Набор Каччиопполи

В математике множество Каччиопполи — это множество которого граница измерима , и имеет (по крайней мере локально ) конечную меру . Синонимом является множество (локально) конечного периметра . По сути, множество является множеством Каччиопполи, если его характеристическая функция является функцией ограниченной вариации .

История

Основное понятие множества Каччиопполи было впервые введено итальянским математиком Ренато Каччиопполи в работе ( Caccioppoli 1927 ): рассматривая плоское множество или поверхность , определенную на открытом множестве в плоскости , он определял их меру или площадь как полную вариацию. в смысле Тонелли их определяющих функций , т. е. их параметрических уравнений , при условии, что эта величина ограничена . Мера границы множества была определена как функционал , а именно функция множества впервые : кроме того, будучи определенной на открытых множествах , она может быть определена на всех борелевских множествах и ее значение может быть аппроксимировано значениями, которые она принимает сеть подмножеств . возрастающую Еще одним четко сформулированным (и продемонстрированным) свойством этого функционала была его полунепрерывность снизу .

В статье ( Каччиопполи, 1928 ) он уточнил, используя треугольную сетку в качестве возрастающей сети , аппроксимирующей открытую область, определяя положительные и отрицательные вариации , сумма которых является общей вариацией, то есть функционалом площади . Его вдохновляющей точкой зрения, как он открыто признал, была точка зрения Джузеппе Пеано , выраженная в мере Пеано-Жордана : связать с каждой частью поверхности ориентированную плоскую область аналогично тому, как аппроксимирующая хорда связана с изгиб . обнаруженной в этой теории, было расширение функционала Кроме того, еще одной темой , из подпространства на все объемлющее пространство : использование теорем, обобщающих теорему Хана – Банаха, часто встречается в исследованиях Каччиопполи. Однако ограниченное значение полной вариации в смысле Тонелли значительно усложнило формальное развитие теории, а использование параметрического описания множеств ограничило ее возможности.

Ламберто Чезари ввел «правильное» обобщение функций ограниченной вариации на случай нескольких переменных только в 1936 году: возможно, это было одной из причин, побудивших Каччиопполи представить улучшенную версию своей теории лишь почти 24 года спустя, в докладе ( Caccioppoli 1953 ) на IV Конгрессе UMI в октябре 1951 года, за которым последовали пять заметок, опубликованных Rendiconti в Национальная академия Линчеи . Эти заметки подверглись резкой критике со стороны Лоуренса Чизхолма Янга в журнале Mathematical Reviews .

В 1952 году Эннио Де Джорджи представил свои первые результаты, развивая идеи Каччиопполи, по определению меры границ множеств на Зальцбургском конгрессе Австрийского математического общества: эти результаты он получил с помощью сглаживающего оператора, аналогичного смягчающему устройству. , построенный на основе функции Гаусса , независимо доказывающий некоторые результаты Каччиопполи. Вероятно, к изучению этой теории его привел его учитель и друг Мауро Пиконе , который также был учителем Каччиопполи и также был его другом. Де Джорджи впервые встретил Каччиопполи в 1953 году: во время их встречи Каччиопполи выразил глубокую признательность за его работу, положив начало их дружбе на всю жизнь. В том же году он опубликовал свою первую статью по этой теме ( Де Джорджи, 1953 ): однако эта статья и следующая за ней не вызвали большого интереса со стороны математического сообщества. Это было только в статье ( De Giorgi 1954 ), снова рассмотренной Лоуренсом Чизхолмом Янгом в Mathematical Reviews: что его подход к множествам конечного периметра стал широко известен и оценен: также в обзоре Янг пересмотрел свою предыдущую критику работы Каччиопполи.

Последняя статья Де Джорджи по теории периметра была опубликована в 1958 году: в 1959 году, после смерти Каччиопполи, он начал называть множества с конечным периметром «множествами Каччиопполи». Два года спустя Герберт Федерер и Уэнделл Флеминг опубликовали свою статью ( Federer & Fleming 1960 ), изменив подход к теории. По сути, они представили два новых вида токов , соответственно нормальные токи и интегральные токи : в последующей серии статей и в его знаменитом трактате Федерер показал, что наборы Каччиопполи — это обычные потоки измерений. $n$ в $n$-мерные евклидовы пространства . Однако даже если теорию множеств Каччиопполи можно изучать в рамках теории токов , ее принято изучать с помощью «традиционного» подхода с использованием функций ограниченной вариации , поскольку различные разделы можно найти во многих важных монографиях в математика и математическая физика свидетельствуют.

