Поглощающий набор

В функциональном анализе и смежных областях математики в поглощающим множеством векторном пространстве называется множество $S$ который можно «раздуть» или «масштабировать», чтобы в конечном итоге всегда включать любую заданную точку векторного пространства. Альтернативные термины — радиальный или абсорбирующий набор . Каждая окрестность начала координат в каждом топологическом векторном пространстве является поглощающим подмножеством.

Определение

Обозначения скаляров

Предположим, что $X$ — векторное пространство над полем $\mathbb {K}$ действительных чисел $\mathbb {R}$ или комплексные числа $\mathbb {C} ,$ и для любого $-\infty \leq r\leq \infty ,$ позволять $$B_{r}=\{a\in \mathbb {K} :|a|<r\}\quad {\text{ and }}\quad B_{\leq r}=\{a\in \mathbb {K} :|a|\leq r\}$$обозначим открытый шар (соответственно закрытый шар ) радиуса $r$ в $\mathbb {K}$ сосредоточено в $0.$ Определить произведение множества $K\subseteq \mathbb {K}$ скаляров с набором $A$ векторов как $KA=\{ka:k\in K,a\in A\},$ и определить произведение $K\subseteq \mathbb {K}$ с одним вектором $x$ как $Kx=\{kx:k\in K\}.$

Предварительные сведения

Сбалансированное ядро ​​и сбалансированный корпус

Подмножество $S$ из $X$ Говорят, что это сбалансированный, если $as\in S$ для всех $s\in S$ и все скаляры $a$ удовлетворяющий $|a|\leq 1;$ это условие можно записать более кратко как $B_{\leq 1}S\subseteq S,$ и оно выполняется тогда и только тогда, когда $B_{\leq 1}S=S.$

Учитывая набор $T,$ наименьший сбалансированный набор, содержащий $T,$ обозначается $\operatorname {bal} T,$ называется сбалансированный корпус $T$ в то время как самый большой сбалансированный набор содержится в $T,$ обозначается $\operatorname {balcore} T,$ называется сбалансированное ядро $T.$ Эти множества задаются формулами $$\operatorname {bal} T~=~{\textstyle \bigcup \limits _{|c|\leq 1}}c\,T=B_{\leq 1}T$$и $$\operatorname {balcore} T~=~{\begin{cases}{\textstyle \bigcap \limits _{|c|\geq 1}}c\,T&{\text{ if }}0\in T\\\varnothing &{\text{ if }}0\not \in T,\\\end{cases}}$$(эти формулы показывают, что сбалансированный корпус и сбалансированное ядро ​​всегда существуют и уникальны). Набор $T$ сбалансирован тогда и только тогда, когда он равен своему сбалансированному корпусу ( $T=\operatorname {bal} T$) или к его сбалансированному ядру ( $T=\operatorname {balcore} T$), и в этом случае все три набора равны: $T=\operatorname {bal} T=\operatorname {balcore} T.$

Если $c$ есть ли скаляр тогда $$\operatorname {bal} (c\,T)=c\,\operatorname {bal} T=|c|\,\operatorname {bal} T$$ в то время как если $c\neq 0$ не равно нулю или если $0\in T$ тогда также $$\operatorname {balcore} (c\,T)=c\,\operatorname {balcore} T=|c|\,\operatorname {balcore} T.$$

Один набор поглощает другой

Если $S$ и $A$ являются подмножествами $X,$ затем $A$ говорят, что поглощать $S$ если он удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:

