Набор Каччиопполи
В математике множество Каччиопполи — это множество которого граница измерима , и имеет (по крайней мере локально ) конечную меру . Синонимом является множество (локально) конечного периметра . По сути, множество является множеством Каччиопполи, если его характеристическая функция является функцией ограниченной вариации .
История [ править ]
Основное понятие множества Каччиопполи было впервые введено итальянским математиком Ренато Каччиопполи в работе ( Caccioppoli 1927 ): рассматривая плоское множество или поверхность, определенную на открытом множестве в плоскости , он определял их меру или площадь как полную вариацию. в смысле Тонелли их определяющих функций , т. е. их параметрических уравнений , при условии, что эта величина ограничена . Мера границы множества определена как функционал , а именно функция множества была впервые : кроме того, будучи определенной на открытых множествах , она может быть определена на всех борелевских множествах и ее значение может быть аппроксимировано значениями, которые она принимает сеть подмножеств . возрастающую Еще одним четко сформулированным (и продемонстрированным) свойством этого функционала была его полунепрерывность снизу .
В статье ( Каччиопполи, 1928 ) он уточнил, используя треугольную сетку в качестве возрастающей сети, аппроксимирующей открытую область, определяя положительные и отрицательные вариации , сумма которых является общей вариацией, то есть функционалом площади . Его вдохновляющей точкой зрения, как он открыто признал, была точка зрения Джузеппе Пеано , выраженная в мере Пеано-Жордана : связать с каждой частью поверхности ориентированную плоскую область аналогично тому, как аппроксимирующая хорда связана с изгиб . Кроме того, еще одной темой, обнаруженной в этой теории, было из расширение функционала подпространства на все объемлющее пространство : использование теорем, обобщающих теорему Хана – Банаха, часто встречается в исследованиях Каччиопполи. Однако ограниченное значение полной вариации в смысле Тонелли значительно усложнило формальное развитие теории, а использование параметрического описания множеств ограничило ее возможности.
Ламберто Чезари ввел «правильное» обобщение функций ограниченной вариации на случай нескольких переменных только в 1936 году: [1] возможно, это было одной из причин, побудивших Каччиопполи представить улучшенную версию своей теории лишь почти 24 года спустя, в докладе ( Caccioppoli 1953 ) на IV Конгрессе UMI в октябре 1951 года, за которым последовали пять заметок, опубликованных Rendiconti в Национальная академия Линчеи . Эти заметки подверглись резкой критике со стороны Лоуренса Чизхолма Янга в журнале Mathematical Reviews . [2]
В 1952 году Эннио Де Джорджи представил свои первые результаты, развивая идеи Каччиопполи, по определению меры границ множеств на Зальцбургском конгрессе Австрийского математического общества: эти результаты он получил с помощью сглаживающего оператора, аналогичного смягчающему устройству. , построенный на основе функции Гаусса , независимо доказывающий некоторые результаты Каччиопполи. Вероятно, к изучению этой теории его привел его учитель и друг Мауро Пиконе , который также был учителем Каччиопполи и также был его другом. Де Джорджи впервые встретился с Каччиопполи в 1953 году: во время встречи Каччиопполи выразил глубокую признательность за его работу, положив начало их дружбе на всю жизнь. [3] В том же году он опубликовал свою первую статью по этой теме ( Де Джорджи, 1953 ): однако эта статья и следующая за ней не вызвали большого интереса со стороны математического сообщества. Это было только в статье ( De Giorgi 1954 ), снова рассмотренной Лоуренсом Чизхолмом Янгом в Mathematical Reviews: [4] что его подход к множествам конечного периметра стал широко известен и оценен: также в обзоре Янг пересмотрел свою предыдущую критику работы Каччиопполи.
Последняя статья Де Джорджи по теории периметра была опубликована в 1958 году: в 1959 году, после смерти Каччиопполи, он начал называть множества с конечным периметром «множествами Каччиопполи». Два года спустя Герберт Федерер и Уэнделл Флеминг опубликовали свою статью ( Federer & Fleming 1960 ), изменив подход к теории. По сути, они представили два новых вида токов , соответственно нормальные токи и интегральные токи : в последующей серии статей и в его знаменитом трактате [5] Федерер показал, что наборы Каччиопполи — это нормальные потоки измерений. в -мерные евклидовы пространства . Однако даже если теорию множеств Каччиопполи можно изучать в рамках теории токов , ее принято изучать с помощью «традиционного» подхода с использованием функций ограниченной вариации , поскольку различные разделы можно найти во многих важных монографиях в математика и математическая физика свидетельствуют. [6]
Формальное определение [ править ]
Далее определение и свойства функций ограниченной вариации в будет использоваться -размерная настройка.
