Теория Фубини

Теорему Фубини для категории см. в теореме Куратовского–Улама .

В математическом анализе теорема Фубини дает условия, при которых можно вычислить двойной интеграл с помощью повторного интеграла . Он был введен Гвидо Фубини в 1907 году. Он гласит, что если функция интегрируема по Лебегу на прямоугольнике $X\times Y$, то двойной интеграл можно вычислить как повторный интеграл: $$\,\iint \limits _{X\times Y}f(x,y)\,{\text{d}}(x,y)=\int _{X}\left(\int _{Y}f(x,y)\,{\text{d}}y\right){\text{d}}x=\int _{Y}\left(\int _{X}f(x,y)\,{\text{d}}x\right){\text{d}}y.$$ В общем случае формула неверна для интегралов Римана , но верна, если функция непрерывна на прямоугольнике. В исчислении многих переменных этот более слабый результат иногда также называют теоремой Фубини, хотя он был уже известен Леонарду Эйлеру .

Теорема Тонелли , представленная Леонидой Тонелли в 1909 году, аналогична, но применяется к неотрицательной измеримой функции, а не к интегрируемой функции по ее области определения. Теоремы Фубини и Тонелли обычно объединяются и образуют теорему Фубини-Тонелли, которая дает условия, при которых возможно переключение порядка интегрирования в повторном интеграле.

Родственную теорему часто называют теоремой Фубини для бесконечных рядов . хотя это заслуга Альфреда Прингсхайма , в котором говорится, что: если ${\textstyle \{a_{m,n}\}_{m=1,n=1}^{\infty }}$ представляет собой последовательность действительных чисел с двойным индексом, и если ${\textstyle \displaystyle \sum _{(m,n)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} }a_{m,n}}$ абсолютно сходится, то

$\sum _{(m,n)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} }a_{m,n}=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }a_{m,n}=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }a_{m,n}$

Хотя теорема Фубини для бесконечных рядов является частным случаем более общей теоремы Фубини, неуместно характеризовать первую как логическое следствие второй. Это связано с тем, что некоторые свойства мер, в частности субаддитивность, часто доказываются с помощью теоремы Фубини для бесконечных рядов. В этом случае теорема Фубини для интегралов является логическим следствием теоремы Фубини для бесконечных рядов.

История

Частный случай теоремы Фубини для непрерывных функций на произведении замкнутых ограниченных подмножеств вещественных векторных пространств был известен Леонарду Эйлеру в 18-м веке. ^й век. В 1904 году Анри Лебег распространил этот результат на ограниченные измеримые функции на произведении интервалов. Леви предположил, что теорему можно распространить на интегрируемые, а не ограниченные функции. и это было доказано Фубини в 1907 году. В 1909 году Леонида Тонелли предложила вариант теоремы Фубини, применимый к неотрицательным функциям, а не к интегрируемым функциям.

Меры продукта

Если $X$ и $Y$ являются пространствами меры , существует несколько естественных способов определить меру продукта на продукте $X\times Y$.

В смысле теории категорий измеримые множества в произведении $X\times Y$ пространств с мерой — это элементы σ-алгебры, порожденные произведениями $A\times B$, где $A$ измеримо в $X$ и $B$ измеримо в $Y$.

Мера µ на ​​X × Y называется мерой-произведением , если µ ( A × B ) = µ ₁ ( A ) µ ₂ ( B ) для измеримых подмножеств A ⊂ X и B ⊂ Y и является мерой µ ₁ на X и µ ₂ на X. Ю. ​ может быть много разных мер продукта на X × Y. В общем , Теорема Фубини и теорема Тонелли нуждаются в технических условиях, чтобы избежать этого осложнения; наиболее распространенный способ — предположить, что все пространства с мерой σ-конечны существует единственная мера-произведение , и в этом случае на X × Y . Всегда существует единственная максимальная мера произведения на X × Y , где мерой измеримого множества является inf мер содержащих его множеств, которые являются счетными объединениями произведений измеримых множеств. Мера максимального продукта может быть построена путем применения теоремы Каратеодори о расширении к аддитивной функции µ такой, что µ ( A × B ) = µ ₁ ( A ) µ ₂ ( B ) на кольце множеств, порожденных произведениями измеримых множеств. (Теорема Каратеодори о расширении дает меру в пространстве с мерой, которое, вообще говоря, содержит больше измеримых множеств, чем пространство с мерой X × Y , поэтому, строго говоря, мера должна быть ограничена σ-алгебра, порожденная произведениями A × B измеримых подмножеств X и Y .)

Произведение двух полных пространств с мерой обычно не является полным. Например, произведение меры Лебега на единичном интервале I на квадрате I × I. на самого себя не является мерой Лебега Существует вариант теоремы Фубини для полных мер, в котором используется пополнение произведения мер, а не незавершенное произведение.