Формальное определение

Далее определение и свойства функций ограниченной вариации в $n$будет использоваться -размерная настройка.

Определение Каччиопполи

Определение 1 . Позволять $\Omega$ быть открытым подмножеством $\mathbb {R} ^{n}$ и разреши $E$быть борелевским множеством . Периметр ​ ​ $E$ в $\Omega$ определяется следующим образом

$P(E,\Omega )=V\left(\chi _{E},\Omega \right):=\sup \left\{\int _{\Omega }\chi _{E}(x)\mathrm {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x:{\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n}),\ \|{\boldsymbol {\phi }}\|_{L^{\infty }(\Omega )}\leq 1\right\}$

где $\chi _{E}$ является функцией характеристической $E$. То есть периметр $E$ в открытом наборе $\Omega$определяется как полная вариация его характеристической функции на этом открытом множестве. Если $\Omega =\mathbb {R} ^{n}$, тогда пишем $P(E)=P(E,\mathbb {R} ^{n})$ для (глобального) периметра.

Определение 2 . Набор Бореля $E$ является множеством Каччиопполи тогда и только тогда, когда оно имеет конечный периметр в каждом ограниченном открытом подмножестве. $\Omega$ из $\mathbb {R} ^{n}$, то есть

$P(E,\Omega )<+\infty$ в любое время $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ является открытым и ограниченным.

Следовательно, множество Каччиопполи имеет характеристическую функцию которой , полная вариация локально ограничена. Из теории функций ограниченной вариации известно, что отсюда следует существование векторной меры Радона $D\chi _{E}$ такой, что

$\int _{\Omega }\chi _{E}(x)\mathrm {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\mathrm {d} x=\int _{E}\mathrm {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x=-\int _{\Omega }\langle {\boldsymbol {\phi }},D\chi _{E}(x)\rangle \qquad \forall {\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})$

Как отмечалось для случая общих функций ограниченной вариации , эта векторная мера $D\chi _{E}$ это распределительный или слабый градиент ​ $\chi _{E}$. Общая мера вариации, связанная с $D\chi _{E}$ обозначается $|D\chi _{E}|$, т.е. для каждого открытого множества $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ мы пишем $|D\chi _{E}|(\Omega )$ для $P(E,\Omega )=V(\chi _{E},\Omega )$.

Де

В своих статьях ( Де Джорджи 1953 ) и ( Джорджи 1954 ) Эннио Де Джорджи вводит следующий сглаживающий оператор , аналогичный преобразованию Вейерштрасса в одномерном случае Де

$W_{\lambda }\chi _{E}(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}g_{\lambda }(x-y)\chi _{E}(y)\mathrm {d} y=(\pi \lambda )^{-{\frac {n}{2}}}\int _{E}e^{-{\frac {(x-y)^{2}}{\lambda }}}\mathrm {d} y$

Как можно легко доказать, $W_{\lambda }\chi (x)$ это гладкая функция для всех $x\in \mathbb {R} ^{n}$, такой, что

$\lim _{\lambda \to 0}W_{\lambda }\chi _{E}(x)=\chi _{E}(x)$

кроме того, его градиент везде четко определен, как и его абсолютное значение .

$\nabla W_{\lambda }\chi _{E}(x)=\mathrm {grad} W_{\lambda }\chi _{E}(x)=DW_{\lambda }\chi _{E}(x)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial W_{\lambda }\chi _{E}(x)}{\partial x_{1}}}\\\vdots \\{\frac {\partial W_{\lambda }\chi _{E}(x)}{\partial x_{n}}}\\\end{pmatrix}}\Longleftrightarrow \left|DW_{\lambda }\chi _{E}(x)\right|={\sqrt {\sum _{k=1}^{n}\left|{\frac {\partial W_{\lambda }\chi _{E}(x)}{\partial x_{k}}}\right|^{2}}}$

Определив эту функцию, Де Джорджи дает следующее определение периметра :

Определение 3 . Позволять $\Omega$ быть открытым подмножеством $\mathbb {R} ^{n}$ и разреши $E$быть борелевским множеством . Периметр ​ ​ $E$ в $\Omega$ это ценность

$P(E,\Omega )=\lim _{\lambda \to 0}\int _{\Omega }|DW_{\lambda }\chi _{E}(x)|\mathrm {d} x$

На самом деле Де Джорджи рассмотрел дело $\Omega =\mathbb {R} ^{n}$: однако распространение на общий случай не представляет труда. Можно доказать, что эти два определения в точности эквивалентны: доказательство см. в уже цитированных статьях Де Джорджи или в книге ( Giusti 1984 ). Теперь, определив, что такое периметр, Де Джорджи дает то же определение 2 того, что такое набор (локально) конечных периметров.

