Уравнения джинсов

Моделирование N-тел Техасского университета. Описывается уравнениями Джинса в гравитационном потенциале.

Уравнения Джинса представляют собой набор дифференциальных уравнений в частных производных , которые описывают движение группы звезд в гравитационном поле . Уравнения Джинса связывают моменты скорости второго порядка с плотностью и потенциалом звездной системы для систем без столкновений. Они аналогичны уравнениям Эйлера для потока жидкости и могут быть получены из бесстолкновительного уравнения Больцмана . Уравнения Джинса могут принимать самые разные формы, в зависимости от структуры моделируемого объекта. Наибольшее использование этих уравнений было обнаружено в моделировании с большим количеством гравитационно связанных объектов.

История

Уравнения Джинса были первоначально выведены Джеймсом Клерком Максвеллом . Однако впервые их применил в астрономии Джеймс Джинс в 1915 году, когда работал над звездной гидродинамикой. С тех пор множественные решения уравнений были рассчитаны аналитически и численно. Некоторые известные решения включают сферически-симметричное решение, полученное Джеймсом Бинни в 1983 году, и осесимметричные решения, найденные в 1995 году Ричардом Арнольдом.

Математика

Вывод из уравнения Больцмана

Уравнение Больцмана без столкновений, также называемое уравнением Власова, представляет собой специальную форму уравнения Лиувилля и имеет вид:

${\partial f \over \partial t}+v{\partial f \over \partial r}-{\partial \Phi \over \partial r}{\partial f \over \partial v}=0$ Или в векторной форме: ${\partial f \over \partial t}+{\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}f-{\vec {\nabla }}\Phi \cdot {\partial f \over \partial {\vec {v}}}=0$

Объединение уравнения Власова с уравнением Пуассона для гравитации: $$\nabla ^{2}\phi =4\pi G\rho .$$дает уравнения Джинса.

Более подробно: если n = n ( x , t ) — плотность звезд в космосе как функция положения x = ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) и времени t , v = ( v ₁ , v ₂ , v ₃ ) — скорость, а Φ = Φ( x , t ) — гравитационный потенциал , уравнения Джинса можно записать как:

${\frac {\partial n}{\partial t}}+\sum _{i}{\frac {\partial (n\langle {v_{i}}\rangle )}{\partial x_{i}}}=0,$

${\frac {\partial (n\langle {v_{j}}\rangle )}{\partial t}}+n{\frac {\partial \Phi }{\partial x_{j}}}+\sum _{i}{\frac {\partial (n\langle {v_{i}v_{j}}\rangle )}{\partial x_{i}}}=0\qquad (j=1,2,3.)$

Здесь обозначение ⟨...⟩ означает среднее значение в данный момент и время (x,t), так что, например, $\langle {v_{1}}\rangle$ представляет собой среднее значение первой компоненты скорости звезд в данную точку и время. Второй набор уравнений можно альтернативно записать как

$n{\frac {\partial \langle {v_{j}}\rangle }{\partial t}}+\sum _{i}n\langle {v_{i}}\rangle {\frac {\partial {\langle {v_{j}}\rangle }}{\partial x_{i}}}=-n{\frac {\partial \Phi }{\partial x_{j}}}-\sum _{i}{\frac {\partial (n\sigma _{ij}^{2})}{\partial x_{i}}}\qquad (j=1,2,3.)$

где пространственная часть тензора энергии-импульса определяется как: $\sigma _{ij}^{2}=\langle {v_{i}v_{j}}\rangle -\langle {v_{i}}\rangle \langle {v_{j}}\rangle$ и измеряет дисперсию скоростей компонентов i и j в данной точке.

Некоторые данные предположения относительно этих уравнений включают:

• Поток в фазовом пространстве должен сохранять массу
• Плотность вокруг данной звезды остается неизменной или несжимаемой.

Обратите внимание, что уравнения Джинса содержат 9 неизвестных (3 средних скорости и 6 членов тензора напряжений), но только 3 уравнения. Это означает, что уравнения Джинса не замкнуты. Для решения различных систем делаются различные предположения о тензоре напряжений.