Для интегрируемых функций

Предположим, что X и Y являются σ-конечными пространствами с мерой, и предположим, что X × Y задана мера произведения (которая уникальна, поскольку X и Y σ-конечны). Теорема Фубини утверждает, что если f интегрируема по X × Y , это означает, что f - измеримая функция и $$\int _{X\times Y}|f(x,y)|\,{\text{d}}(x,y)<\infty ,$$затем $$\int _{X}\left(\int _{Y}f(x,y)\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x=\int _{Y}\left(\int _{X}f(x,y)\,{\text{d}}x\right)\,{\text{d}}y=\int _{X\times Y}f(x,y)\,{\text{d}}(x,y).$$

Первые два интеграла являются повторными интегралами по двум мерам соответственно, а третий — интегралом по произведенной мере. Частные интегралы ${\textstyle \int _{Y}f(x,y)\,{\text{d}}y}$ и ${\textstyle \int _{X}f(x,y)\,{\text{d}}x}$ не обязательно определять везде, но это не имеет значения, поскольку точки, где они не определены, образуют множество меры 0.

Если указанный выше интеграл абсолютной величины не конечен, то два повторных интеграла могут иметь разные значения. См . ниже иллюстрацию этой возможности.

Условие того, что X и Y являются σ-конечными, обычно безвредно, поскольку на практике почти все пространства с мерой, для которых нужно использовать теорему Фубини, являются σ-конечными. Теорема Фубини имеет некоторые довольно технические расширения на случай, когда X и Y не считаются σ-конечными ( Fremlin 2003 ). может существовать более одной меры произведения Основная дополнительная сложность в этом случае заключается в том, что на X × Y . Теорема Фубини продолжает оставаться верной для меры максимального продукта, но может не работать для других мер продукта. Например, существует мера произведения и неотрицательная измеримая функция f , для которой двойной интеграл | ж | равно нулю, но два повторных интеграла имеют разные значения; пример этого см. в разделе «Противопримеры» ниже. Теорема Тонелли и теорема Фубини-Тонелли (изложенная ниже) могут не работать в не σ-конечных пространствах, даже для меры максимального произведения.

Теорема Тонелли для неотрицательных измеримых функций

Теорема Тонелли , названная в честь Леониды Тонелли , является преемницей теоремы Фубини. Вывод теоремы Тонелли идентичен выводу теоремы Фубини, но предположение, что $|f|$ имеет конечный интеграл, заменяется предположением, что $f$ – неотрицательная измеримая функция.

Теорема Тонелли утверждает, что если $(X,A,\mu )$ и $(Y,B,\nu )$ являются σ-конечными пространствами с мерой , а $f:X\times Y\to [0,\infty ]$ – неотрицательная измеримая функция, то $$\int _{X}\left(\int _{Y}f(x,y)\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x=\int _{Y}\left(\int _{X}f(x,y)\,{\text{d}}x\right)\,{\text{d}}y=\int _{X\times Y}f(x,y)\,{\text{d}}(x,y).$$

Частным случаем теоремы Тонелли является перестановка сумм, как в ${\textstyle \sum _{x}\sum _{y}a_{xy}=\sum _{y}\sum _{x}a_{xy}}$, где $a_{xy}$ неотрицательны для всех x и y . Суть теоремы в том, что смена порядка суммирования сохраняется, даже если ряд расходится. Фактически, единственный способ, которым изменение порядка суммирования может изменить сумму, — это когда существуют некоторые подпоследовательности, которые расходятся к $+\infty$ и другие, расходящиеся к $-\infty$. Если все элементы неотрицательны, в приведенном примере этого не происходит.

Без условия σ-конечности пространств с мерой все три этих интеграла могут иметь разные значения. Некоторые авторы дают обобщения теоремы Тонелли на некоторые пространства с мерой, не являющиеся σ-конечными, но эти обобщения часто добавляют условия, которые сразу сводят проблему к σ-конечному случаю. Например, можно было бы взять σ-алгебру на A × B как алгебру, порожденную произведением подмножеств конечной меры, а не алгебру, порожденную всеми произведениями измеримых подмножеств, хотя это имеет нежелательное последствие, заключающееся в том, что проекции произведения его факторы А и В не поддаются измерению. Другой способ — добавить условие, что носитель f содержится в счетном объединении произведений множеств конечных мер. Фремлин (2003) дает некоторые довольно технические расширения теоремы Тонелли на некоторые не σ-конечные пространства. Ни одно из этих обобщений не нашло сколько-нибудь существенного применения за пределами абстрактной теории меры, главным образом потому, что почти все пространства с мерой, представляющие практический интерес, являются σ-конечными.

Теорема Фубини – Тонелли

Объединение теоремы Фубини с теоремой Тонелли дает теорему Фубини – Тонелли. Часто называемая просто теоремой Фубини, она утверждает, что если $X$ и $Y$ являются σ-конечными пространствами с мерой, и если $f$ — измеримая функция, то $$\int _{X}\left(\int _{Y}|f(x,y)|\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x=\int _{Y}\left(\int _{X}|f(x,y)|\,{\text{d}}x\right)\,{\text{d}}y=\int _{X\times Y}|f(x,y)|\,{\text{d}}(x,y)$$Более того, если какой-либо из этих интегралов конечен, то $$\int _{X}\left(\int _{Y}f(x,y)\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x=\int _{Y}\left(\int _{X}f(x,y)\,{\text{d}}x\right)\,{\text{d}}y=\int _{X\times Y}f(x,y)\,{\text{d}}(x,y).$$

Абсолютное значение $f$ в приведенных выше условиях можно заменить как положительной, так и отрицательной частью $f$; эти формы включают теорему Тонелли как частный случай, поскольку отрицательная часть неотрицательной функции равна нулю и поэтому имеет конечный интеграл. Неформально все эти условия говорят о том, что двойной интеграл от $f$ четко определена, хотя, возможно, бесконечна.