Основные свойства

Следующие свойства являются обычными свойствами, которыми общее понятие периметра должно обладать :

• Если $\Omega \subseteq \Omega _{1}$ затем $P(E,\Omega )\leq P(E,\Omega _{1})$, причем равенство выполняется тогда и только тогда, замыкание когда $E$ представляет собой компактное подмножество $\Omega$.
• Для любых двух наборов Каччополи $E_{1}$ и $E_{2}$, Соотношение $P(E_{1}\cup E_{2},\Omega )\leq P(E_{1},\Omega )+P(E_{2},\Omega _{1})$ выполняется, причем равенство выполняется тогда и только тогда, когда $d(E_{1},E_{2})>0$, где $d$ — расстояние между множествами в евклидовом пространстве .
• Если мера Лебега $E$ является $0$, затем $P(E)=0$: это означает, что если симметричная разность $E_{1}\triangle E_{2}$ двух множеств имеет нулевую меру Лебега, то эти два множества имеют одинаковый периметр, т.е. $P(E_{1})=P(E_{2})$.

Понятия границы

Для любого набора Каччиопполи $E\subset \mathbb {R} ^{n}$ существуют две естественно связанные аналитические величины: векторная мера Радона $D\chi _{E}$ и ее полная мера вариации $|D\chi _{E}|$. При условии

$P(E,\Omega )=\int _{\Omega }|D\chi _{E}|$

это периметр внутри любого открытого множества $\Omega$, следует ожидать, что $D\chi _{E}$ должен каким-то образом учитывать периметр $E$.

Топологическая граница

Естественно попытаться понять взаимосвязь между объектами. $D\chi _{E}$, $|D\chi _{E}|$, а топологическая граница $\partial E$. Существует элементарная лемма, гарантирующая, что носитель (в смысле распределений ) $D\chi _{E}$, и поэтому также $|D\chi _{E}|$, всегда содержится в $\partial E$:

Лемма . Носитель векторной меры Радона $D\chi _{E}$ является подмножеством топологической границы $\partial E$ из $E$.

Доказательство . Чтобы увидеть это, выберите $x_{0}\notin \partial E$: затем $x_{0}$ принадлежит открытому множеству $\mathbb {R} ^{n}\setminus \partial E$ а это означает, что он принадлежит открытой окрестности $A$ содержится во внутренней части $E$ или в интерьере $\mathbb {R} ^{n}\setminus E$. Позволять $\phi \in C_{c}^{1}(A;\mathbb {R} ^{n})$. Если $A\subseteq (\mathbb {R} ^{n}\setminus E)^{\circ }=\mathbb {R} ^{n}\setminus E^{-}$ где $E^{-}$ это закрытие ​ $E$, затем $\chi _{E}(x)=0$ для $x\in A$ и

$\int _{\Omega }\langle {\boldsymbol {\phi }},D\chi _{E}(x)\rangle =-\int _{A}\chi _{E}(x)\,\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x=0$

Аналогично, если $A\subseteq E^{\circ }$ затем $\chi _{E}(x)=1$ для $x\in A$ так

$\int _{\Omega }\langle {\boldsymbol {\phi }},D\chi _{E}(x)\rangle =-\int _{A}\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x=0$

С $\phi \in C_{c}^{1}(A,\mathbb {R} ^{n})$ произвольно, отсюда следует, что $x_{0}$ находится вне поддержки $D\chi _{E}$.

Сокращенная граница

Топологическая граница $\partial E$ оказывается слишком грубым для множеств Каччиопполи, поскольку его мера Хаусдорфа сверхкомпенсирует периметр. $P(E)$определено выше. Действительно, набор Каччиопполи

$E=\{(x,y):0\leq x,y\leq 1\}\cup \{(x,0):-1\leq x\leq 1\}\subset \mathbb {R} ^{2}$

представляющий квадрат вместе с торчащим слева отрезком, имеет периметр $P(E)=4$, т.е. посторонний отрезок игнорируется, а его топологическая граница

$\partial E=\{(x,0):-1\leq x\leq 1\}\cup \{(x,1):0\leq x\leq 1\}\cup \{(x,y):x\in \{0,1\},0\leq y\leq 1\}$

имеет одномерную меру Хаусдорфа ${\mathcal {H}}^{1}(\partial E)=5$.

