Метрический дифференциал

В математическом анализе метрический дифференциал — это обобщение производной липшицевой непрерывной функции, определенной в евклидовом пространстве и принимающей значения в произвольном метрическом пространстве . Используя это определение производной, можно обобщить теорему Радемахера на метрические пространственнозначные липшицевы функции.

Обсуждение

Теорема Радемахера утверждает, что липшицево отображение f : R ^н → Р ^м дифференцируема почти всюду в R ^н ; другими словами, почти для каждого x функция f приблизительно линейна в любом достаточно малом диапазоне значений x . Если f — функция из евклидова пространства R ^н который вместо этого принимает значения в метрическом пространстве X , не имеет смысла сразу говорить о дифференцируемости, поскольку X априори не имеет линейной структуры. Даже если вы предположите, что X — банахово пространство , и спросите, существует ли производная Фреше почти всюду, это не так. Например, рассмотрим функцию f : [0,1] → L ¹ ([0,1]), отображая единичный интервал в пространство интегрируемых функций , определяемое формулой f ( x ) = χ _{[0, x ]} , эта функция является липшицевой (и фактически изометрической ), поскольку, если 0 ≤ x ≤ y ≤ 1, тогда

$|f(x)-f(y)|=\int _{0}^{1}|\chi _{[0,x]}(t)-\chi _{[0,y]}(t)|\,dt=\int _{x}^{y}\,dt=|x-y|,$

но можно проверить, что lim _{h →0} ( f ( x + h ) − f ( x ))/ h не сходится к L ¹ функция для любого x из [0,1], поэтому она нигде не дифференцируема.

Однако если вы посмотрите на теорему Радемахера как на утверждение о том, как функция Липшица стабилизируется при увеличении почти каждой точки, то такая теорема существует, но формулируется в терминах метрических свойств f, а не ее линейных свойств.

Определение и существование метрического дифференциала

Заменитель производной f : R ^н → X — метрический дифференциал f в точке z в R ^н которая является функцией на R ^н определяется пределом

$MD(f,z)(x)=\lim _{r\rightarrow 0}{\frac {d_{X}(f(z+rx),f(z))}{r}}$

всякий раз, когда предел существует (здесь d _X обозначает метрику на X ).

Теорема Бернда Кирхгейма утверждает, что справедлива теорема Радемахера в терминах метрических дифференциалов: для почти каждого z в R ^н , MD( f , z ) — полунорма и

$d_{X}(f(x),f(y))-MD(f,z)(x-y)=o(|x-z|+|y-z|).$

Используемое здесь обозначение « маленькое о» означает, что при значениях, очень близких к z , функция f приблизительно представляет собой изометрию от R ^н относительно полунормы MD( f , z ) в метрическое пространство X .