Преимущество Фубини – Тонелли перед теоремой Фубини состоит в том, что повторяющиеся интегралы от $|f|$ может быть легче изучать, чем двойной интеграл. Как и в теореме Фубини, одиночные интегралы могут не быть определены на множестве с мерой 0.

Для полных мер

Версии теорем Фубини и Тонелли, приведенные выше, не применимы к интегрированию по произведению действительной прямой. $\mathbb {R}$ сам с собой с мерой Лебега. Проблема в том, что мера Лебега на $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ не является произведением меры Лебега на $\mathbb {R}$ с самим собой, а, скорее, завершение этого: произведение двух полных пространств с мерой $X$ и $Y$ в целом не является полным. По этой причине иногда используются варианты теоремы Фубини для полных мер: грубо говоря, все меры заменяются их пополнениями. Различные версии теоремы Фубини аналогичны приведенным выше версиям со следующими небольшими отличиями:

• Вместо того, чтобы брать продукт $X\times Y$ из двух пространств меры берется пополнение некоторого произведения.
• Если $f$ измеримо по завершении $X\times Y$ тогда его ограничения на вертикальные или горизонтальные линии могут быть неизмеримыми для подмножества линий с нулевой мерой, поэтому необходимо допустить возможность того, что вертикальные или горизонтальные интегралы не определены на множестве меры 0, поскольку они включают интегрирование неизмеримых функции. Это не имеет большого значения, поскольку они уже могут быть неопределенными из-за неинтегрируемости функций.
• Обычно также предполагается, что меры по $X$ и $Y$ являются полными, в противном случае два частичных интеграла по вертикальным или горизонтальным линиям могут быть четко определены, но не поддаются измерению. Например, если $f$ является характеристической функцией произведения измеримого множества и неизмеримого множества, содержащегося в множестве с мерой 0, то ее единственный интеграл везде корректно определен, но неизмерим.

Доказательства

Доказательства теорем Фубини и Тонелли обязательно носят несколько технический характер, поскольку в них приходится использовать гипотезу, связанную с σ-конечностью. Большинство доказательств включает в себя построение полных теорем путем доказательства их для все более сложных функций в следующем порядке.

1. Используйте тот факт, что мера произведения является мерой произведения, чтобы доказать теоремы для характеристических функций прямоугольников.
2. Используйте условие σ-конечности пространств (или какое-либо связанное с ним условие) для доказательства теоремы для характеристических функций измеримых множеств. Это также охватывает случай простых измеримых функций (измеримых функций, принимающих только конечное число значений).
3. Используя условие измеримости функций, докажите теоремы для положительных измеримых функций, приближая их простыми измеримыми функциями. Это доказывает теорему Тонелли.
4. Используйте условие интегрируемости функций, чтобы записать их как разность двух положительных интегрируемых функций, и примените к каждой из них теорему Тонелли. Это доказывает теорему Фубини.

Интегралы Римана

Для интегралов Римана теорема Фубини доказывается путем уточнения разбиений вдоль осей x и y, чтобы создать совместное разбиение вида $[x_{i},x_{i+1}]\times [y_{j},y_{j+1}]$, который представляет собой раздел над $X\times Y$. Это используется, чтобы показать, что двойные интегралы любого порядка равны интегралу по $X\times Y$.

Контрпримеры

Следующие примеры показывают, как теорема Фубини и теорема Тонелли могут оказаться ошибочными, если опустить какую-либо из их гипотез.

Несостоятельность теоремы Тонелли для не σ-конечных пространств

Предположим, что X — единичный интервал с измеримыми множествами Лебега и мерой Лебега, а Y — единичный интервал со всеми измеримыми подмножествами и считающей мерой , так что Y не является σ-конечным. Если f — характеристическая функция диагонали X × Y , то интегрирование f вдоль X дает функцию 0 на Y но интегрирование f вдоль Y дает функцию 1 на X. , Итак, два повторных интеграла различны. Это показывает, что теорема Тонелли может не работать для пространств, которые не являются σ-конечными, независимо от того, какая мера произведения выбрана. Обе меры являются разложимыми , что показывает, что теорема Тонелли не работает для разложимых мер (которые немного более общие, чем σ-конечные меры).

Несостоятельность теоремы Фубини для немаксимальных мер продукта

Теорема Фубини справедлива для пространств, даже если они не предполагаются σ-конечными, при условии использования меры максимального произведения. В приведенном выше примере для меры максимального произведения диагональ имеет бесконечную меру, поэтому двойной интеграл от | ж | бесконечно, и теорема Фубини справедлива.Однако если мы дадим X × Y такую ​​меру-произведение, что мера множества является суммой мер Лебега его горизонтальных сечений, то двойной интеграл от | ж | равно нулю, но два повторных интеграла по-прежнему имеют разные значения. Это дает пример меры произведения, в которой теорема Фубини не работает.

Это дает пример двух разных мер произведения одного и того же произведения двух пространств мер. Для произведений двух σ-конечных пространств с мерой существует только одна мера-произведение.

Несостоятельность теоремы Тонелли для неизмеримых функций

Предположим, что X - первый несчетный ординал с конечной мерой, где измеримые множества либо счетны (с мерой 0), либо множества счетного дополнения (с мерой 1). (Неизмеримое) подмножество E из X × X, заданное парами ( x , y ) с x < y , счетно на каждой горизонтальной линии и имеет счетное дополнение на каждой вертикальной линии. Если f является характеристической функцией E , то два повторных интеграла от f определены и имеют разные значения 1 и 0. Функция f не измерима. Это показывает, что теорема Тонелли может не работать для неизмеримых функций.

