Опер (математика)

В математике опер — это главное соединение или, говоря более элементарно, тип дифференциального оператора . Впервые они были определены и использованы Владимиром Дринфельдом и Владимиром Соколовым. изучить, как уравнение КдФ и связанные с ним интегрируемые УЧП соответствуют алгебраическим структурам, известным как алгебры Каца – Муди . Их современная формулировка принадлежит Дринфельду и Александру Бейлинсону .

История

Оперы были впервые определены, хотя и не названы, в российской статье 1981 года Дринфельда и Соколова об уравнениях типа Кортевега – де Фриза и простых алгебрах Ли . Позже они были обобщены Дринфельдом и Бейлинсоном в 1993 году и позже опубликованы в электронном виде в 2005 году.

Формулировка

Аннотация

Позволять $G$ — связная редуктивная группа над комплексной плоскостью $\mathbb {C}$, с выделенной борелевской подгруппой $B=B_{G}\subset G$. Набор $N=[B,B]$, так что $H=B/N$ это группа Картана .

Обозначим через ${\mathfrak {n}}<{\mathfrak {b}}<{\mathfrak {g}}$ и ${\mathfrak {h}}={\mathfrak {b}}/{\mathfrak {n}}$ соответствующие алгебры Ли . Есть открытый $B$-орбита $\mathbf {O}$ состоящий из векторов, стабилизированных радикалом $N\subset B$ такие, что все их отрицательные компоненты с простым корнем отличны от нуля.

Позволять $X$ быть плавной кривой.

G -оператор на $X$ это тройка $({\mathfrak {F}},\nabla ,{\mathfrak {F}}_{B})$ где ${\mathfrak {F}}$ является директором $G$-пучок, $\nabla$ это соединение на ${\mathfrak {F}}$ и ${\mathfrak {F}}_{B}$ это $B$- сокращение ​ ${\mathfrak {F}}$, такой, что одноформенный $\nabla /{\mathfrak {F}}_{B}$ принимает значения в $\mathbf {O} _{{\mathfrak {F}}_{B}}$.

Пример

Исправить $X=\mathbb {P} ^{1}=\mathbb {CP} ^{1}$ сфера Римана . Работая на уровне алгебр, исправьте ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$, которое можно отождествить с пространством бесследных $2\times 2$ сложные матрицы. С $\mathbb {P} ^{1}$ имеет только одно (комплексное) измерение, одноформа имеет только один компонент, и поэтому ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$-значная форма локально описывается матрицей функций

$$A(z)={\begin{pmatrix}a(z)&b(z)\\c(z)&-a(z)\end{pmatrix}}$$

где $a,b,c$ могут быть мероморфными функциями.

Обозначим через ${\text{Conn}}_{{\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}(\mathbb {P} ^{1})$ пространство ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ значные мероморфные функции вместе с действием $g(z)$, мероморфные функции со значениями в ассоциированной группе Ли $G=SL(2,\mathbb {C} )$. Действие осуществляется посредством формального калибровочного преобразования :

$$g(z)*A(z)=g(z)A(z)g(z)^{-1}-g'(z)g(z)^{-1}.$$

Тогда оперы определяются в терминах подпространства этих связей. Обозначим через ${\text{op}}_{{\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}(\mathbb {P} ^{1})$ пространство связей с $c(z)\equiv 1$. Обозначим через $N$ подгруппа мероморфных функций со значениями в $SL(2,\mathbb {C} )$ формы ${\begin{pmatrix}1&f(z)\\0&1\end{pmatrix}}$с $f(z)$ мероморфный.

Тогда для $g(z)\in N,A(z)\in {\text{op}}_{{\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}(\mathbb {P} ^{1}),$ он утверждает, что $g(z)*A(z)\in {\text{op}}_{{\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}(\mathbb {P} ^{1})$. Следовательно, оно определяет действие. Орбиты этого действия конкретно характеризуют оперы. Однако обычно это описание справедливо только локально и не обязательно глобально.

Модель Годена

См. Также: модель Годена

Работает на $\mathbb {P} ^{1}$ были использованы Борисом Фейгиным , Эдвардом Френкелем и Николаем Решетихиным для характеристики спектра модели Годена .

В частности, для ${\mathfrak {g}}$- Модель Годена и определение $^{L}{\mathfrak {g}}$ как двойственная алгебра Ленглендса, существует биекция между спектром алгебры Годена, порожденной операторами, определенными в модели Годена, и алгебраическим многообразием $^{L}{\mathfrak {g}}$ опер.