности числа функции $j^{\text{th}}$ разбрызгивание частиц из-за нуклеации, распада жидкости и т. д.,

$\Gamma _{j}$ - скорость изменения функции плотности числа $j^{\text{th}}$ разбрызгивания частиц из-за столкновения с другими частицами распыляемых частиц.

Упрощенная модель ракеты на жидком топливе.

Эту модель ракетного двигателя разработал Проберт. Уильямс и Танасава. Разумно пренебречь $Q_{j},\ \Gamma _{j}$, на расстояниях, не очень близких к распылителю, где происходит основная часть сгорания. Рассмотрим одномерный жидкостный ракетный двигатель, расположенный на $x=0$, где распыляется топливо. Пренебрежение $E_{j}$(функция плотности определяется без учета температуры, поэтому соответственно размеры $f_{j}$ изменяется) и из-за того, что средний поток параллелен $x$ оси, уравнение устойчивого распыления сводится к

${\frac {\partial }{\partial r}}(R_{j}f_{j})+{\frac {\partial }{\partial x}}(u_{j}f_{j})+{\frac {\partial }{\partial u_{j}}}(F_{j}f_{j})=0$

где $u_{j}$ это скорость в $x$ направление. Интегрирование по результатам скорости

${\frac {\partial }{\partial r}}\left(\int R_{j}f_{j}\,du_{j}\right)+{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\int u_{j}f_{j}\,du_{j}\right)+[F_{j}f_{j}]_{0}^{\infty }=0$

Вклад последнего члена (член ускорения распыления) становится нулевым (с использованием теоремы о дивергенции ), поскольку $f_{j}\rightarrow 0$ когда $u$ очень велик, что обычно бывает в ракетных двигателях. Размер капли $R_{j}$ хорошо моделируется с использованием механизмов испарения, как

$R_{j}=-{\frac {\chi _{j}}{r^{k_{j}}}},\quad \chi _{j}\geq 0,\quad 0\leq k_{j}\leq 1$

где $\chi _{j}$ не зависит от $r$, но может зависеть от окружающего газа. Определение количества капель в единице объема на единицу радиуса и средних величин, усредненных по скоростям,

$G_{j}=\int f_{j}\,du_{j},\quad {\bar {R}}_{j}={\frac {\int R_{j}f_{j}\,du_{j}}{G_{j}}},\quad {\bar {u}}_{j}={\frac {\int u_{j}f_{j}\,du_{j}}{G_{j}}}$

уравнение становится

${\frac {\partial }{\partial r}}({\bar {R}}_{j}G_{j})+{\frac {\partial }{\partial x}}({\bar {u}}_{j}G_{j})=0.$

Если далее предположить, что ${\bar {u}}_{j}$ не зависит от $r$, и с преобразованной координатой

$\eta _{j}=\left[r^{k_{j}+1}+(k_{j}+1)\int _{0}^{x}{\frac {\chi _{j}}{{\bar {u}}_{j}}}\,dx\right]^{1/(k_{j}+1)}$

Если камера сгорания имеет переменную площадь поперечного сечения $A(x)$, известная функция для $x>0$ и с площадью $A_{o}$ в месте распыления, то раствор определяется выражением

$G_{j}(\eta _{j})=G_{j,o}(\eta _{j}){\frac {A_{o}{\bar {u}}_{j,o}}{A{\bar {u}}_{j}}}\left({\frac {r}{\eta _{j}}}\right)^{k_{j}}$.

где $G_{j,0}=G_{j}(r,0),\ {\bar {u}}_{j,0}={\bar {u}}_{j}(x=0)$ - распределение чисел и средняя скорость на $x=0$ соответственно.

См. также

• Уравнение Больцмана
• Спрей (жидкая капля)
• Жидкостная ракета
• Уравнение коагуляции Смолуховского