Несостоятельность теоремы Фубини для неизмеримых функций

Вариант приведенного выше примера показывает, что теорема Фубини может не работать для неизмеримых функций, даже если | ж | интегрируема, и оба повторных интеграла корректно определены: если мы возьмем f равным 1 в E и –1 в дополнении к E , то | ж | интегрируется в произведении с интегралом 1, причем оба повторных интеграла корректно определены, но имеют разные значения 1 и –1.

Предполагая гипотезу континуума, можно отождествить X с единичным интервалом I , поэтому существует ограниченная неотрицательная функция на I × I, два повторных интеграла которой (с использованием меры Лебега) оба определены, но неравны. Этот образец нашел Вацлав Серпинский ( 1920 ). Более сильные версии теоремы Фубини о произведении двух единичных интервалов с мерой Лебега, где функция больше не предполагается измеримой, а просто предполагается, что два повторных интеграла хорошо определены и существуют, независимы от стандартных Цермело – Френкеля аксиом теория множеств . Гипотеза континуума и аксиома Мартина предполагают, что существует функция на единичном квадрате, повторные интегралы которой не равны, в то время как Харви Фридман ( 1980 ) показал, что это согласуется с ZFC, что сильная теорема типа Фубини для [0,1] выполняется, и всякий раз, когда существуют два повторных интеграла, они равны. См. Список неразрешимых утверждений в ZFC .

Несостоятельность теоремы Фубини для неинтегрируемых функций

Теорема Фубини говорит нам, что (для измеримых функций на произведении σ-конечных пространств с мерой), если интеграл от абсолютного значения конечен, то порядок интегрирования не имеет значения; если мы интегрируем сначала по x, а затем по y , мы получим тот же результат, как если бы мы интегрировали сначала по y , а затем по x . Предположение о конечности интеграла по абсолютной величине является « интегрируемостью по Лебегу », и без него два повторных интеграла могут иметь разные значения.

Простой пример, показывающий, что повторяющиеся интегралы в целом могут быть разными, - это взять два пространства меры как положительные целые числа и принять функцию f ( x , y ) равной 1, если x = y , -1, если x = y + 1 и 0 в противном случае. Тогда два повторных интеграла имеют разные значения 0 и 1.

Другой пример: для функции $${\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}=-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x\,\partial y}}\arctan(y/x).$$Повторные интегралы

$$\int _{x=0}^{1}\left(\int _{y=0}^{1}{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x={\frac {\pi }{4}}$$и $$\int _{y=0}^{1}\left(\int _{x=0}^{1}{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\,{\text{d}}x\right)\,{\text{d}}y=-{\frac {\pi }{4}}$$имеют разные ценности. Соответствующий двойной интеграл не сходится абсолютно (другими словами, интеграл по абсолютной величине не конечен): $$\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\left|{\frac {x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}\right|\,{\text{d}}y\,{\text{d}}x=\infty .$$

Теорема Фубини об умножении интегралов

Произведение двух интегралов

Для произведения двух интегралов с нулевым нижним пределом и общим верхним пределом имеем следующую формулу:

${\biggl [}\int _{0}^{u}v(x)\,\mathrm {d} x{\biggr ]}{\biggl [}\int _{0}^{u}w(x)\,\mathrm {d} x{\biggr ]}=\int _{0}^{1}\int _{0}^{u}x\,v(xy)\,w(x)+x\,v(x)\,w(xy)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y$

Доказательство

Позволять $V(x)$ и $W(x)$ являются примитивными функциями функций $v(x)$ и $w(x)$ соответственно, которые проходят через начало координат:

$\int _{0}^{u}v(x)\,\mathrm {d} x=V(u),\quad \quad \int _{0}^{u}w(x)\,\mathrm {d} x=W(u)$

Поэтому у нас есть

$${\biggl [}\int _{0}^{u}v(x)\,\mathrm {d} x{\biggr ]}{\biggl [}\int _{0}^{u}w(x)\,\mathrm {d} x{\biggr ]}=V(u)W(u)$$

По правилу произведения производная правой части равна

$${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\bigl [}V(x)W(x){\bigr ]}=V(x)w(x)+v(x)W(x)$$

и, интегрируя, имеем:

$$\int _{0}^{u}V(x)w(x)+v(x)W(x)\,\mathrm {d} x=V(u)W(u)$$

Таким образом, уравнение из начала получаем:

$${\biggl [}\int _{0}^{u}v(x)\,\mathrm {d} x{\biggr ]}{\biggl [}\int _{0}^{u}w(x)\,\mathrm {d} x{\biggr ]}=\int _{0}^{u}V(x)w(x)+v(x)W(x)\,\mathrm {d} x$$

Теперь мы вводим второй параметр интегрирования $y$ для описания первообразных $V(x)$ и $W(x)$:

$\int _{0}^{1}x\,v(xy)\,\mathrm {d} y={\biggl [}V(xy){\biggr ]}_{y=0}^{y=1}=V(x)$

$\int _{0}^{1}x\,w(xy)\,\mathrm {d} y={\biggl [}W(xy){\biggr ]}_{y=0}^{y=1}=W(x)$