1. Определение : существует реальная $r>0$ такой, что $S\,\subseteq \,c\,A$ для каждого скаляра $c$ удовлетворяющий $|c|\geq r.$ Или, говоря более кратко, $S\;\subseteq \;{\textstyle \bigcap \limits _{|c|\geq r}}c\,A$ для некоторых $r>0.$
   • Если скалярное поле $\mathbb {R}$ затем интуитивно " $A$ поглощает $S$" означает, что если $A$ постоянно «увеличивается» или «раздувается» (имеется в виду $tA$ как $t\to \infty$), то в конце концов (для всех положительных $t>0$ достаточно большой), все $tA$ будет содержать $S;$ и аналогично, $tA$ также должен в конечном итоге содержать $S$ за весь негатив $t<0$ достаточно велика по величине.
   • Это определение зависит от канонической нормы основного скалярного поля (то есть от абсолютного значения $|\cdot |$), что, таким образом, связывает это определение с обычной евклидовой топологией скалярного поля. Следовательно, определение поглощающего множества (данное ниже) также привязано к этой топологии.
2. Существует настоящий $r>0$ такой, что $c\,S\,\subseteq \,A$ для каждого ненулевого скаляр $c\neq 0$ удовлетворяющий $|c|\leq r.$ Или, говоря более кратко, ${\textstyle \bigcup \limits _{0<|c|\leq r}}c\,S\,\subseteq \,A$ для некоторых $r>0.$
   • Поскольку это объединение равно $\left(B_{\leq r}\setminus \{0\}\right)S,$ где $B_{\leq r}\setminus \{0\}=\{c\in \mathbb {K} :0<|c|\leq r\}$ является закрытым шаром с удаленным началом координат, это условие можно переформулировать как: $\left(B_{\leq r}\setminus \{0\}\right)S\,\subseteq \,A$ для некоторых $r>0.$
   • Нестрогое неравенство $\,\leq \,$ можно заменить строгим неравенством $\,<\,,$ это следующая характеристика.
3. Существует настоящий $r>0$ такой, что $c\,S\,\subseteq \,A$ для каждого ненулевого скаляр $c\neq 0$ удовлетворяющий $|c|<r.$ Или, говоря более кратко, $\left(B_{r}\setminus \{0\}\right)S\subseteq \,A$ для некоторых $r>0.$
   • Здесь $B_{r}\setminus \{0\}=\{c\in \mathbb {K} :0<|c|<r\}$ представляет собой открытый шар с удаленным началом координат и $\left(B_{r}\setminus \{0\}\right)S\,=\,{\textstyle \bigcup \limits _{0<|c|<r}}c\,S.$

Если $A$ является сбалансированным набором , то этот список можно расширить, включив в него:

4. Существует ненулевой скаляр $c\neq 0$ такой, что $S\;\subseteq \,c\,A.$
   • Если $0\in A$ тогда требование $c\neq 0$ можно отбросить.
5. Существует ненулевое значение скаляр $c\neq 0$ такой, что $c\,S\,\subseteq \,A.$

Если $0\in A$ (необходимое условие $A$ быть поглощающим множеством или окрестностью начала координат в топологии), то этот список можно расширить, включив в него:

