Автоморфизм алгебры Ли

В абстрактной алгебре — автоморфизм алгебры Ли. ${\mathfrak {g}}$ является изоморфизмом из ${\mathfrak {g}}$ самому себе, то есть биективное линейное отображение, сохраняющее скобку Ли. Множество автоморфизмов ${\mathfrak {g}}$ обозначаются ${\text{Aut}}({\mathfrak {g}})$, автоморфизмов группа ${\mathfrak {g}}$.

Внутренние и внешние автоморфизмы

Подгруппа $\operatorname {Aut} ({\mathfrak {g}})$ сгенерировано с использованием присоединенного действия $e^{\operatorname {ad} (x)},x\in {\mathfrak {g}}$ называется автоморфизмов внутренней группой ${\mathfrak {g}}$. Группа обозначается $\operatorname {Aut} ^{0}({\mathfrak {g}})$. Они образуют нормальную подгруппу в группе автоморфизмов, а фактор $\operatorname {Aut} ({\mathfrak {g}})/\operatorname {Aut} ^{0}({\mathfrak {g}})$ известна как внешняя группа автоморфизмов .

Диаграммные автоморфизмы

Известно, что внешняя группа автоморфизмов простой алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ изоморфна группе автоморфизмов диаграмм соответствующей диаграммы Дынкина в классификации алгебр Ли. Таким образом, единственными алгебрами с нетривиальной внешней группой автоморфизмов являются $A_{n}(n\geq 2),D_{n}$ и $E_{6}$.

${\mathfrak {g}}$	Группа внешних автоморфизмов
$A_{n},n\geq 2$	$\mathbb {Z} _{2}$
$D_{n},n\neq 4$	$\mathbb {Z} _{2}$
$D_{4}$	$S_{3}$
$E_{6}$	$\mathbb {Z} _{2}$

Существуют способы конкретной реализации этих автоморфизмов в матричных представлениях этих групп. Для $A_{n}={\mathfrak {sl}}(n+1,\mathbb {C} )$, автоморфизм может быть реализован как отрицательное транспонирование. Для $D_{n}={\mathfrak {so}}(2n)$, автоморфизм получается сопряжением ортогональной матрицей в $O(2n)$ с определителем -1.

Выводы

Дифференцирование отображение на алгебре Ли — это линейное $$\delta :{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}$$удовлетворяющее правилу Лейбница $$\delta [X,Y]=[\delta X,Y]+[X,\delta Y].$$Множество дифференцирований на алгебре Ли ${\mathfrak {g}}$ обозначается $\operatorname {der} ({\mathfrak {g}})$, и является подалгеброй эндоморфизмов на ${\mathfrak {g}}$, то есть $\operatorname {der} ({\mathfrak {g}})<\operatorname {End} ({\mathfrak {g}})$. Они наследуют структуру алгебры Ли от структуры алгебры Ли на алгебре эндоморфизмов, а замыкание скобки следует из правила Лейбница.

В силу тождества Якоби можно показать, что образ присоединенного представления $\operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\rightarrow \operatorname {End} ({\mathfrak {g}})$ лежит в $\operatorname {der} ({\mathfrak {g}})$.

Через соответствие группа Ли-алгебра Ли группа Ли автоморфизмов $\operatorname {Aut} ({\mathfrak {g}})$ соответствует алгебре Ли дифференцирований $\operatorname {der} ({\mathfrak {g}})$.

Для ${\mathfrak {g}}$ конечны, все дифференцирования внутренние.

Примеры

• Для каждого $g$ в группе Лжи $G$, позволять $\operatorname {Ad} _{g}$ обозначим дифференциал в единице сопряжения через $g$. Затем $\operatorname {Ad} _{g}$ является автоморфизмом ${\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)$, действие присоединенное $g$.

Смотрите также: Картановская инволюция

Теоремы

Теорема Бореля –Морозова утверждает, что каждая разрешимая подалгебра комплексной полупростой алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ может быть отображено в подалгебру подалгебры Картана ${\mathfrak {h}}$ из ${\mathfrak {g}}$ внутренним автоморфизмом ${\mathfrak {g}}$. В частности, там сказано, что ${\mathfrak {h}}\oplus \bigoplus _{\alpha >0}{\mathfrak {g}}_{\alpha }=:{\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {g}}^{+}$, где ${\mathfrak {g}}_{\alpha }$ являются корневыми пространствами, является максимальной разрешимой подалгеброй (т. е. борелевской подалгеброй ).

Ссылки

• Э. Картан, Принцип двойственности и теория простых и полупростых групп. Бык. наук математики. 49, 1925, с. 361–374.
• Хамфрис, Джеймс (1972). Введение в алгебры Ли и теорию представлений . Спрингер. ISBN  0387900535 .
• Серр, Жан-Пьер (2000), полупростые Комплексные алгебры Ли , перевод Джонса, Джорджия, Спрингер, ISBN  978-3-540-67827-4 .