При вставке получается двойной интеграл:

$${\biggl [}\int _{0}^{u}v(x)\,\mathrm {d} x{\biggr ]}{\biggl [}\int _{0}^{u}w(x)\,\mathrm {d} x{\biggr ]}=\int _{0}^{u}{\biggl [}\int _{0}^{1}x\,v(xy)\,\mathrm {d} y{\biggr ]}w(x)+v(x){\biggl [}\int _{0}^{1}x\,w(xy)\,\mathrm {d} y{\biggr ]}\,\mathrm {d} x$$

Функции, независимые от соответствующего параметра интеграции, могут быть импортированы во внутреннюю функцию как фактор:

$${\biggl [}\int _{0}^{u}v(x)\,\mathrm {d} x{\biggr ]}{\biggl [}\int _{0}^{u}w(x)\,\mathrm {d} x{\biggr ]}=\int _{0}^{u}{\biggl [}\int _{0}^{1}x\,v(xy)\,w(x)\,\mathrm {d} y{\biggr ]}+{\biggl [}\int _{0}^{1}x\,v(x)\,w(xy)\,\mathrm {d} y{\biggr ]}\,\mathrm {d} x$$

На следующем этапе правило сумм к интегралам применяется :

$${\biggl [}\int _{0}^{u}v(x)\,\mathrm {d} x{\biggr ]}{\biggl [}\int _{0}^{u}w(x)\,\mathrm {d} x{\biggr ]}=\int _{0}^{u}\int _{0}^{1}x\,v(xy)\,w(x)+x\,v(x)\,w(xy)\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x$$

И, наконец, воспользуемся теоремой Фубини

$${\biggl [}\int _{0}^{u}v(x)\,\mathrm {d} x{\biggr ]}{\biggl [}\int _{0}^{u}w(x)\,\mathrm {d} x{\biggr ]}=\int _{0}^{1}\int _{0}^{u}x\,v(xy)\,w(x)+x\,v(x)\,w(xy)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y$$

Примеры расчета

Арксинусный интеграл

Арксинусный интеграл, также называемый обратным синусоидальным интегралом, — это функция, которую невозможно представить элементарными функциями . Однако у арксинусного интеграла есть некоторые значения элементарных функций. Эти значения могут быть определены путем интегрирования производной интеграла арксинуса, который представляет собой частное деления арксинуса на функцию идентичности - кардинализованный арксинус. Арксинусный интеграл — это первоначальная производная кардинализованного арксинуса. Для интегрирования этой функции ключом служит теорема Фубини, которая открывает интеграл путем изменения порядка параметров интегрирования. При правильном применении теорема Фубини приводит непосредственно к первообразной функции, которую можно проинтегрировать элементарным способом, что показано голубым цветом в следующей цепочке уравнений:

$$\operatorname {Si} _{2}(1)=\int _{0}^{1}{\frac {1}{x}}\arcsin(x)\,\mathrm {d} x={\color {blue}\int _{0}^{1}}{\color {green}\int _{0}^{1}}{\frac {{\sqrt {1-x^{2}}}\,y}{(1-x^{2}y^{2}){\sqrt {1-y^{2}}}}}\,{\color {green}\mathrm {d} y}\,{\color {blue}\mathrm {d} x}=$$$$={\color {green}\int _{0}^{1}}{\color {blue}\int _{0}^{1}}{\frac {{\sqrt {1-x^{2}}}\ ,y}{(1-x^{2}y^{2}){\sqrt {1-y^{2}}}}}{\color {blue}\,\mathrm {d} x}{\color {green}\,\mathrm {d} y}=\int _{0}^{1}{\frac {\pi \,y}{2{\sqrt {1-y^{2}}}(1+{\sqrt {1-y^{2}}}\,)}}\,\mathrm {d} y=$$$$={\color {RoyalBlue}{\biggl \{}{\frac {\pi }{2}}\ln {\bigl [}2{\bigl (}1+{\sqrt {1-y^{2}}}\,{\bigr )}^{-1}{\bigr ]}{\biggr \}}_{y=0}^{y=1}}={\frac {\pi }{2}}\ln(2)$$

Эта-функция Дирихле

определяет Ряд Дирихле эта -функцию Дирихле следующим образом:

$$\eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{s}}}=1-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-{\frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}-{\frac {1}{6^{s}}}\pm \cdots$$

Значение η(2) равно π²/12, и это можно доказать с помощью теоремы Фубини. таким образом:

$$\eta (2)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {1}{n^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{1}(-1)^{n-1}{\frac {1}{n}}{x}^{n-1}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {1}{n}}{x}^{n-1}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {1}{x}}\ln(x+1)\,\mathrm {d} x$$