Поэтому «правильная» граница должна быть подмножеством $\partial E$. Мы определяем:

Определение 4 . Приведенная граница множества Каччиопполи. $E\subset \mathbb {R} ^{n}$ обозначается $\partial ^{*}E$ и определяется как равная совокупности точек $x$ при котором предел:

$\nu _{E}(x):=\lim _{\rho \downarrow 0}{\frac {D\chi _{E}(B_{\rho }(x))}{|D\chi _{E}|(B_{\rho }(x))}}\in \mathbb {R} ^{n}$

существует и имеет длину, равную единице, т.е. $|\nu _{E}(x)|=1$.

Можно заметить, что по теореме Радона-Никодима приведенная граница $\partial ^{*}E$ обязательно содержится в поддержке $D\chi _{E}$, который, в свою очередь, содержится в топологической границе $\partial E$как описано в разделе выше. То есть:

$\partial ^{*}E\subseteq \operatorname {support} D\chi _{E}\subseteq \partial E$

Приведенные выше включения не обязательно являются равенствами, как показывает предыдущий пример. В этом примере $\partial E$ квадрат с торчащим сегментом, $\operatorname {support} D\chi _{E}$ это квадрат, и $\partial ^{*}E$ это квадрат без четырех углов.

Теорема Де Джорджи

Для удобства в этом разделе мы рассматриваем только случай, когда $\Omega =\mathbb {R} ^{n}$, то есть набор $E$имеет (глобально) конечный периметр. Теорема Де Джорджи обеспечивает геометрическую интуицию понятия приведенных границ и подтверждает, что это более естественное определение множеств Каччиопполи, показывая

$P(E)\left(=\int |D\chi _{E}|\right)={\mathcal {H}}^{n-1}(\partial ^{*}E)$

т.е. что его мера Хаусдорфа равна периметру множества. Изложение теоремы довольно длинное, поскольку оно одним махом связывает между собой различные геометрические понятия.

Теорема . Предполагать $E\subset \mathbb {R} ^{n}$представляет собой набор Каччиопполи. Тогда в каждой точке $x$ приведенной границы $\partial ^{*}E$ существует приближенное касательное пространство кратности один $T_{x}$ из $|D\chi _{E}|$, т.е. подпространство коразмерности 1 $T_{x}$ из $\mathbb {R} ^{n}$ такой, что

$\lim _{\lambda \downarrow 0}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(\lambda ^{-1}(z-x))|D\chi _{E}|(z)=\int _{T_{x}}f(y)\,d{\mathcal {H}}^{n-1}(y)$

для каждого непрерывного, компактно поддерживаемого $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$. На самом деле подпространство $T_{x}$ является ортогональным дополнением единичного вектора

$\nu _{E}(x)=\lim _{\rho \downarrow 0}{\frac {D\chi _{E}(B_{\rho }(x))}{|D\chi _{E}|(B_{\rho }(x))}}\in \mathbb {R} ^{n}$

определено ранее. Этот единичный вектор также удовлетворяет

$\lim _{\lambda \downarrow 0}\left\{\lambda ^{-1}(z-x):z\in E\right\}\to \left\{y\in \mathbb {R} ^{n}:y\cdot \nu _{E}(x)>0\right\}$

локально в $L^{1}$, поэтому он интерпретируется как приблизительный направленный внутрь единичный вектор нормали к уменьшенной границе $\partial ^{*}E$. Окончательно, $\partial ^{*}E$ (n-1) -спрямляема и ограничение (n-1)-мерной меры Хаусдорфа ${\mathcal {H}}^{n-1}$ к $\partial ^{*}E$ является $|D\chi _{E}|$, то есть

$|D\chi _{E}|(A)={\mathcal {H}}^{n-1}(A\cap \partial ^{*}E)$ для всех наборов Бореля $A\subset \mathbb {R} ^{n}$.

Другими словами, до ${\mathcal {H}}^{n-1}$-измерить нулем приведенную границу $\partial ^{*}E$ это наименьшее множество, на котором $D\chi _{E}$ поддерживается.