Определение Каччиопполи [ править ]
Определение 1 . Позволять быть открытым подмножеством и пусть быть борелевским множеством . Периметр в определяется следующим образом
где является характеристической функцией . То есть периметр в открытом наборе определяется как полная вариация его характеристической функции на этом открытом множестве. Если , тогда пишем для (глобального) периметра.
Определение 2 . Набор Бореля является множеством Каччиопполи тогда и только тогда, когда оно имеет конечный периметр в каждом ограниченном открытом подмножестве. из , то есть
- в любое время является открытым и ограниченным.
Следовательно, множество Каччиопполи имеет характеристическую функцию которой , полная вариация локально ограничена. Из теории функций ограниченной вариации известно, что отсюда следует существование векторной меры Радона такой, что
Как отмечалось для случая общих функций ограниченной вариации , эта векторная мера это распределительный или слабый градиент . Общая мера вариации, связанная с обозначается , т.е. для каждого открытого множества мы пишем для .
Определение Де Джорджи [ править ]
В своих статьях ( Де Джорджи 1953 ) и ( Де Джорджи 1954 ) Эннио Де Джорджи вводит следующий сглаживающий оператор , аналогичный преобразованию Вейерштрасса в одномерном случае
Как можно легко доказать, это гладкая функция для всех , такой, что
кроме того, его градиент везде четко определен, как и его абсолютное значение.
Определив эту функцию, Де Джорджи дает следующее определение периметра :
Определение 3 . Позволять быть открытым подмножеством и пусть быть борелевским множеством . Периметр в это ценность
На самом деле Де Джорджи рассмотрел дело : однако распространение на общий случай не представляет труда. Можно доказать, что эти два определения в точности эквивалентны: доказательство см. в уже цитированных статьях Де Джорджи или в книге ( Giusti 1984 ). Теперь, определив, что такое периметр, Де Джорджи дает то же определение 2 того, что такое набор (локально) конечных периметров.
Основные свойства [ править ]
Следующие свойства являются обычными свойствами, которыми общее понятие периметра должно обладать :
- Если затем , причем равенство выполняется тогда и только тогда, замыкание когда представляет собой компактное подмножество .
- Для любых двух наборов Каччополи и , отношение выполняется, причем равенство выполняется тогда и только тогда, когда , где — расстояние между множествами в евклидовом пространстве .
- Если мера Лебега является , затем : это означает, что если симметричная разность двух множеств имеет нулевую меру Лебега, то эти два множества имеют одинаковый периметр, т.е. .
Понятия границы [ править ]
Для любого набора Каччиопполи существуют две естественно связанные аналитические величины: векторная мера Радона и ее полная мера вариации . При условии
это периметр внутри любого открытого множества , следует ожидать, что должен каким-то образом учитывать периметр .
Топологическая граница [ править ]
Естественно попытаться понять взаимосвязь между объектами. , , а топологическая граница . Существует элементарная лемма, гарантирующая, что носитель (в смысле распределений ) , и поэтому также , всегда содержится в :
Лемма . Носитель векторной меры Радона является подмножеством топологической границы из .
Доказательство . Чтобы увидеть это, выберите : затем принадлежит открытому множеству а это означает, что он принадлежит открытой окрестности содержится во внутренней части или в интерьере . Позволять . Если где это закрытие , затем для и
Аналогично, если затем для так
С произвольно, отсюда следует, что находится вне поддержки .
Сокращенная граница [ править ]
Топологическая граница оказывается слишком грубым для множеств Каччиопполи, поскольку его мера Хаусдорфа сверхкомпенсирует периметр. определено выше. Действительно, набор Каччиопполи
представляющий квадрат вместе с торчащим слева отрезком, имеет периметр , т.е. посторонний отрезок игнорируется, а его топологическая граница
имеет одномерную меру Хаусдорфа .
Поэтому «правильная» граница должна быть подмножеством . Мы определяем:
Определение 4 . множества Приведенная граница Каччиопполи. обозначается и определяется как равная совокупности точек при котором предел:
существует и имеет длину, равную единице, т.е. .
Можно заметить, что по теореме Радона-Никодима приведенная граница обязательно содержится в поддержке , который, в свою очередь, содержится в топологической границе как описано в разделе выше. То есть:
Приведенные выше включения не обязательно являются равенствами, как показывает предыдущий пример. В этом примере квадрат с торчащим сегментом, это квадрат, и это квадрат без четырех углов.
Теорема Де Джорджи [ править ]
Для удобства в этом разделе мы рассматриваем только случай, когда , то есть набор имеет (глобально) конечный периметр. Теорема Де Джорджи обеспечивает геометрическую интуицию понятия приведенных границ и подтверждает, что это более естественное определение множеств Каччиопполи, показывая
т.е. что его мера Хаусдорфа равна периметру множества. Изложение теоремы довольно длинное, поскольку оно одним махом связывает между собой различные геометрические понятия.