Интеграл от произведения обратной функции и натурального логарифма функции- преемника является полилогарифмическим интегралом и не может быть представлен выражениями элементарных функций. Теорема Фубини снова раскрывает этот интеграл комбинаторным способом. Это работает путем проведения двойного интегрирования на основе теоремы Фубини, используемой для аддитивной комбинации дробно-рациональных функций с дробями линейных и квадратных знаменателей:

$$\int _{0}^{1}{\frac {1}{x}}\ln(x+1)\,\mathrm {d} x={\color {blue}\int _{0}^{1}}{\color {green}\int _{0}^{1}}{\frac {4}{3(x^{2}+2xy+1)}}+{\frac {2x}{3(x^{2}y+1)}}-{\frac {1}{3(xy+1)}}\,{\color {green}\mathrm {d} y}\,{\color {blue}\mathrm {d} x}=$$

$$={\color {green}\int _{0}^{1}}{\color {blue}\int _{0}^{1}}{\frac {4}{3(x^{2}+2xy+1)}}+{\frac {2x}{3(x^{2}y+1)}}-{\frac {1}{3(xy+1)}}\,{\color {blue}\mathrm {d} x}\,{\color {green}\mathrm {d} y}=\int _{0}^{1}{\frac {2\arccos(y)}{3{\sqrt {1-y^{2}}}}}\,\mathrm {d} y=$$

$$={\color {RoyalBlue}{\biggl [}{\frac {\pi ^{2}}{12}}-{\frac {1}{3}}\arccos(y)^{2}{\biggr ]}_{y=0}^{y=1}}={\frac {\pi ^{2}}{12}}$$

Этот способ вычисления интеграла от кардинализованного натурального логарифма функции-преемника был открыт Джеймсом Харпером и описан в его работе. доказательство 1 + 1/2² + 1/3² + ... = π²/6. Еще одно простое точное .

Исходная первообразная, показанная здесь голубым цветом, напрямую приводит к значению η(2):

$\eta (2)={\frac {\pi ^{2}}{12}}$

Интегралы от полных эллиптических интегралов

Несобственный интеграл от полного эллиптического интеграла первого рода K точно принимает значение, вдвое превышающее константу Каталана . Первообразная этого K-интеграла принадлежит к так называемым эллиптическим полилогарифмам . Константу Каталана можно получить только с помощью арктангенса , который получается в результате применения теоремы Фубини:

$$\int _{0}^{1}K(x)\,\mathrm {d} x={\color {blue}\int _{0}^{1}}{\color {green}\int _{0}^{1}}{\frac {1}{\sqrt {(1-x^{2}y^{2})(1-y^{2})}}}\,{\color {green}\mathrm {d} y}\,{\color {blue}\mathrm {d} x}={\color {green}\int _{0}^{1}}{\color {blue}\int _{0}^{1}}{\frac {1}{\sqrt {(1-x^{2}y^{2})(1-y^{2})}}}\,{\color {blue}\mathrm {d} x}\,{\color {green}\mathrm {d} y}=$$

$$=\int _{0}^{1}{\frac {\arcsin(y)}{y{\sqrt {1-y^{2}}}}}\,\mathrm {d} y={\color {RoyalBlue}{\biggl \{}2\,\mathrm {Ti} _{2}{\bigl [}y{\bigl (}1+{\sqrt {1-y^{2}}}\,{\bigr )}^{-1}{\bigr ]}{\biggr \}}_{y=0}^{y=1}}=2\,\mathrm {Ti} _{2}(1)=2\beta (2)=2\,C$$

На этот раз выражение в королевско-голубом цветовом тоне не является элементарным, но оно ведет непосредственно к столь же неэлементарному значению «каталонской константы» с использованием арктангенсного интеграла, также называемого обратным тангенциальным интегралом.

Та же процедура работает и для полного эллиптического интеграла второго рода E следующим образом:

$$\int _{0}^{1}E(x)\,\mathrm {d} x={\color {blue}\int _{0}^{1}}{\color {green}\int _{0}^{1}}{\frac {\sqrt {1-x^{2}y^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}}\,{\color {green}\mathrm {d} y}\,{\color {blue}\mathrm {d} x}={\color {green}\int _{0}^{1}}{\color {blue}\int _{0}^{1}}{\frac {\sqrt {1-x^{2}y^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}}\,{\color {blue}\mathrm {d} x}\,{\color {green}\mathrm {d} y}=$$$$=\int _{0}^{1}{\biggl [}{\frac {\arcsin(y)}{2y{\sqrt {1-y^{2}}}}}+{\frac {1}{2}}{\biggr ]}\,\mathrm {d} y={\color {RoyalBlue}{\biggl \{}\mathrm {Ti} _{2}{\bigl [}y{\bigl (}1+{\sqrt {1-y^{2}}}\,{\bigr )}^{-1}{\bigr ]}+{\frac {1}{2}}y{\biggr \}}_{y=0}^{y=1}}=\mathrm {Ti} _{2}(1)+{\frac {1}{2}}=\beta (2)+{\frac {1}{2}}=C+{\frac {1}{2}}$$

Двойное выполнение экспоненциальной интегральной функции

возникает Константа Маскерони как несобственный интеграл от нуля до бесконечности при интегрировании произведения отрицательного натурального логарифма и обратной экспоненты . Но это также несобственный интеграл в тех же пределах кардинальной разности обратной функции-преемника и экспоненциальной обратной величины :

$$\gamma ={\color {WildStrawberry}\int _{0}^{\infty }{\frac {-\ln(x)}{\exp(x)}}\,\mathrm {d} x}={\color {cornflowerblue}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{x}}{\biggl [}{\frac {1}{x+1}}-\exp(-x){\biggr ]}\,\mathrm {d} x}$$

Согласие этих двух интегралов можно показать, дважды последовательно выполнив теорему Фубини и приведя это двойное выполнение этой теоремы над тождеством к интегралу дополнительной экспоненциальной интегральной функции :