Приложения

Формула Гаусса-Грина

Из определения векторной меры Радона $D\chi _{E}$ а из свойств периметра справедлива следующая формула:

$\int _{E}\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x=-\int _{\partial E}\langle {\boldsymbol {\phi }},D\chi _{E}(x)\rangle \qquad {\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})$

Это одна из версий теоремы о расходимости для областей с негладкой границей . Теорему Де Джорджи можно использовать для формулировки того же тождества в терминах приведенной границы $\partial ^{*}E$ и приблизительный единичный вектор нормали, указывающий внутрь $\nu _{E}$. А именно, имеет место следующее равенство

$\int _{E}\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x=-\int _{\partial ^{*}E}{\boldsymbol {\phi }}(x)\cdot \nu _{E}(x)\,\mathrm {d} {\mathcal {H}}^{n-1}(x)\qquad {\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})$

См. также

• Геометрическая теория меры
• Теорема о дивергенции
• Интеграл Пфеффера

Ссылки

Исторические справки

• Амбросио, Луиджи (2010), «La teoria dei periodi di Caccioppoli – De Giorgi ei suoi piùrecenti sviluppi» [Теория периметров Де Джорджи-Каччиопполи и ее новейшие разработки], Rendiconti Lincei - Matematica e Applicazioni , 9, 21 ( 3): 275–286, doi : 10.4171/RLM/572 , MR   2677605 , Zbl   1195.49052 . Статья, обзор истории теории множеств конечного периметра, начиная с основополагающей статьи Ренато Каччиопполи и вклада Эннио Де Джорджи в некоторые более поздние разработки и открытые проблемы в метрических пространствах с мерой, в группах Карно и в бесконечномерных гауссовых системах. пространства.
• Каччиопполи, Ренато (1927), «О квадратуре плоских и искривленных поверхностей», Труды Национальной академии Линчеи. Отчеты. Класс физических, математических и естественных наук , VI (на итальянском языке), 6 : 142–146, JFM   53.0214.02 . Первая статья, содержащая основополагающую концепцию того, что такое множество Каччиопполи.
• Каччиопполи, Ренато (1928), «О парах функций ограниченной вариации», Rendiconti dell'Accademia di Scienze Fisiche e Matematiche di Napoli , 3 (на итальянском языке), 34 : 83–88, JFM   54.0290.04 . Работа, в которой Каччиопполи строгие и развивающие концепции, представленные в предыдущей статье ( Каччиопполи, 1927 ).
• Каччиопполи, Ренато (1953), «Элементы общей теории k -мерного интегрирования в n -мерном пространстве», Труды IV Конгресса UMI, Таормина, октябрь 1951 г. [ Элементы общей теории k -мерного интегрирования в n -мерном пространстве] мерное пространство ] (на итальянском языке), т. 2, Рим : Edizioni Cremonese (распространяется Unione Matematica Italiana ), стр. 41–49, MR   0056067 , Zbl   0051.29402 Первая статья, подробно излагающая теорию конечного периметра, изложенную в достаточно полной форме.
• Каччиопполи, Ренато (1963), Избранные работы [ Избранные статьи ], Рим : Edizioni Cremonese (распространяется Unione Matematica Italiana ), стр. XXX+434 (том 1), 350 (том 2), ISBN  88-7083-505-7 , Збл   0112.28201 . Избранное из научных трудов Каччиопполи с биографией и комментариями Мауро Пиконе .
• Чезари, Ламберто (1936), «Sulle funzioni a variazione limitata» [О функциях ограниченной вариации], Annali della Scuola Normale Superiore , Serie II (на итальянском языке), 5 (3–4): 299–313, MR   1556778 , Збл   0014.29605 . Доступно в Намдаме . Поворотная статья Чезари, в которой он расширяет концепцию плоской вариации Тонелли, включив в определение подкласс класса интегрируемых функций.
• Де Джорджи, Эннио (1953), «Определение и аналитическое выражение периметра множества», Труды Национальной академии Линчеи. Отчеты. Класс физических, математических и естественных наук , VIII (на итальянском языке), 14 : 390–393, MR   0056066 , Zbl   0051.29403 . Первая заметка, опубликованная Де Джорджи, описывающая его подход к декорациям Каччиопполи.
• Де Джорджи, Эннио (1954), «Об общей теории -1 ) меры пространстве r » r -мерной , в -мерном ( Анналы чистой и прикладной математики , серия IV (на итальянском языке), 36 (1): 191– 213, Doi : 10.1007/BF02412838 , ЛПВП : 10338.dmlcz/126043 , MR   0062214 , S2CID   122418733 , ZBL   0055.28504 . Первое полное изложение Де Джорджи теории множеств Каччиопполи.
• Федерер, Герберт ; Флеминг, Венделл Х. (1960), «Нормальные и интегральные токи», Annals of Mathematics , Series II, 72 (4): 458–520, doi : 10.2307/1970227 , JSTOR   1970227 , MR   0123260 , Zbl   0187.31301 . Первая статья Герберта Федерера, иллюстрирующая его подход к теории периметров, основанный на теории токов.
• Миранда, Марио (2003), «Наборы Каччиопполи» , Atti della Accademia Nazionale dei Lincei, Rendiconti Lincei, Matematica e Applicazioni , IX, 14 (3): 173–177, MR   2064264 , Zbl   1072.49030 , заархивировано из оригинала в 2006 г. 04.06 , получено 14.01.2007 . Статья, описывающая историю теории множеств конечного периметра, от основополагающей статьи Ренато Каччиопполи до основных открытий.

