Энергия Дирихле

В математике является энергия Дирихле мерой того, переменна функция насколько . Более абстрактно, это квадратичный функционал в пространстве Соболева H ¹ . Энергия Дирихле тесно связана с уравнением Лапласа и названа в честь немецкого математика Петера Густава Лежена Дирихле .

Определение

Учитывая открытое множество Ω ⊆ R ^н и функции u : Ω → R, энергия Дирихле функции u — это действительное число

$E[u]={\frac {1}{2}}\int _{\Omega }\|\nabla u(x)\|^{2}\,dx,$

где ∇ u : Ω → R ^н обозначает градиента векторное поле функции u .

Свойства и применение

Поскольку это интеграл неотрицательной величины, энергия Дирихле сама по себе неотрицательна, т. е. E [ u ] ≥ 0 для каждой функции u .

Решение уравнения Лапласа $-\Delta u(x)=0$ для всех $x\in \Omega$, при соблюдении соответствующих граничных условий , эквивалентно решению вариационной задачи нахождения функции u, удовлетворяющей граничным условиям и имеющей минимальную энергию Дирихле.

Такое решение называется гармонической функцией и такие решения являются предметом изучения теории потенциала .

В более общей ситуации, когда Ω ⊆ R ^н заменяется любым римановым многообразием M , а u : Ω → R заменяется на u : M → Φ для другого (другого) риманова многообразия Φ , энергия Дирихле задается сигма-моделью . Решениями уравнений Лагранжа сигма-модели для лагранжиана являются те функции u , которые минимизируют/максимизируют энергию Дирихле. Ограничение этого общего случая обратно частным случаем u : Ω → R просто показывает, что уравнения Лагранжа (или, что то же самое, уравнения Гамильтона – Якоби ) предоставляют основные инструменты для получения экстремальных решений.

См. также

• Принцип Дирихле
• Собственное значение Дирихле - фундаментальные формы вибрации идеализированного барабана заданной формы. Страницы, отображающие описания из Викиданных в качестве запасного варианта.
• Общая вариация - мера поведения локальных колебаний.
• Ограниченное среднее колебание - функция с действительным знаком, среднее колебание которого ограничено. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Гармоническая карта - гладкая карта, которая является критической точкой энергетического функционала Дирихле. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Емкость набора - в евклидовом пространстве мера «размера» этого набора. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.

Ссылки

• Лоуренс К. Эванс (1998). Уравнения в частных производных . Американское математическое общество. ISBN  978-0821807729 .