Обратный предел

В математике обратный предел (также называемый проективным пределом ) — это конструкция, позволяющая «склеивать» несколько связанных объектов , причем точный процесс склеивания задается морфизмами между объектами. Таким образом, обратные пределы могут быть определены в любой категории, хотя их существование зависит от рассматриваемой категории. Они представляют собой частный случай понятия предела в теории категорий.

Работая в двойной категории , то есть меняя местами стрелки, обратный предел становится прямым пределом или индуктивным пределом , а предел становится копределом .

Формальное определение

Алгебраические объекты

Начнем с определения обратной системы (или проективной системы) групп и гомоморфизмов . Позволять $(I,\leq )$ быть направленным посетом (не все авторы требуют, чтобы я был направленным). Пусть ( A _i ) _{i ∈ I} групп — семейство и предположим, что у нас есть семейство гомоморфизмов $f_{ij}:A_{j}\to A_{i}$ для всех $i\leq j$ (обратите внимание на порядок) со следующими свойствами:

$f_{ii}$ это личность на $A_{i}$ ,
$f_{ik}=f_{ij}\circ f_{jk}\quad {\text{for all }}i\leq j\leq k.$

Тогда пара $((A_{i})_{i\in I},(f_{ij})_{i\leq j\in I})$ называется обратной системой групп и морфизмов над $I$ и морфизмы $f_{ij}$ называются переходными морфизмами системы.

Определим обратный предел обратной системы $((A_{i})_{i\in I},(f_{ij})_{i\leq j\in I})$ особую подгруппу прямого продукта как $A_{i}$ х:

A=\varprojlim _{i\in I}{A_{i}}=\left\{\left.{\vec {a}}\in \prod _{i\in I}A_{i}\;\right|\;a_{i}=f_{ij}(a_{j}){\text{ for all }}i\leq j{\text{ in }}I\right\}.

Обратный предел $A$ поставляется с естественными проекциями $π i : A \to A i$ , которые выбирают $i$ -й компонент прямого произведения для каждого $i$ в $I$ . Обратный предел и естественные проекции удовлетворяют универсальному свойству, описанному в следующем разделе.

Эту же конструкцию можно осуществить, если $A_{i}$ это наборы , ^[1] полугруппы , ^[1] топологические пространства , ^[1] кольца , модули (над фиксированным кольцом), алгебры (над фиксированным кольцом) и т. д., а гомоморфизмы — морфизмы соответствующей категории . Обратный предел также будет принадлежать к этой категории.

Общее определение

Обратный предел может быть определен абстрактно в произвольной категории посредством универсального свойства . Позволять ${\textstyle (X_{i},f_{ij})}$ быть обратной системой объектов и морфизмов в категории C (то же определение, что и выше). Обратный предел этой системы — это объект X в C вместе с морфизмами $π$ _i : X → X _i (называемыми проекциями ), удовлетворяющими $π$ _i = $f_{ij}$ ∘ $π$ _j для всех i ≤ j . Пара ( X , $πi$ _Y ) должна быть универсальной в том смысле, что для любой другой такой пары ( , ψi ₎ существует единственный морфизм u : Y → X такой, что диаграмма

коммутирует для всех i ≤ j . Обратный предел часто обозначают

X=\varprojlim X_{i}

с обратной системой ${\textstyle (X_{i},f_{ij})}$ быть понятым.

В некоторых категориях обратный предел некоторых обратных систем не существует. Однако если это так, то оно уникально в сильном смысле: для любых двух обратных пределов X и X' обратной системы существует единственный изоморфизм X ′ → X, коммутирующий с отображениями проекций.

Обратные системы и обратные пределы в категории С допускают альтернативное описание в терминах функторов . Любое частично упорядоченное множество I можно рассматривать как небольшую категорию , морфизмы которой состоят из стрелок i → j тогда и только тогда, когда i ≤ j . Тогда обратная система — это просто функтор I → C. контравариантный Позволять $C^{I^{\mathrm {op} }}$ — категория этих функторов (с естественными преобразованиями в качестве морфизмов). Объект X из C можно рассматривать как тривиальную обратную систему, где все объекты равны X стрелки являются идентификаторами X. , а все Это определяет «тривиальный функтор» из C в $C^{I^{\mathrm {op} }}.$ Обратный предел, если он существует, определяется как правый сопряженный к этому тривиальному функтору.