Научные ссылки

• Де Джорджи, Эннио ; Коломбини, Ферруччо; Пиччинини, Ливио (1972), Ориентированные границы минимальной меры и связанные с этим вопросы Quaderni , (на итальянском языке), Пиза : Edizioni della Normale, стр. 180, МР   0493669 , Збл   0296.49031 . Расширенный текст, ориентированный на теорию минимальных поверхностей в многомерной обстановке, написанный одним из ведущих авторов.
• Федерер, Герберт (1996) [1969], Геометрическая теория меры , Классика математики, Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк : Springer-Verlag New York Inc., стр. xiv + 676, ISBN  3-540-60656-4 , МР   0257325 , Збл   0176.00801 , в частности глава 4, пункт 4.5, разделы 4.5.1-4.5.4 « Множества с локально конечным периметром ». Абсолютный справочный текст по геометрической теории меры .
• Саймон, Леон (1983), Лекции по геометрической теории меры , Труды Центра математического анализа, том. 3, Австралийский национальный университет , особенно глава 3, раздел 14 « Множества локально конечного периметра ».
• Джусти, Энрико (1984), Минимальные поверхности и функции ограниченных вариаций , Монографии по математике, том. 80, Базель – Бостон – Штутгарт : Birkhäuser Verlag , стр. xii+240, ISBN  0-8176-3153-4 , MR   0775682 , Zbl   0545.49018 , в частности часть I, глава 1 « Функции ограниченной вариации и множества Каччиопполи ». Хороший справочник по теории множеств Каччиопполи и их применению к проблеме минимальной поверхности .
• Худжаев Сергей Иванович; Вольперт, Айзик Исаакович (1985), Анализ в классах разрывных функций и уравнениях математической физики , Механика: анализ, вып. 8, Дордрехт-Бостон-Ланкастер: Martinus Nijhoff Publishers, стр. xviii+678, ISBN  90-247-3109-7 , МР   0785938 , Збл   0564.46025 , в частности часть II, глава 4 пункт 2 " Множества с конечным периметром ". Одна из лучших книг о BV -функциях и их применении к задачам математической физики , в частности химической кинетики .
• Maz'ya, Vladimir G. (1985), Sobolev Spaces , Berlin – Heidelberg –- New York City : Springer-Verlag , pp. xix+486, ISBN  3-540-13589-8 , МР   0817985 , Збл   0692.46023 ; в частности главу 6 «О функциях в пространстве BV (Ω) ». Одна из лучших монографий по теории пространств Соболева .
• Вольперт, Айзик Исаакович (1967), "Пространства БВ и квазилинейные уравнения" , Математический сборник , (НС), 73(115) (2): 255–302, МР   0216338 , Збл   0168.07402 . Фундаментальная статья, в которой глубоко изучаются множества Каччиопполи и BV -функции, а также вводится понятие функциональной суперпозиции , которое применяется к теории уравнений в частных производных .

Внешние ссылки

• О'Нил, Тоби Кристофер (2001) [1994], «Геометрическая теория меры» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Загаллер, Виктор Абрамович (2001) [1994], «Периметр» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Функция ограниченной вариации в математической энциклопедии