6. Существует $r>0$ такой, что $c\,S\;\subseteq \,A$ для каждого скаляра $c$ удовлетворяющий $|c|<r.$ Или, говоря более кратко, $B_{r}\;S\,\subseteq \,A.$
7. Существует $r>0$ такой, что $c\,S\;\subseteq \,A$ для каждого скаляра $c$ удовлетворяющий $|c|\leq r.$ Или, говоря более кратко, $B_{\leq r}S\,\subseteq \,A.$
   • Включение $B_{\leq r}S\,\subseteq \,A$ эквивалентно $B_{\leq 1}S\,\subseteq \,{\tfrac {1}{r}}A$ (с $B_{\leq r}=r\,B_{\leq 1}$). Потому что $B_{\leq 1}S\,=\,\operatorname {bal} \,S,$ это можно переписать $\operatorname {bal} \,S\,\subseteq \,{\tfrac {1}{r}}A,$ что дает следующее утверждение.
8. Существует $r>0$ такой, что $\operatorname {bal} \,S\,\subseteq \,r\,A.$
9. Существует $r>0$ такой, что $\operatorname {bal} \,S\,\subseteq \,\operatorname {balcore} (r\,A).$
10. Существует $r>0$ такой, что $\;\;\;\;\;\;S\,\subseteq \,\operatorname {balcore} (r\,A).$
    • Следующие характеристики следуют из приведенных выше и того факта, что для любого скаляра $c,$ сбалансированный корпус ​ $A$ удовлетворяет $\,\operatorname {bal} (c\,A)=c\,\operatorname {bal} A=|c|\,\operatorname {bal} A\,$ и (поскольку $0\in A$) его сбалансированное ядро ​​удовлетворяет $\,\operatorname {balcore} (c\,A)=c\,\operatorname {balcore} A=|c|\,\operatorname {balcore} A.$
11. Существует $r>0$ такой, что $\;\;\,S\,\subseteq \,r\,\operatorname {balcore} A.$ Другими словами, множество поглощается $A$ если он содержится в некотором положительном скалярном кратном сбалансированному ядру $A.$
12. Существует $r>0$ такой, что $r\,S\subseteq \,\;\;\;\;\operatorname {balcore} A.$
13. Существует ненулевое значение скаляр $c\neq 0$ такой, что $c\,S\,\subseteq \,\operatorname {balcore} A.$ Другими словами, сбалансированное ядро $A$ содержит некоторое ненулевое скалярное кратное $S.$
14. Существует скаляр $c$ такой, что $\operatorname {bal} S\,\subseteq \,c\,A.$ Другими словами, $A$ может быть масштабирован, чтобы содержать сбалансированный корпус $S.$
15. Существует скаляр $c$ такой, что $\operatorname {bal} S\,\subseteq \,\operatorname {balcore} (c\,A).$
16. Существует скаляр $c$ такой, что $\;\;\;\;\;\;S\,\subseteq \,\operatorname {balcore} (c\,A).$ Другими словами, $A$ можно масштабировать так, чтобы его сбалансированное ядро ​​содержало $S.$
17. Существует скаляр $c$ такой, что $\;\;\;\;\;\;S\,\subseteq \,c\,\operatorname {balcore} A.$
18. Существует скаляр $c$ такой, что $\operatorname {bal} S\,\subseteq \,c\,\operatorname {balcore} (A).$ Другими словами, сбалансированное ядро $A$ может быть масштабирован, чтобы содержать сбалансированный корпус $S.$
19. Сбалансированное ядро $A$ поглощает сбалансированный корпус $S$ (согласно любому определяющему условию «поглощает», кроме этого).

Если $0\not \in S$ или $0\in A$ то этот список можно расширить, включив в него:

20. $A\cup \{0\}$ поглощает $S$ (согласно любому определяющему условию «поглощает», кроме этого).
    • Другими словами, $A$ может быть заменен на $A\cup \{0\}$ в приведенных выше характеристиках, если $0\not \in S$ (или тривиально, если $0\in A$).

Множество, поглощающее точку

Говорят, что набор поглотить точку $x$ если он поглощает одноэлементный набор $\{x\}.$ Набор $A$ поглощает начало координат тогда и только тогда, когда оно содержит начало координат; то есть тогда и только тогда, когда $0\in A.$ Как подробно описано ниже, множество называется поглощающим в $X$ если он поглощает каждую точку $X.$

Это понятие одного множества, поглощающего другое, также используется в других определениях: Подмножество топологического векторного пространства $X$ называется ограниченным , если оно поглощается каждой окрестностью начала координат. Множество называется рожденоядным, если оно поглощает все ограниченные подмножества.

Первые примеры

Каждое множество поглощает пустое множество, но пустое множество не поглощает непустое множество. Набор синглтонов $\{\mathbf {0} \}$ содержащее начало координат, является единственным одноэлементным подмножеством, которое поглощает само себя.

Предположим, что $X$ равно либо $\mathbb {R} ^{2}$ или $\mathbb {C} .$ Если $A:=S^{1}\cup \{\mathbf {0} \}$ - единичный круг (с центром в начале координат $\mathbf {0}$) вместе с началом координат, тогда $\{\mathbf {0} \}$ это единственное непустое множество, которое $A$ поглощает. Более того, не существует непустого подмножества $X$ который поглощается единичным кругом $S^{1}.$ Напротив, каждая окрестность начала координат поглощает каждое ограниченное подмножество $X$ (и, в частности, поглощает каждое одноэлементное подмножество/точку).