Вот как определяется дополнительная интегральная показательная функция:

$\mathrm {E} _{1}(x)=\exp(-x)\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-xy)}{y+1}}\,\mathrm {d} y$

Это производная этой функции:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\mathrm {E} _{1}(x)=-{\frac {1}{x}}\exp(-x)$

Первая реализация теоремы Фубини:

Этот интеграл от построения интегральной показательной функции приводит к интегралу от отрицательного натурального логарифма и обратной экспоненты:

$$\gamma ={\color {WildStrawberry}\int _{0}^{\infty }-\exp(-y)\ln(y)\,\mathrm {d} y}={\color {green}\int _{0}^{\infty }}{\color {blue}\int _{0}^{\infty }}\exp(-y){\bigl (}{\frac {1}{x+y}}-{\frac {1}{x+1}}{\bigr )}\,{\color {blue}\mathrm {d} x}\,{\color {green}\mathrm {d} y}=$$$$={\color {blue}\int _{0}^{\infty }}{\color {green}\int _{0}^{\infty }}\exp(-y){\bigl (}{\frac {1}{x+y}}-{\frac {1}{x+1}}{\bigr )}\,{\color {green}\mathrm {d} y}\,{\color {blue}\mathrm {d} x}={\color {Dandelion}\int _{0}^{\infty }{\biggl [}\exp(x)\,\mathrm {E} _{1}(x)-{\frac {1}{x+1}}{\biggr ]}\,\mathrm {d} x}$$

Вторая реализация теоремы Фубини:

Ранее описанный интеграл от описанной кардинальной разности приводит к ранее упомянутому интегралу от экспоненциальной интегральной функции:

$$\gamma ={\color {Dandelion}\int _{0}^{\infty }{\biggl [}\exp(x)\,\mathrm {E} _{1}(x)-{\frac {1}{x+1}}{\biggr ]}\,\mathrm {d} x}={\color {blue}\int _{0}^{\infty }}{\color {blueviolet}\int _{0}^{\infty }}\exp(-xz){\biggl [}{\frac {1}{z+1}}-\exp(-z){\biggr ]}\,{\color {blueviolet}\mathrm {d} z}\,{\color {blue}\mathrm {d} x}=$$$$={\color {blueviolet}\int _{0}^{\infty }}{\color {blue}\int _{0}^{\infty }}\exp(-xz){\biggl [}{\frac {1}{z+1}}-\exp(-z){\biggr ]}\,{\color {blue}\mathrm {d} x}\,{\color {blueviolet}\mathrm {d} z}={\color {cornflowerblue}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{z}}{\biggl [}{\frac {1}{z+1}}-\exp(-z){\biggr ]}\,\mathrm {d} z}$$

В принципе, произведения показательных функций и дробно-рациональных функций можно интегрировать следующим образом:

$${\frac {\exp(-ax)}{bx+c}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\biggl \{}-{\frac {1}{b}}\exp {\bigl (}{\frac {ac}{b}}{\bigr )}\,\mathrm {E} _{1}{\bigl [}{\frac {a}{b}}{\bigl (}bx+c{\bigr )}{\bigr ]}{\biggr \}}$$$$\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-ax)}{bx+c}}\,\mathrm {d} x={\biggl \{}-{\frac {1}{b}}\exp {\bigl (}{\frac {ac}{b}}{\bigr )}\,\mathrm {E} _{1}{\bigl [}{\frac {a}{b}}{\bigl (}bx+c{\bigr )}{\bigr ]}{\biggr \}}_{x=0}^{x=\infty }={\frac {1}{b}}\exp {\bigl (}{\frac {ac}{b}}{\bigr )}\,\mathrm {E} _{1}{\bigl (}{\frac {ac}{b}}{\bigr )}$$

Таким образом, дважды используя теорему Фубини, можно точно показать , что эти интегралы действительно идентичны друг другу.

Интеграл кривой Гаусса

Теперь формула возведения в квадрат интеграла установлена:

${\biggl [}\int _{0}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x{\biggr ]}^{2}=\int _{0}^{1}\int _{0}^{\infty }2x\,f(x)\,f(xy)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y$

Затем эта цепочка уравнений может быть сгенерирована соответствующим образом:

$${\biggl [}\int _{0}^{\infty }\exp(-x^{2})\,\mathrm {d} x{\biggr ]}^{2}=\int _{0}^{1}\int _{0}^{\infty }2x\exp(-x^{2})\exp(-x^{2}y^{2})\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\int _{0}^{1}\int _{0}^{\infty }2x\exp {\bigl [}-x^{2}(y^{2}+1){\bigr ]}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=$$

$$=\int _{0}^{1}{\biggl \{}{\frac {1}{y^{2}+1}}-{\frac {1}{y^{2}+1}}\exp {\biggl [}-x^{2}(y^{2}+1){\biggr ]}{\biggr \}}_{x=0}^{x=\infty }\,\mathrm {d} y=\int _{0}^{1}{\frac {1}{y^{2}+1}}\,\mathrm {d} y=\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}$$

Для интеграла кривой Гаусса это значение может быть получено:

$\int _{0}^{\infty }\exp(-x^{2})\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}$

Дилогарифм единицы

Теперь снова составлена ​​другая формула возведения в квадрат интеграла:

${\biggl [}\int _{0}^{1}g(x)\,\mathrm {d} x{\biggr ]}^{2}=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}2x\,g(x)\,g(xy)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y$

