Гомеоморфизм

Часто повторяемая математическая шутка заключается в том, что топологи не могут отличить кофейную кружку от пончика . ^[1] поскольку достаточно гибкому пончику можно было придать форму кофейной кружки , создав ямочку и постепенно увеличивая ее, сохраняя при этом отверстие для пончика в ручке кружки. Это показывает, что кофейная кружка и пончик ( тор ) гомеоморфны.

В математике и, более конкретно, в топологии , гомеоморфизм ( от греческих корней, означающих «подобную форму», названный Анри Пуанкаре ), ^[2]^[3] также называемый топологическим изоморфизмом или бинепрерывной функцией , является биективной и непрерывной функцией между топологическими пространствами , которая имеет непрерывную обратную функцию . Гомеоморфизмы — это изоморфизмы в категории топологических пространств , то есть отображения , сохраняющие все топологические свойства данного пространства. Два пространства, между которыми существует гомеоморфизм, называются гомеоморфными и с топологической точки зрения они одинаковы.

Грубо говоря, топологическое пространство — это геометрический объект, а гомеоморфизм возникает в результате непрерывной деформации объекта в новую форму. Таким образом, квадрат и круг гомеоморфны друг другу, а сфера и тор — нет. Однако это описание может ввести в заблуждение. Некоторые непрерывные деформации не приводят к гомеоморфизмам, например деформация прямой в точку. Некоторые гомеоморфизмы не являются результатом непрерывных деформаций, например гомеоморфизм между узлом-трилистником и кругом. Гомотопия и изотопия являются точными определениями неформальной концепции непрерывной деформации .

Определение

Функция $f:X\to Y$ между двумя топологическими пространствами является гомеоморфизмом , если он обладает следующими свойствами:

$f$ является биекцией ( взаимно и на ),
$f$ является непрерывным ,
функция обратная $f^{-1}$ является непрерывным ( $f$ является открытым отображением ).

Гомеоморфизм иногда называют двояконепрерывной функцией. Если такая функция существует, $X$ и $Y$ гомеоморфны . Самогомеоморфизм — это гомеоморфизм топологического пространства на себя. Быть «гомеоморфным» — это отношение эквивалентности в топологических пространствах. Его классы эквивалентности называются классами гомеоморфизма .

Третье требование о том, что ${\textstyle f^{-1}}$ быть непрерывным , это важно. Рассмотрим, например, функцию ${\textstyle f:[0,2\pi )\to S^{1}}$ ( единичный круг в ⁠ $\mathbb {R} ^{2}$ ⁠ ) определяется ${\textstyle f(\varphi )=(\cos \varphi ,\sin \varphi ).}$ Эта функция биективна и непрерывна, но не является гомеоморфизмом ( ${\textstyle S^{1}}$ компактен , но ${\textstyle [0,2\pi )}$ нет). Функция ${\textstyle f^{-1}}$ не является непрерывным в точке ${\textstyle (1,0),}$ потому что, хотя ${\textstyle f^{-1}}$ карты ${\textstyle (1,0)}$ к ${\textstyle 0,}$ любая окрестность этой точки также включает точки, которые функция отображает близко к ${\textstyle 2\pi ,}$ но точки, которые он отображает в числа между ними, лежат за пределами окрестности. ^[4]

Гомеоморфизмы — это изоморфизмы в категории топологических пространств . Таким образом, композиция двух гомеоморфизмов снова является гомеоморфизмом, а множество всех самогомеоморфизмов ${\textstyle X\to X}$ образует группу , называемую группой гомеоморфизмов , X часто обозначаемую ${\textstyle {\text{Homeo}}(X).}$ Этой группе можно задать топологию, например компактно-открытую топологию , которая при определенных предположениях делает ее топологической группой . ^[5]

В некоторых контекстах существуют гомеоморфные объекты, которые не могут непрерывно деформироваться от одного к другому. Гомотопия и изотопия — это отношения эквивалентности, которые были введены для решения таких ситуаций.