Примеры

Кольцо p -адических целых чисел является обратным пределом колец $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ (см. модульную арифметику ) с набором индексов, представляющим собой натуральные числа обычного порядка, а морфизмы «принимают остаток». То есть рассматриваются последовательности целых чисел $(n_{1},n_{2},\dots )$ так, что каждый элемент последовательности «проецируется» вниз на предыдущие, а именно, что $n_{i}\equiv n_{j}{\mbox{ mod }}p^{i}$ в любое время $i<j.$ естественная топология p Здесь подразумевается -адических целых чисел, а именно топология произведения с цилиндрическими множествами в качестве открытых множеств.
p . -адический соленоид является обратным пределом топологических групп $\mathbb {R} /p^{n}\mathbb {Z}$ с набором индексов, представляющим собой натуральные числа обычного порядка, а морфизмы «принимают остаток». То есть рассматриваются последовательности действительных чисел. $(x_{1},x_{2},\dots )$ так, что каждый элемент последовательности «проецируется» вниз на предыдущие, а именно, что $x_{i}\equiv x_{j}{\mbox{ mod }}p^{i}$ в любое время $i<j.$ Его элементы имеют именно форму $n+r$ , где $n$ является p-адическим целым числом, и $r\in [0,1)$ это «остаток».
Кольцо $\textstyle R[[t]]$ формальных степенных рядов над коммутативным кольцом R можно рассматривать как обратный предел колец $\textstyle R[t]/t^{n}R[t]$ , индексированные натуральными числами в обычном порядке, с морфизмами из $\textstyle R[t]/t^{n+j}R[t]$ к $\textstyle R[t]/t^{n}R[t]$ заданной естественной проекцией.
Проконечные группы определяются как обратные пределы (дискретных) конечных групп.
Пусть множество индексов I обратной системы ( X _i , $f_{ij}$ ) имеют наибольший элемент m . Тогда естественная проекция $π$ _m : X → X _m является изоморфизмом.
В категории множеств каждая обратная система имеет обратный предел, который можно элементарно построить как подмножество произведения множеств, образующих обратную систему. Обратный предел любой обратной системы непустых конечных множеств непуст. Это обобщение леммы Кенига в теории графов, и его можно доказать с помощью теоремы Тихонова , рассматривая конечные множества как компактные дискретные пространства, а затем применяя характеристику компактности свойством конечного пересечения .
В категории топологических пространств каждая обратная система имеет обратный предел. Он создается путем размещения исходной топологии на базовом теоретико-множественном обратном пределе. Это известно как предельная топология .
- Множество бесконечных струн является обратным пределом множества конечных струн и, таким образом, наделено предельной топологией. Поскольку исходные пространства дискретны , предельное пространство полностью несвязно . Это один из способов реализации p -адических чисел и множества Кантора (как бесконечных строк).

Производные функторы обратного предела

Для абелевой категории C обратный предел функтора

\varprojlim :C^{I}\rightarrow C

остается точным . Если I упорядочен (а не просто частично упорядочен) и счетен , а C — категория Ab абелевых групп, условие Миттаг-Леффлера — это условие на морфизмы перехода f _ij , которое обеспечивает точность $\varprojlim$ . В частности, Эйленберг построил функтор

\varprojlim {}^{1}:\operatorname {Ab} ^{I}\rightarrow \operatorname {Ab}

(произносится как «lim one») такой, что если ( A _i , f _ij ), ( B _i , g _ij ) и ( C _i , h _ij ) — три обратные системы абелевых групп, и

0\rightarrow A_{i}\rightarrow B_{i}\rightarrow C_{i}\rightarrow 0

— короткая точная последовательность обратных систем, то

0\rightarrow \varprojlim A_{i}\rightarrow \varprojlim B_{i}\rightarrow \varprojlim C_{i}\rightarrow \varprojlim {}^{1}A_{i}

является точной последовательностью в Ab .

Условие Миттаг-Леффлера

Если образы морфизмов обратной системы абелевых групп ( A _i , f _ij ) стационарны , то есть для каждого k существует j ≥ k такое, что для всех i ≥ j : $f_{kj}(A_{j})=f_{ki}(A_{i})$ говорят, что система удовлетворяет условию Миттаг-Леффлера .

Название «Миттаг-Леффлер» этому условию было дано Бурбаки в главе о равномерных структурах за аналогичный результат об обратных пределах полных равномерных Хаусдорфовых пространств. Миттаг-Леффлер использовал аналогичный аргумент в доказательстве теоремы Миттаг-Леффлера .