Итак, эта цепочка уравнений применима в качестве нового примера:

$${\frac {\pi ^{2}}{4}}=\arcsin(1)^{2}={\biggl [}\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x{\biggr ]}^{2}=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {2x}{\sqrt {(1-x^{2})(1-x^{2}y^{2})}}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=$$

$$=\int _{0}^{1}{\biggl [}{\frac {2}{y}}\operatorname {artanh} (y)-{\frac {2}{y}}\operatorname {artanh} {\biggl (}{\frac {{\sqrt {1-x^{2}}}\,y}{\sqrt {1-x^{2}y^{2}}}}{\biggr )}{\biggr ]}_{x=0}^{x=1}\,\mathrm {d} y=\int _{0}^{1}{\frac {2}{y}}\operatorname {artanh} (y)\,\mathrm {d} y=$$

$$={\biggl [}2\,\mathrm {Li} _{2}(y)-{\frac {1}{2}}\,\mathrm {Li} _{2}(y^{2}){\biggr ]}_{y=0}^{y=1}={\frac {3}{2}}\,\mathrm {Li} _{2}(1)$$

Для дилогарифма единицы появляется это значение:

$\mathrm {Li} _{2}(1)={\frac {\pi ^{2}}{6}}$

Таким образом может быть решена Базельская проблема .

Отношение Лежандра

В следующем примере более обобщенная форма уравнения снова используется в качестве шаблона:

${\biggl [}\int _{0}^{1}v(x)\,\mathrm {d} x{\biggr ]}{\biggl [}\int _{0}^{1}w(x)\,\mathrm {d} x{\biggr ]}=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\left(x\,v(xy)\,w(x)+x\,v(x)\,w(xy)\right)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y$

Следующие интегралы можно вычислить, используя неполные эллиптические интегралы первого и второго рода в качестве первообразных, и эти интегралы имеют значения, которые можно представить с помощью полных эллиптических интегралов :

$\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{4}}}}\,\mathrm {d} x=$

$${\biggl \{}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,F{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}{\biggr \}}_{x=0}^{x=1}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}$$

$\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}\,\mathrm {d} x=$

$${\biggl \{}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,F{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}-{\sqrt {2}}\,E{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}{\biggr \}}_{x=0}^{x=1}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggl [}2\,E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}{\biggr ]}$$

Вставив эти два интеграла в упомянутую форму, получим следующую цепочку уравнений:

$${\biggl [}\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{4}}}}\,\mathrm {d} x{\biggr ]}{\biggl [}\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}\,\mathrm {d} x{\biggr ]}=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x^{3}(y^{2}+1)}{\sqrt {(1-x^{4})(1-x^{4}y^{4})}}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=$$

$$=\int _{0}^{1}{\biggl \{}{\frac {y^{2}+1}{2\,y^{2}}}{\biggl [}{\text{artanh}}{\bigl (}y^{2}{\bigr )}-{\text{artanh}}{\biggl (}{\frac {{\sqrt {1-x^{4}}}\,y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}{\biggr )}{\biggr ]}{\biggr \}}_{x=0}^{x=1}\,\mathrm {d} y=\int _{0}^{1}{\frac {y^{2}+1}{2\,y^{2}}}\,\mathrm {artanh} {\bigl (}y^{2}{\bigr )}\,\mathrm {d} y=$$

$$={\biggl [}\arctan(y)-{\frac {1-y^{2}}{2\,y}}\,\mathrm {artanh} {\bigl (}y^{2}{\bigr )}{\biggr ]}_{y=0}^{y=1}=\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}$$

Для лемнискатического частного случая отношения Лежандра получается следующий результат:

$K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}{\biggl [}2\,E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}{\biggr ]}={\frac {\pi }{2}}$

См. также

• Принцип Кавальери – Геометрическая концепция – ранний частный случай.
• Формула Коареа — обобщение на геометрическую теорию меры
• Теорема о дезинтеграции - теорема теории меры - ограниченное обращение к теореме Фубини.
• Теорема Фубини для распределений - термин математического анализа, аналогичный обобщенной функции. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Теорема Куратовского–Улама - аналог теоремы Фубини для произвольных вторых счетных пространств Бэра.
• Симметрия вторых производных — аналог дифференцирования
• Кошмар Фубини - очевидное нарушение теоремы Фубини.

Дальнейшее чтение

• Биллингсли, Патрик (1995), «Мера произведения и теорема Фубини», Вероятность и мера , Нью-Йорк: Wiley, стр. 231–240, ISBN  0-471-00710-2
• ДиБенедетто, Эммануэле (2002), Реальный анализ , Расширенные тексты Birkhäuser: Базельские учебники, Бостон: Birkhäuser, doi : 10.1007/978-1-4612-0117-5 , ISBN  0-8176-4231-5 , МР   1897317
• Фремлин, Д.Х. (2003), Теория меры , том. 2, Колчестер: Торрес Фремлин, ISBN  0-9538129-2-8 , МР   2462280
• Вейр, Алан Дж. (1973), «Теорема Фубини», Интеграция и мера Лебега , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, стр. 83–92, ISBN  0-521-08728-7

Внешние ссылки

• Кудрявцев, Л.Д. (2001) [1994], «Теорема Фубини» , Энциклопедия математики , EMS Press