Сферические уравнения Джинса

Одно из фундаментальных применений уравнения Джина - сферические гравитационные тела. В сферических координатах уравнения имеют вид:

${\partial \rho \langle v_{r}\rangle \over \partial t}+{\partial \rho \langle v_{r}^{2}\rangle \over \partial r}+{\rho \over r}[2\langle v_{r}^{2}\rangle -\langle v_{\theta }^{2}\rangle -\langle v_{\phi }^{2}\rangle ]+\rho {\partial \Phi \over \partial r}=0$

${\partial \rho \langle v_{\theta }\rangle \over \partial t}+{\partial \rho \langle v_{r}v_{\theta }\rangle \over \partial r}+{\rho \over r}[3\langle v_{r}v_{\theta }\rangle +(\langle v_{\theta }^{2}\rangle -\langle v_{\phi }^{2}\rangle )\cot(\theta )]=0$

${\partial \rho \langle v_{\phi }\rangle \over \partial t}+{\partial \rho \langle v_{r}v_{\phi }\rangle \over \partial r}+{\rho \over r}[3\langle v_{r}v_{\phi }\rangle +2\langle v_{\theta }v_{\phi }\rangle \cot(\theta )]=0$

Используя тензор напряжений в предположении, что он диагональный и $\sigma _{\theta }^{2}=\sigma _{\phi }^{2}$, можно свести эти уравнения к одному упрощенному уравнению:

${\partial (\rho \sigma _{r}^{2}) \over \partial r}+{2\rho \over r}[\sigma _{r}^{2}-\sigma _{\theta }^{2}]+\rho {\partial \Phi \over \partial r}=0$

И снова есть две неизвестные функции ( $\sigma _{r}^{2}(r)$ и $\sigma _{\theta }^{2}(r)$), которые требуют допущений для решения уравнения.

Приложения

Уравнение Джинса нашло большое применение в гравитационных исследованиях моделирования N-тел . Масштаб этих симуляций может варьироваться от нашей Солнечной системы до всей Вселенной. Используя измерения плотности числа звезд и различных кинематических значений, можно оценить параметры уравнений Джинса. Это позволяет проводить различные анализы через призму уравнений Джинса. Это особенно полезно при моделировании распределения гало темной материи из-за ее изотермического неинтерактивного поведения. Поиски структуры формирования галактик, формирования темной материи и формирования вселенной могут сопровождаться наблюдениями, дополненными моделированием с использованием уравнений Джинса.

Телескоп SDSS, предоставляющий данные для оценки параметров уравнения Джинса.

Гало темной материи Млечного Пути

Художественное изображение гало темной материи вокруг Млечного Пути. Моделирование с помощью уравнения Джинса накладывает ограничения на размер этого ореола.

Примером такого анализа являются ограничения, которые можно наложить на гало темной материи внутри Млечного Пути . Используя измерения нашей Галактики в рамках Слоановского цифрового обзора неба , исследователи смогли смоделировать распределение гало темной материи с помощью уравнений Джинса. Сравнивая измеренные значения с результатами моделирования по уравнению Джинса, они подтвердили необходимость наличия дополнительной темной материи и наложили ограничения на размер ее эллипсоида. Они оценили отношение малой и большой оси этого гало в 0,47. $\pm$ 0,14. Этот метод был применен ко многим другим галактическим гало. и получили аналогичные результаты относительно топологии гало темной материи.

Ограничения моделирования

Однако ограничивающим фактором этого моделирования были данные, необходимые для аппроксимации значений параметров тензора напряжений, которые диктуют поведение уравнений Джинса. Кроме того, на моделирование уравнения Джинса можно наложить некоторые ограничения, чтобы получить надежные результаты. Некоторые из этих ограничений включают требования к разрешению по длине волны, переменное гравитационное смягчение и минимальное разрешение частиц по вертикальной структуре.

См. также

• Теорема Джинса