Поглощающий набор

Подмножество $A$ векторного пространства $X$ над полем $\mathbb {K}$ называется поглощающее или поглощающее ) подмножество ( $X$ и, как говорят, поглощая в $X$ если оно удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий (здесь они упорядочены так, что каждое условие является простым следствием предыдущего, начиная с определения):

1. Определение : $A$ поглощает каждую точку $X;$ то есть для каждого $x\in X,$ $A$ поглощает $\{x\}.$
   • Так, в частности, $A$ не может быть поглощающим, если $0\not \in A.$ Каждое поглощающее множество должно содержать начало координат.
2. $A$ поглощает каждое конечное подмножество $X.$
3. Для каждого $x\in X,$ существует настоящий $r>0$ такой, что $x\in cA$ для любого скаляра $c\in \mathbb {K}$ удовлетворяющий $|c|\geq r.$
4. Для каждого $x\in X,$ существует настоящий $r>0$ такой, что $cx\in A$ для любого скаляра $c\in \mathbb {K}$ удовлетворяющий $|c|\leq r.$
5. Для каждого $x\in X,$ существует настоящий $r>0$ такой, что $B_{r}x\subseteq A.$
   • Здесь $B_{r}=\{c\in \mathbb {K} :|c|<r\}$ это открытый шар радиуса $r$ в скалярном поле с центром в начале координат и $B_{r}x=\left\{cx:c\in B_{r}\right\}=\{cx:c\in \mathbb {K} {\text{ and }}|c|<r\}.$
   • Закрытый шар можно использовать вместо открытого.
   • Потому что $B_{r}x\subseteq \mathbb {K} x=\operatorname {span} \{x\},$ включение $B_{r}x\subseteq A$ имеет место тогда и только тогда, когда $B_{r}x\subseteq A\cap \mathbb {K} x.$ Это доказывает следующее утверждение.
6. Для каждого $x\in X,$ существует настоящий $r>0$ такой, что $B_{r}x\subseteq A\cap \mathbb {K} x,$ где $\mathbb {K} x=\operatorname {span} \{x\}.$
   • Подключение к топологии : Если $\mathbb {K} x$ задана его обычная евклидова топология Хаусдорфа , то множество $B_{r}x$ является окрестностью начала координат в $\mathbb {K} x;$ таким образом, существует реальная $r>0$ такой, что $B_{r}x\subseteq A\cap \mathbb {K} x$ тогда и только тогда, когда $A\cap \mathbb {K} x$ является окрестностью начала координат в $\mathbb {K} x.$ Следовательно, $A$ удовлетворяет этому условию тогда и только тогда, когда для каждого $x\in X,$ $A\cap \operatorname {span} \{x\}$ это район $0$ в $\operatorname {span} \{x\}=\mathbb {K} x$ когда $\operatorname {span} \{x\}$ задана евклидова топология. Это дает следующую характеристику.
   • Единственные топологии TVS в одномерном векторном пространстве являются (нехаусдорфовой) тривиальной топологией и хаусдорфовой евклидовой топологией. Каждое одномерное векторное подпространство $X$ имеет форму $\mathbb {K} x=\operatorname {span} \{x\}$ для некоторого ненулевого $x\in X$ и если это одномерное пространство $\mathbb {K} x$ наделен (уникальным) Хаусдорфа Топология вектора , затем карта $\mathbb {K} \to \mathbb {K} x$ определяется $c\mapsto cx$ обязательно является TVS-изоморфизмом (где, как обычно, $\mathbb {K}$ наделен своей стандартной евклидовой топологией, индуцированной евклидовой метрикой ).
7. $A$ содержит начало координат и для каждого одномерного векторного подпространства $Y$ из $X,$ $A\cap Y$ является окрестностью начала координат в $Y$ когда $Y$ задана его уникальная векторная топология Хаусдорфа (т. е. евклидова топология ).
   • Причина, по которой в этой характеристике выделяется евклидова топология, в конечном итоге вытекает из определяющих требований к топологиям TVS. это скалярное умножение $\mathbb {K} \times X\to X$ быть непрерывным, когда скалярное поле $\mathbb {K}$ задана эта (евклидова) топология.
   • $0$-Окрестности поглощают : это условие дает представление о том, почему каждая окрестность начала координат в каждом топологическом векторном пространстве (TVS) обязательно поглощает: если $U$ является окрестностью начала координат в TVS $X$ тогда для любого одномерного векторного подпространства $Y,$ $U\cap Y$ является окрестностью начала координат в $Y$ когда $Y$ наделено топологией подпространства, индуцированной на нем $X.$ Эта топология подпространства всегда является векторной топологией. и потому что $Y$ является 1-мерным, единственными векторными топологиями на нем являются евклидова топология Хаусдорфа и тривиальная топология , которая является подмножеством евклидовой топологии. Поэтому независимо от того, какая из этих векторных топологий включена $Y,$ набор $U\cap Y$ будет окрестностью начала координат в $Y$ относительно его уникальной векторной топологии Хаусдорфа (евклидовой топологии). Таким образом $U$ поглощает.
8. $A$ содержит начало координат и для каждого одномерного векторного подпространства $Y$ из $X,$ $A\cap Y$ поглощает $Y$ (в соответствии с любым определяющим условием «поглощения», отличным от этого).
   • Эта характеристика показывает, что свойство поглощать $X$ зависит только от того, как $A$ ведет себя по отношению к 1 (или 0)-мерным векторным подпространствам $X.$ Напротив, если конечномерное векторное подпространство $Z$ из $X$ имеет размерность $n>1$ и наделен уникальной топологией Хаусдорфа TVS, то $A\cap Z$ будучи поглощенным $Z$ уже недостаточно, чтобы гарантировать, что $A\cap Z$ является окрестностью начала координат в $Z$ (хотя это все равно будет необходимым условием). Для того чтобы это произошло, достаточно $A\cap Z$ быть поглощающим множеством, которое также является выпуклым, уравновешенным и замкнутым в $Z$ (такое множество называется бочкой и будет окрестностью начала координат в $Z$ поскольку каждое конечномерное евклидово пространство, включая $Z,$ это бочкообразное пространство ).