Теорема . Предполагать представляет собой набор Каччиопполи. Тогда в каждой точке приведенной границы существует приближенное касательное пространство кратности один из , т.е. подпространство коразмерности 1 из такой, что
для каждого непрерывного, компактно поддерживаемого . На самом деле подпространство является ортогональным дополнением единичного вектора
определено ранее. Этот единичный вектор также удовлетворяет
локально в , поэтому он интерпретируется как приблизительный направленный внутрь единичный вектор нормали к уменьшенной границе . Окончательно, (n-1) -спрямляема и ограничение (n-1)-мерной меры Хаусдорфа к является , то есть
- для всех наборов Бореля .
Другими словами, до -измерить нулем приведенную границу это наименьшее множество, на котором поддерживается.
Приложения [ править ]
Формула Гаусса-Грина [ править ]
Из определения векторной меры Радона а из свойств периметра справедлива следующая формула:
Это одна из версий теоремы о расходимости для областей с негладкой границей . Теорему Де Джорджи можно использовать для формулировки того же тождества в терминах приведенной границы и приблизительный единичный вектор нормали, указывающий внутрь . А именно, имеет место следующее равенство
См. также [ править ]
Примечания [ править ]
- ^ В статье ( Чезари, 1936 ). смотрите в статьях « Ограниченная вариация » и « Общая вариация ». Более подробную информацию
- ^ См . MR 56067 .
- ↑ Так продолжалось до трагической смерти Каччиопполи в 1959 году.
- ^ См . MR 0062214 .
- ^ См. ( Федерер, 1996 ).
- ^ См. раздел « Ссылки ».
Ссылки [ править ]
Исторические справки [ править ]
- Амбросио, Луиджи (2010), «La teoria dei periodi di Caccioppoli – De Giorgi ei suoi piùrecenti sviluppi» [Теория периметров Де Джорджи-Каччиопполи и ее новейшие разработки], Rendiconti Lincei - Matematica e Applicazioni , 9, 21 ( 3): 275–286, doi : 10.4171/RLM/572 , MR 2677605 , Zbl 1195.49052 . Статья, посвященная истории теории множеств конечного периметра, начиная с основополагающей статьи Ренато Каччиопполи и вклада Эннио Де Джорджи в некоторые более поздние разработки и открытые проблемы в метрических пространствах с мерой, в группах Карно и в бесконечномерных гауссовых системах. пространства.
- Каччиопполи, Ренато (1927), «О квадратуре плоских и искривленных поверхностей», Труды Национальной академии Линчеи. Отчеты. Класс физических, математических и естественных наук , VI (на итальянском языке), 6 : 142–146, JFM 53.0214.02 . Первая статья, содержащая основополагающую концепцию того, что такое множество Каччиопполи.
- Каччиопполи, Ренато (1928), «О парах функций ограниченной вариации», Rendiconti dell'Accademia di Scienze Fisiche e Matematiche di Napoli , 3 (на итальянском языке), 34 : 83–88, JFM 54.0290.04 . Работа, в которой Каччиопполи строго уточнил и развил концепции, представленные в предыдущей статье ( Caccioppoli 1927 ).
- Каччиопполи, Ренато (1953), «Элементы общей теории k пространстве -мерного интегрирования в n -мерном », Труды IV Конгресса UMI, Таормина, октябрь 1951 г. [ Элементы общей теории k -мерного интегрирования в n-мерном пространстве ] мерное пространство ] (на итальянском языке), т. 2, Рим : Edizioni Cremonese (распространяется Unione Matematica Italiana ), стр. 41–49, MR 0056067 , Zbl 0051.29402 Первая статья, подробно излагающая теорию конечного периметра, изложенную в достаточно полной форме.
- Каччиопполи, Ренато (1963), Избранные работы [ Избранные статьи ], Рим : Edizioni Cremonese (распространяется Unione Matematica Italiana ), стр. XXX+434 (том 1), 350 (том 2), ISBN 88-7083-505-7 , Збл 0112.28201 . Избранное из научных трудов Каччиопполи с биографией и комментариями Мауро Пиконе .
- Чезари, Ламберто (1936), «Sulle funzioni a variazione limitata» [О функциях ограниченной вариации], Annali della Scuola Normale Superiore , Serie II (на итальянском языке), 5 (3–4): 299–313, MR 1556778 , Збл 0014.29605 . Доступно в Намдаме . Поворотная статья Чезари, в которой он расширяет ныне называемую концепцию плоской вариации Тонелли , включив в определение подкласс класса интегрируемых функций.
