Изопериметрический размер

В математике изопериметрическая размерность многообразия топологического — это понятие размерности, которое пытается отразить, насколько крупномасштабное поведение многообразия напоминает поведение евклидова пространства (в отличие от измерения или измерения Хаусдорфа , которые сравнивают различное локальное поведение с поведением евклидова пространства). евклидово пространство).

В евклидовом пространстве изопериметрическое неравенство гласит, что из всех тел одинакового объёма шар имеет наименьшую площадь поверхности. В других многообразиях обычно очень трудно найти точное тело, минимизирующее площадь поверхности, и это не то, что касается изопериметрического измерения. Вопрос, который мы зададим, заключается в том, какова примерно минимальная площадь поверхности, каким бы ни было тело, реализующее ее.

Формальное определение

будем говорить О дифференцируемом многообразии M , что оно удовлетворяет d -мерному изопериметрическому неравенству , если для любого открытого множества D в M с гладкой границей выполнено

$\operatorname {area} (\partial D)\geq C\operatorname {vol} (D)^{(d-1)/d}.$

Обозначения объем и площадь относятся к обычным понятиям объема и площади поверхности на многообразии, или, точнее, если многообразие имеет n топологических измерений, то объем относится к n -мерному объему, а площадь относится к ( n - 1)-мерному объему. . Здесь C относится к некоторой константе, которая не зависит от D (она может зависеть от многообразия и от d ).

Изопериметрическая размерность M удовлетворяет — это верхняя грань всех значений d таких, что M d -мерному изопериметрическому неравенству.

Примеры

d - мерное евклидово пространство имеет изопериметрическую размерность d . Это хорошо известная изопериметрическая задача — как обсуждалось выше, для евклидова пространства константа C известна точно, поскольку для шара достигается минимум.

Бесконечный цилиндр (т.е. произведение окружности ) имеет топологическую размерность 2, но изопериметрическую размерность 1. Действительно, умножение любого многообразия на компактное многообразие не меняет изопериметрическую размерность и прямой (оно меняет только значение константы C ). Любое компактное многообразие имеет изопериметрическую размерность 0.

Также возможно, что изопериметрический размер будет больше топологического размера. Простейшим примером является бесконечный тренажерный зал в джунглях , который имеет топологическую размерность 2 и изопериметрическую размерность 3. см. в [1] Рисунки и код Mathematica .

Гиперболическая плоскость имеет топологическую размерность 2 и бесконечность изопериметрической размерности. Фактически гиперболическая плоскость имеет положительную константу Чигера . Это означает, что оно удовлетворяет неравенству

$\operatorname {area} (\partial D)\geq C\operatorname {vol} (D),$

откуда, очевидно, следует бесконечная изопериметрическая размерность.

Последствия изопериметрии

Простое интегрирование по r (или сумме в случае графов) показывает, что d -мерное изопериметрическое неравенство влечет за собой d -мерный рост объема , а именно

$\operatorname {vol} B(x,r)\geq Cr^{d}$

где B ( x , r ) обозначает шар радиуса r вокруг точки x на римановом расстоянии или на графическом расстоянии . В общем, обратное неверно, т.е. даже равномерно экспоненциальный рост объема не предполагает какого-либо изопериметрического неравенства. Простой пример можно получить, взяв граф Z (т.е. все целые числа с ребрами между n и n + 1) и соединив с вершиной n полное двоичное дерево высоты | п |. Оба свойства (экспоненциальный рост и нулевая изопериметрическая размерность) легко проверить.

Интересным исключением является случай групп . Оказывается, группа с полиномиальным ростом порядка d имеет изопериметрическую размерность d . Это справедливо как для случая групп Ли , так и для графа Кэли группы конечно порожденной .

Теорема Варопулоса связывает изопериметрическую размерность графа со скоростью выхода из случайного блуждания по графу. Результат гласит

Теорема Варопулоса: если G — граф, удовлетворяющий d-мерному изопериметрическому неравенству, то

$p_{n}(x,y)\leq Cn^{-d/2}$

где ${\textstyle p_{n}(x,y)}$ — это вероятность того, что случайное блуждание по G, начинающееся из x, окажется в y после n шагов, а C — некоторая константа.

Ссылки

---

• Исаак Чавел, Изопериметрические неравенства: дифференциальные геометрические и аналитические перспективы , издательство Кембриджского университета, Кембридж, Великобритания (2001), ISBN   0-521-80267-9

Обсуждается тема в контексте многообразий, без упоминания графов.

• Н. Че. Варопулос, Изопериметрические неравенства и цепи Маркова , J. ​​Funct. Анальный. 63:2 (1985), 215–239.
• Тьерри Кулон и Лоран Салофф-Кост, Изопериметрия групп и разновидностей , Rev. Мачта. Ибероамерикана 9:2 (1993), 293–314.

В данной статье содержится результат об эквивалентности на группах полиномиального роста, объемного роста и изопериметрических неравенств. На французском языке.

• Фан Чунг, Дискретные изопериметрические неравенства . Обзоры по дифференциальной геометрии IX , International Press, (2004), 53–82. http://math.ucsd.edu/~fan/wp/iso.pdf .

Эта статья содержит точное определение изопериметрической размерности графа и устанавливает многие ее свойства.