Если $\mathbb {K} =\mathbb {R}$ то к этому списку можно добавить:

9. Алгебраическая внутренность ​ $A$ содержит начало координат (т. $0\in {}^{i}A$).

Если $A$ сбалансирован , то к этому списку можно добавить:

10. Для каждого $x\in X,$ существует скаляр $c\neq 0$ такой, что $x\in cA$ (или, что то же самое, такое, что $cx\in A$).
11. Для каждого $x\in X,$ существует скаляр $c$ такой, что $x\in cA.$

Если $A$ является выпуклым или сбалансированным , то к этому списку можно добавить:

12. Для каждого $x\in X,$ существует положительная реальность $r>0$ такой, что $rx\in A.$
    • Доказательство того, что сбалансированное множество $A$ удовлетворение этого условия обязательно поглощает $X$ следует непосредственно из условия (10) выше и того факта, что $cA=|c|A$ для всех скаляров $c\neq 0$ (где $r:=|c|>0$ это реально).
    • Доказательство того, что выпуклое множество $A$ удовлетворение этого условия обязательно поглощает $X$ менее тривиально (но не сложно). Подробное доказательство приведено в этой сноске. и краткое изложение приведено ниже.
      • Краткое изложение доказательства : По предположению, для любого ненулевого $0\neq y\in X,$ можно выбрать позитивный реальный $r>0$ и $R>0$ такой, что $Ry\in A$ и $r(-y)\in A$ так что выпуклое множество $A\cap \mathbb {R} y$ содержит открытый подинтервал $(-r,R)y\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\{ty:-r<t<R,t\in \mathbb {R} \},$ который содержит начало координат ( $A\cap \mathbb {R} y$ называется интервалом, поскольку мы отождествляем $\mathbb {R} y$ с $\mathbb {R}$ и каждое непустое выпуклое подмножество $\mathbb {R}$ это интервал). Давать $\mathbb {K} y$ свою уникальную векторную топологию Хаусдорфа , поэтому осталось показать, что $A\cap \mathbb {K} y$ является окрестностью начала координат в $\mathbb {K} y.$ Если $\mathbb {K} =\mathbb {R}$ тогда мы закончили, поэтому предположим, что $\mathbb {K} =\mathbb {C} .$ Набор $S\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,(A\cap \mathbb {R} y)\,\cup \,(A\cap \mathbb {R} (iy))\,\subseteq \,A\cap (\mathbb {C} y)$ представляет собой объединение двух интервалов, каждый из которых содержит открытый подинтервал, содержащий начало координат; причем пересечение этих двух интервалов и есть начало координат. Таким образом, четырехугольной формы выпуклая оболочка $S,$ который содержится в выпуклом множестве $A\cap \mathbb {C} y,$ явно содержит открытый шар вокруг начала координат. $\blacksquare$
13. Для каждого $x\in X,$ существует положительная реальность $r>0$ такой, что $x\in rA.$
    • Это условие эквивалентно: каждый $x\in X$ принадлежит к множеству ${\textstyle \bigcup \limits _{0<r<\infty }}rA=\{ra:0<r<\infty ,a\in A\}=(0,\infty )A.$ Это произойдет тогда и только тогда, когда $X=(0,\infty )A,$ что дает следующую характеристику.
14. $(0,\infty )A=X.$
    • Можно показать, что для любого подмножества $T$ из $X,$ $(0,\infty )T=X$ тогда и только тогда, когда $T\cap (0,\infty )x\neq \varnothing$ для каждого $x\in X,$ где $(0,\infty )x\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\{rx:0<r<\infty \}.$
15. Для каждого $x\in X,$ $A\cap (0,\infty )x\neq \varnothing .$

