Теорема Джинса

В астрофизике и статистической механике , теорема Джинса названная в честь Джеймса Джинса , утверждает, что любое стационарное решение бесстолкновительного уравнения Больцмана зависит от координат фазового пространства только через интегралы движения в заданном потенциале, и наоборот, любая функция интегралов есть стационарное решение.

Теорема Джинса чаще всего обсуждается в контексте потенциалов, характеризующихся тремя глобальными интегралами. В таких потенциалах все орбиты регулярны, т. е. нехаотичны ; потенциал Кеплера является одним из примеров. В общих потенциалах некоторые орбиты соблюдают только один или два интеграла, и соответствующее движение хаотично. Теорему Джинса можно обобщить на такие потенциалы следующим образом:

Плотность фазового пространства стационарной звездной системы постоянна в каждой хорошо связанной области.

Хорошо связная область — это такая область, которую нельзя разложить на две конечные области, так что все траектории всегда лежат либо в одной, либо в другой. Такими областями являются инвариантные торы регулярных орбит, а также более сложные части фазового пространства, связанные с хаотическими траекториями. Поэтому для устойчивого состояния не требуется интегрируемость движения.

Математическое описание

Рассмотрим бесстолкновительное уравнение Больцмана для функции распределения $f(\mathbf {x} ,\mathbf {v} ,t)$

${\frac {\partial f}{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla f+{\frac {1}{m}}\mathbf {F} \cdot \nabla _{v}f=0.$

Рассмотрим лагранжев подход к движению частицы, и в этом случае искомые уравнения имеют вид

${\frac {d\mathbf {x} }{dt}}=\mathbf {v}$

${\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {\mathbf {F} }{m}}.$

Пусть решения этих уравнений будут

$\mathbf {x} =\mathbf {x} (\alpha _{1},\dots ,\alpha _{6},t)$

$\mathbf {v} =\mathbf {v} (\alpha _{1},\dots ,\alpha _{6},t)$

где $\alpha _{i}$s — константы интегрирования. Предположим, что из приведенного выше набора мы можем решить $\alpha _{i}$, то есть мы можем найти

$\alpha _{i}=\alpha _{i}(\mathbf {x} ,\mathbf {v} ,t).$

Теперь рассмотрим произвольную функцию от $\alpha _{i}$х,

$f=f(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{6}).$

Тогда эта функция является решением бесстолкновительного уравнения Больцмана, в чем можно убедиться, подставив эту функцию в бесстолкновительное уравнение Больцмана и найдя

$\sum _{i=1}^{6}{\frac {\partial f}{\partial \alpha _{i}}}\left[{\frac {\partial \alpha _{i}}{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla \alpha _{i}+{\frac {1}{m}}\mathbf {F} \cdot \nabla _{v}\alpha _{i}\right]=\sum _{i=1}^{6}{\frac {\partial f}{\partial \alpha _{i}}}{\frac {d\alpha _{i}}{dt}}=0.$

Это доказывает теорему.

Тривиальный набор констант интегрирования является начальным местоположением $\mathbf {x} _{0}$ и начальные скорости $\mathbf {v} _{0}$ частицы. В этом случае любая функция

$f=f(\mathbf {x} _{0}(\mathbf {x} ,\mathbf {v} ,t),\mathbf {v} _{0}(\mathbf {x} ,\mathbf {v} ,t))$

является решением бесстолкновительного уравнения Больцмана.

См. также

• Уравнения джинсов