- Де Джорджи, Эннио (1953), «Определение и аналитическое выражение периметра множества», Труды Национальной академии Линчеи. Отчеты. Класс физических, математических и естественных наук , VIII (на итальянском языке), 14 : 390–393, MR 0056066 , Zbl 0051.29403 . Первая заметка, опубликованная Де Джорджи, описывающая его подход к декорациям Каччиопполи.
- Эннио (1954), «Об общей теории -1 ) -мерной -мерном пространстве r » Де Джорджи , r меры в ( , Анналы чистой и прикладной математики , серия IV (на итальянском языке), 36 (1): 191– 213, Doi : 10.1007/BF02412838 , ЛПВП : 10338.dmlcz/126043 , MR 0062214 , S2CID 122418733 , ZBL 0055.28504 . Первое полное изложение Де Джорджи теории множеств Каччиопполи.
- Федерер, Герберт ; Флеминг, Венделл Х. (1960), «Нормальные и интегральные токи», Annals of Mathematics , Series II, 72 (4): 458–520, doi : 10.2307/1970227 , JSTOR 1970227 , MR 0123260 , Zbl 0187.31301 . Первая статья Герберта Федерера, иллюстрирующая его подход к теории периметров, основанный на теории токов.
- Миранда, Марио (2003), «Наборы Каччиопполи» , Atti della Accademia Nazionale dei Lincei, Rendiconti Lincei, Matematica e Applicazioni , IX, 14 (3): 173–177, MR 2064264 , Zbl 1072.49030 , заархивировано из оригинала в 2006 г. 04.06 , получено 14.01.2007 . Статья, описывающая историю теории множеств конечного периметра, от основополагающей статьи Ренато Каччиопполи до основных открытий.
Научные ссылки [ править ]
- Де Джорджи, Эннио ; Коломбини, Ферруччо; Пиччинини, Ливио (1972), Ориентированные границы минимальной меры и связанные с этим вопросы Quaderni , (на итальянском языке), Пиза : Edizioni della Normale, стр. 180, МР 0493669 , Збл 0296.49031 . Расширенный текст, ориентированный на теорию минимальных поверхностей в многомерной обстановке, написанный одним из ведущих авторов.
- Федерер, Герберт (1996) [1969], Геометрическая теория меры , Классика математики, Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк : Springer-Verlag New York Inc., стр. xiv + 676, ISBN 3-540-60656-4 , МР 0257325 , Збл 0176.00801 , в частности глава 4, пункт 4.5, разделы 4.5.1-4.5.4 « Множества с локально конечным периметром ». Абсолютный справочный текст по геометрической теории меры .
- Саймон, Леон (1983), Лекции по геометрической теории меры , Труды Центра математического анализа, том. 3, Австралийский национальный университет , особенно глава 3, раздел 14 « Множества локально конечного периметра ».
- Джусти, Энрико (1984), Минимальные поверхности и функции ограниченных вариаций , Монографии по математике, том. 80, Базель – Бостон – Штутгарт : Birkhäuser Verlag , стр. xii+240, ISBN 0-8176-3153-4 , MR 0775682 , Zbl 0545.49018 , в частности часть I, глава 1 « Функции ограниченной вариации и множества Каччиопполи ». Хороший справочник по теории множеств Каччиопполи и их применению к проблеме минимальной поверхности .
- Худжаев Сергей Иванович; Вольперт, Айзик Исаакович (1985), Анализ в классах разрывных функций и уравнениях математической физики , Механика: анализ, вып. 8, Дордрехт-Бостон-Ланкастер: Martinus Nijhoff Publishers, стр. xviii+678, ISBN 90-247-3109-7 , МР 0785938 , Збл 0564.46025 , в частности часть II, глава 4 пункт 2 " Множества с конечным периметром ". Одна из лучших книг о BV -функциях и их применении к задачам математической физики , в частности химической кинетики .
- Maz'ya, Vladimir G. (1985), Sobolev Spaces , Berlin – Heidelberg –- New York City : Springer-Verlag , pp. xix+486, ISBN 3-540-13589-8 , МР 0817985 , Збл 0692.46023 ; особенно главу 6 «О функциях в пространстве BV (Ω) ». Одна из лучших монографий по теории пространств Соболева .
- Вольперт, Айзик Исаакович (1967), "Пространства БВ и квазилинейные уравнения" , Математический сборник , (НС), 73(115) (2): 255–302, МР 0216338 , Збл 0168.07402 . Фундаментальная статья, в которой глубоко изучаются множества Каччиопполи и BV -функции, а также вводится понятие функциональной суперпозиции , которое применяется к теории уравнений в частных производных .
Внешние ссылки [ править ]
- О'Нил, Тоби Кристофер (2001) [1994], «Геометрическая теория меры» , Энциклопедия математики , EMS Press
- Загаллер, Виктор Абрамович (2001) [1994], «Периметр» , Энциклопедия Математики , EMS Press
- Функция ограниченной вариации в математической энциклопедии