Если $0\in A$ (что необходимо для $A$ быть поглощающим), то достаточно проверить любое из приведенных выше условий для всех ненулевых $x\in X,$ а не все $x\in X.$

Примеры и достаточные условия

Чтобы один набор поглотил другой

Позволять $F:X\to Y$ — линейное отображение векторных пространств и пусть $B\subseteq X$ и $C\subseteq Y$ быть сбалансированными наборами. Затем $C$ поглощает $F(B)$ тогда и только тогда, когда $F^{-1}(C)$ поглощает $B.$

Если набор $A$ поглощает еще один набор $B$ тогда любой надмножество $A$ также поглощает $B.$ Набор $A$ поглощает начало координат тогда и только тогда, когда начало координат является элементом $A.$

Набор $A$ поглощает конечное объединение $B_{1}\cup \cdots \cup B_{n}$ множеств тогда и только тогда, когда оно поглощает индивидуальность каждого множества (т. е. тогда и только тогда, когда $A$ поглощает $B_{i}$ для каждого $i=1,\ldots ,n$). В частности, набор $A$ представляет собой поглощающее подмножество $X$ тогда и только тогда, когда он поглощает каждое конечное подмножество $X.$

Чтобы набор был захватывающим

Единичный шар любого нормированного векторного пространства (или полунормированного векторного пространства ) является поглощающим. В более общем смысле, если $X$ является топологическим векторным пространством (TVS), то любая окрестность начала координат в $X$ поглощает $X.$ Этот факт является одним из основных мотивов для определения свойства «поглощающего в $X.$"

Каждый суперсет поглощающего набора является поглощающим. Следовательно, объединение любого семейства (одного или нескольких) поглощающих множеств является поглощающим. Пересечение конечного числа поглощающих подмножеств снова является поглощающим подмножеством. Однако открытые шары $(-r_{n},-r_{n})$ радиуса $r_{n}=1,1/2,1/3,\ldots$ все поглощают $X:=\mathbb {R}$ хотя их пересечение $\bigcap _{n\in \mathbb {N} }(-1/n,1/n)=\{0\}$ не впитывает.

Если $D\neq \varnothing$ является диском (выпуклое и сбалансированное подмножество), тогда $\operatorname {span} D={\textstyle \bigcup \limits _{n=1}^{\infty }}nD;$ и так в частности диск $D\neq \varnothing$ всегда является поглощающим подмножеством $\operatorname {span} D.$ Таким образом, если $D$ это диск в $X,$ затем $D$ поглощает $X$ тогда и только тогда, когда $\operatorname {span} D=X.$ Этот вывод не гарантирован, если множество $D\neq \varnothing$ сбалансирован, но не выпуклый; например, профсоюз $D$ принадлежащий $x$ и $y$ оси в $X=\mathbb {R} ^{2}$ представляет собой невыпуклое сбалансированное множество, не поглощающее $\operatorname {span} D=\mathbb {R} ^{2}.$

Образ поглощающего множества под действием сюръективного линейного оператора снова является поглощающим. Прообраз поглощающего подмножества (кообласти) под действием линейного оператора снова является поглощающим (в области определения). Если $A$ поглощающий, то то же самое справедливо и для симметричного множества ${\textstyle \bigcap \limits _{|u|=1}}uA\subseteq A.$

