Теорема Ионеску-Тулчи

Не путать с эргодической теоремой Ионеску-Тулчи-Маринеску .

В математической теории вероятностей теорема Ионеску -Тулчи , иногда называемая теоремой расширения Ионеско Тулчи , касается существования вероятностных мер для вероятностных событий, состоящих из счетного бесконечного числа отдельных вероятностных событий. В частности, отдельные события могут быть независимыми или зависимыми по отношению друг к другу. Таким образом, это утверждение выходит за рамки простого существования счетных мер продукта . Теорема была доказана Кассиусом Ионеску-Тулча в 1949 году.

Формулировка теоремы

Предположим, что $(\Omega _{0},{\mathcal {A}}_{0},P_{0})$ представляет собой вероятностное пространство и $(\Omega _{i},{\mathcal {A}}_{i})$ для $i\in \mathbb {N}$ есть последовательность измеримых пространств . Для каждого $i\in \mathbb {N}$ позволять

$\kappa _{i}\colon (\Omega ^{i-1},{\mathcal {A}}^{i-1})\to (\Omega _{i},{\mathcal {A}}_{i})$

быть ядром Маркова, полученным из $(\Omega ^{i-1},{\mathcal {A}}^{i-1})$ и $(\Omega _{i},{\mathcal {A}}_{i}),$, где

$\Omega ^{i}:=\prod _{k=0}^{i}\Omega _{k}{\text{ and }}{\mathcal {A}}^{i}:=\bigotimes _{k=0}^{i}{\mathcal {A}}_{k}.$

Тогда существует последовательность вероятностных мер

$P_{i}:=P_{0}\otimes \bigotimes _{k=1}^{i}\kappa _{k}$ определено в пространстве продукта для последовательности $(\Omega ^{i},{\mathcal {A}}^{i})$, $i\in \mathbb {N} ,$

и существует однозначно определенная вероятностная мера $P$ на $\left(\prod _{k=0}^{\infty }\Omega _{k},\bigotimes _{k=0}^{\infty }{\mathcal {A}}_{k}\right)$, так что

$P_{i}(A)=P\left(A\times \prod _{k=i+1}^{\infty }\Omega _{k}\right)$

удовлетворен для каждого $A\in {\mathcal {A}}^{i}$ и $i\in \mathbb {N}$. (Мера $P$ имеет условные вероятности, равные стохастическим ядрам.)

Приложения

Конструкция, использованная при доказательстве теоремы Ионеску-Тулчи, часто используется в теории марковских процессов принятия решений и, в частности, теории цепей Маркова .

См. также

• Теорема о дезинтеграции
• Регулярная условная вероятность

Источники

• Кленке, Ахим (2013). Теория вероятностей (3-е изд.). Берлин Гейдельберг: Springer Verlag. стр. 292–294. дои : 10.1007/978-3-642-36018-3 . ISBN  978-3-642-36017-6 .
• Кусолич, Норберт (2014). Теория измерений и вероятностей: Введение (2-е изд.). Берлин; Гейдельберг: Springer Verlag. стр. 169–171. дои : 10.1007/978-3-642-45387-8 . ISBN  978-3-642-45386-1 .