Следующие ситуации являются примерами выполнения условия Миттаг-Леффлера:

система, в которой морфизмы f _ij сюръективны
система конечномерных векторных пространств или конечных абелевых групп, или модулей конечной длины, или артиновых модулей.

Пример, где $\varprojlim {}^{1}$ ненулевое значение получается, если принять I за неотрицательные целые числа , полагая A _i = p ^яZ , B _i знак равно Z и C _i знак равно B _i / A _i знак равно Z / p ^яЗ. Затем

\varprojlim {}^{1}A_{i}=\mathbf {Z} _{p}/\mathbf {Z}

где Z _p обозначает p-адические целые числа .

Дальнейшие результаты

В более общем смысле, если C — произвольная абелева категория, имеющая достаточно инъектив тоже. , то и C ^я, и таким образом могут быть определены правые производные функторы обратного предельного функтора. й n- правый производный функтор обозначается

R^{n}\varprojlim :C^{I}\rightarrow C.

В случае, когда C удовлетворяет Гротендика аксиоме (AB4*) , Ян-Эрик Роос обобщил функтор lim ¹ на Абе ^я к серии функторов lim ^н такой, что

\varprojlim {}^{n}\cong R^{n}\varprojlim .

В течение почти 40 лет считалось, что Роос доказал (в книге « Sur les fonteurs dérivés de lim. Applications »), что lim ¹ A _i = 0 для ( A _i , f _ij ) обратной системы с сюръективными переходными морфизмами, а I - множества неотрицательных целых чисел (такие инверсные системы часто называют « последовательностями Миттаг-Леффлера »). Однако в 2002 году Амнон Нееман и Пьер Делинь построили пример такой системы в категории, удовлетворяющей (AB4) (в дополнение к (AB4*)) с lim ¹ A _i ≠ 0. С тех пор Роос показал (в «Возвращение к производным функторам обратных пределов»), что его результат верен, если C имеет набор образующих (в дополнение к удовлетворению (AB3) и (AB4 *)).

Барри Митчелл показал (в «Когомологическом измерении направленного множества»), что если I имеет мощность $\aleph _{d}$ ( d -й бесконечный кардинал ), то R ^нlim равен нулю для всех n ≥ d + 2. Это относится к I -индексированным диаграммам в категории R -модулей, где R - коммутативное кольцо; это не обязательно верно в произвольной абелевой категории (примеры абелевых категорий, в которых lim ^н, на диаграммах, индексированных счетным множеством, отличен от нуля при n > 1).

Связанные понятия и обобщения

Категориальным двойником обратного предела является прямой предел (или индуктивный предел). Более общие понятия — это пределы и копределы теории категорий. Терминология несколько сбивает с толку: обратные пределы — это класс пределов, а прямые пределы — это класс копределов.

Примечания

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Джон Роудс и Бенджамин Стейнберг. q-теория конечных полугрупп. п. 133. ISBN 978-0-387-09780-0 .

Ссылки

Бурбаки, Николя (1989), Алгебра I , Springer, ISBN 978-3-540-64243-5 , OCLC 40551484
Бурбаки, Николя (1989), Общая топология: главы 1–4 , Springer, ISBN 978-3-540-64241-1 , OCLC 40551485
Мак Лейн, Сондерс (сентябрь 1998 г.), Категории для работающего математика (2-е изд.), Springer, ISBN 0-387-98403-8
Митчелл, Барри (1972), «Кольца с несколькими объектами», Успехи в математике , 8 : 1–161, doi : 10.1016/0001-8708(72)90002-3 , MR 0294454
Ниман, Амнон (2002), «Контрпример к «теореме» 1961 года в гомологической алгебре (с приложением Пьера Делиня)», Inventiones Mathematicae , 148 (2): 397–420, doi : 10.1007/s002220100197 , MR 1906154
Роос, Ян-Эрик (1961), «О функторах, полученных из предельных приложений», CR Acad. наук. Париж , 252 : 3702–3704, MR 0132091.
Роос, Ян-Эрик (2006), «Пересмотр производных функторов обратных пределов», J. London Math. Соц. , Серия 2, 73 (1): 65–83, doi : 10.1112/S0024610705022416 , MR 2197371
Раздел 3.5 Вейбель, Чарльз А. (1994). Введение в гомологическую алгебру . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 38. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-55987-4 . МР 1269324 . OCLC 36131259 .

[same-construction-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Джон Роудс и Бенджамин Стейнберг. q-теория конечных полугрупп. п. 133. ISBN 978-0-387-09780-0 .

[1]