Вспомогательные нормированные пространства

Если $W$ выпуклая и поглощающая $X$ тогда симметричное множество $D:={\textstyle \bigcap \limits _{|u|=1}}uW$ будет выпуклым и сбалансированным (также известным как абсолютно выпуклое множество или диск ), а также будет поглощать $X.$ Это гарантирует, что функционал Минковского $p_{D}:X\to \mathbb {R}$ из $D$ будет полунормой ​ $X,$ тем самым делая $\left(X,p_{D}\right)$ в полунормированное пространство , несущее свою каноническую псевдометризуемую топологию. Набор скалярных кратных $rD$ как $r$ колеблется в пределах $\left\{{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\ldots \right\}$ (или над любым другим набором ненулевых скаляров, имеющих $0$ как предельная точка) образует базис окрестности поглощающих дисков в начале координат этой локально выпуклой топологии. Если $X$ является топологическим векторным пространством , и если это выпуклое поглощающее подмножество $W$ также является ограниченным подмножеством $X,$ то все это будет справедливо и для поглощающего диска $D:={\textstyle \bigcap \limits _{|u|=1}}uW;$ если вдобавок $D$ не содержит нетривиального векторного подпространства, то $p_{D}$ будет нормой и $\left(X,p_{D}\right)$ образует так называемое вспомогательное нормированное пространство . Если это нормированное пространство является банаховым, то $D$ называется банаховым диском .

Характеристики

См. Также: Топологическое векторное пространство § Свойства.

Каждое поглощающее множество содержит начало координат. Если $D$ представляет собой поглощающий диск в векторном пространстве $X$ тогда существует поглощающий диск $E$ в $X$ такой, что $E+E\subseteq D.$

Если $A$ представляет собой поглощающее подмножество $X$ затем $X={\textstyle \bigcup \limits _{n=1}^{\infty }}nA$ и в более общем плане, $X={\textstyle \bigcup \limits _{n=1}^{\infty }}s_{n}A$ для любой последовательности скаляров $s_{1},s_{2},\ldots$ такой, что $\left|s_{n}\right|\to \infty .$ Следовательно, если топологическое векторное пространство $X$ является нескудным подмножеством самого себя (или, что то же самое, для TVS, если это пространство Бэра ), и если $A$ представляет собой закрытое поглощающее подмножество $X$ затем $A$ обязательно содержит непустое открытое подмножество $X$ (другими словами, $A$топологическая внутренность не будет пустой), что гарантирует, что $A-A$ является окрестностью начала координат в $X.$

Каждое поглощающее множество является полным множеством , а это означает, что каждое поглощающее подпространство плотно .

См. также

• Алгебраический интерьер - Обобщение топологического интерьера.
• Абсолютно выпуклый набор – выпуклый и сбалансированный набор. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Сбалансированный набор - Конструкт в функциональном анализе
• Набор Bornivorous - набор, который может поглотить любое ограниченное подмножество.
• Ограниченное множество (топологическое векторное пространство) - Обобщение ограниченности
• Выпуклое множество - в геометрии множество, пересечение которого с каждой линией представляет собой один отрезок линии.
• Локально выпуклое топологическое векторное пространство - векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.
• Радиальный набор
• Звездная область - свойство множеств точек в евклидовых пространствах.
• Симметричное множество - Свойство групповых подмножеств (математика)
• Топологическое векторное пространство - векторное пространство с понятием близости.

Примечания

Доказательства

Ссылки

• Бербериан, Стерлинг К. (1974). Лекции по функциональному анализу и теории операторов . Тексты для аспирантов по математике. Том. 15. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  978-0-387-90081-0 . ОСЛК   878109401 .
• Бурбаки, Николя (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Элементы математики . Перевод Эгглстона, Х.Г.; Мадан, Южный Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  3-540-13627-4 . OCLC   17499190 .
• Николя, Бурбаки (2003). Топологические векторные пространства Глава 1-5 (английский перевод) . Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. И.7. ISBN  3-540-42338-9 .
• Конвей, Джон (1990). Курс функционального анализа . Тексты для аспирантов по математике . Том. 96 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-0-387-97245-9 . OCLC   21195908 .
• Дистель, Джо (2008). Метрическая теория тензорных произведений: новый взгляд на резюме Гротендика . Том. 16. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN  9781470424831 . OCLC   185095773 .
• Динин, Шон (1981). Комплексный анализ в локально выпуклых пространствах . Математические исследования Северной Голландии. Том. 57. Амстердам, Нью-Йорк, Нью-Йорк: Паб Северной Голландии. Co., научный паб Elsevier. компании ISBN  978-0-08-087168-4 . OCLC   16549589 .
• Данфорд, Нельсон ; Шварц, Джейкоб Т. (1988). Линейные операторы . Чистая и прикладная математика. Том. 1. Нью-Йорк: Wiley-Interscience . ISBN  978-0-471-60848-6 . OCLC   18412261 .
• Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-68143-6 . ОСЛК   30593138 .
• Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод Чалджуба, Орландо. Нью-Йорк: Издательство Gordon and Breach Science. ISBN  978-0-677-30020-7 . OCLC   886098 .
• Хогбе-Нленд, Анри (1977). Борнологии и функциональный анализ: вводный курс теории двойственности. Топология-борнология и ее использование в функциональном анализе . Математические исследования Северной Голландии. Том. 26. Амстердам Нью-Йорк Нью-Йорк: Северная Голландия. ISBN  978-0-08-087137-0 . МР   0500064 . OCLC   316549583 .
• Хогбе-Нленд, Анри ; Москателли, В.Б. (1981). Ядерные и ядерные пространства: Вводный курс по ядерным и ядерным пространствам в свете двойственности «топология-борнология» . Математические исследования Северной Голландии. Том. 52. Амстердам, Нью-Йорк, Нью-Йорк: Северная Голландия. ISBN  978-0-08-087163-9 . OCLC   316564345 .
• Хусейн, Такдир; Халилулла, С.М. (1978). Баррельность в топологических и упорядоченных векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том. 692. Берлин, Нью-Йорк, Гейдельберг: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-09096-0 . OCLC   4493665 .
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN  978-3-519-02224-4 . ОСЛК   8210342 .
• Келлер, Ганс (1974). Дифференциальное исчисление в локально выпуклых пространствах . Конспект лекций по математике . Том. 417. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-06962-1 . ОСЛК   1103033 .
• Халилулла, С.М. (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том. 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-11565-6 . OCLC   8588370 .
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN  978-3-519-02224-4 . ОСЛК   8210342 .
• Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I. Основные принципы математических наук. Том 159. Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-642-64988-2 . МР   0248498 . OCLC   840293704 .
• Кете, Готфрид (1979). Топологические векторные пространства II . Основные принципы математических наук. Том 237. Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-0-387-90400-9 . OCLC   180577972 .
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Питч, Альбрехт (1979). Ядерные локально выпуклые пространства . Результаты математики и ее пограничные области. Том 66 (Второе изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer Verlag . ISBN  978-0-387-05644-9 . OCLC   539541 .
• Робертсон, Алекс П.; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Кембриджские трактаты по математике . Том. 53. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-29882-7 . OCLC   589250 .
• Робертсон, AP; У. Дж. Робертсон (1964). Топологические векторные пространства . Кембриджские трактаты по математике. Том. 53. Издательство Кембриджского университета . п. 4.
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN  978-0-07-054236-5 . OCLC   21163277 .
• Томпсон, Энтони К. (1996). Геометрия Минковского . Энциклопедия математики и ее приложений. Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-40472-Х .
• Шефер, Гельмут Х. (1971). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 3. Нью-Йорк: Спрингер-Верлаг. п. 11. ISBN  0-387-98726-6 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN  978-0-12-622760-4 . OCLC   175294365 .
• Шефер, Х.Х. (1999). Топологические векторные пространства . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN  978-0-8247-8643-4 . ОСЛК   24909067 .
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .
• Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc.  978-0-486-49353-4 . OCLC   849801114 .
• Вонг, Яу-Чуэн (1979). Пространства Шварца, ядерные пространства и тензорные произведения . Конспект лекций по математике . Том. 726. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-09513-2 . OCLC   5126158 .