Аналогично, как обычно в теории категорий, для двух гомеоморфных пространств пространство гомеоморфизмов между ними ${\textstyle {\text{Homeo}}(X,Y),}$ является торсором для групп гомеоморфизмов ${\textstyle {\text{Homeo}}(X)}$ и ${\textstyle {\text{Homeo}}(Y),}$ и, учитывая определенный гомеоморфизм между $X$ и $Y,$ все три набора идентифицированы. ^{[ нужны разъяснения ]}

Примеры

Открытый интервал ${\textstyle (a,b)}$ гомеоморфно действительным числам ⁠ $\mathbb {R}$ ⁠ для любого ${\textstyle a<b.}$ (В этом случае бинепрерывное прямое отображение задается формулой ${\textstyle f(x)={\frac {1}{a-x}}+{\frac {1}{b-x}}}$ в то время как другие подобные отображения задаются масштабированными и преобразованными версиями функций $tan$ или $arg tanh$ ).
Агрегат 2- дисковый ${\textstyle D^{2}}$ и единичный квадрат в ⁠ $\mathbb {R} ^{2}$ ⁠ гомеоморфны; поскольку единичный диск можно деформировать в единичный квадрат. Пример двояконепрерывного отображения квадрата на диск в полярных координатах : $(\rho ,\theta )\mapsto \left({\tfrac {\rho }{\max(|\cos \theta |,|\sin \theta |)}},\theta \right).$
График функции дифференцируемой . гомеоморфен области определения функции
Дифференцируемая параметризация кривой — это гомеоморфизм между областью параметризации и кривой.
Карта — многообразия это гомеоморфизм между открытым подмножеством многообразия и открытым подмножеством евклидова пространства .
Стереографическая проекция - это гомеоморфизм между единичной сферой в ⁠ $\mathbb {R} ^{3}$ ⁠ с удаленной одной точкой и набором всех точек в ⁠ $\mathbb {R} ^{2}$ ⁠ (двумерная плоскость ).
Если $G$ — топологическая группа , ее отображение инверсии $x\mapsto x^{-1}$ является гомеоморфизмом. Также для любого $x\in G,$ левый перевод $y\mapsto xy,$ правильный перевод $y\mapsto yx,$ и внутренний автоморфизм $y\mapsto xyx^{-1}$ являются гомеоморфизмами.

Контрпримеры

⁠ $\mathbb {R} ^{m}$ ⁠ и ⁠ $\mathbb {R} ^{n}$ ⁠ не гомеоморфны при $m \neq n .$
Евклидова вещественная линия не гомеоморфна единичной окружности как подпространство ⁠. $\mathbb {R} ^{2}$ ⁠ , поскольку единичная окружность компактна как подпространство евклидова ⁠ $\mathbb {R} ^{2}$ ⁠ но настоящая линия не компактна.
Одномерные интервалы $[0,1]$ и $(0,1)$ не гомеоморфны, поскольку один компактен, а другой нет.

Характеристики

Два гомеоморфных пространства обладают одинаковыми топологическими свойствами . Например, если один из них компактен , то и другой компактен; если один из них подключен , то и другой тоже; если один из них Хаусдорф , то и другой тоже; их гомотопии и группы гомологии будут совпадать. Однако обратите внимание, что это не распространяется на свойства, определенные с помощью метрики ; существуют метрические пространства, которые гомеоморфны, даже если одно из них полно , а другое — нет.
Гомеоморфизм является одновременно открытым и замкнутым отображением ; то есть он отображает открытые множества в открытые множества, а закрытые множества в закрытые.
Каждый самогомеоморфизм в $S^{1}$ может быть продолжено до самогомеоморфизма всего круга $D^{2}$ ( Трюк Александра ).

Неформальное обсуждение

Интуитивный критерий растяжения, изгиба, разрезания и склеивания требует определенной практики для правильного применения - из приведенного выше описания может быть неочевидно, что, например, деформация отрезка прямой в точку недопустима. Таким образом, важно понимать, что именно формальное определение, данное выше, имеет значение. В этом случае, например, отрезок имеет бесконечное число точек и поэтому не может быть помещен в биекцию с множеством, содержащим только конечное число точек, включая одну точку.

Такая характеристика гомеоморфизма часто приводит к путанице с понятием гомотопии , которая на самом деле определяется как непрерывная деформация, но от одной функции к другой, а не от одного пространства к другому. В случае гомеоморфизма представление о непрерывной деформации — это мысленный инструмент, позволяющий отслеживать, какие точки пространства X соответствуют каким точкам Y — за ними нужно просто следовать по мере X. деформации В случае гомотопии непрерывная деформация от одного отображения к другому имеет существенное значение, и она также менее ограничительна, поскольку ни одно из задействованных отображений не обязательно должно быть взаимно однозначным или находящимся. Гомотопия действительно приводит к отношению на пространствах: гомотопической эквивалентности .

Есть название для вида деформации, связанной с визуализацией гомеоморфизма. Это (за исключением случаев, когда требуются разрезание и переклейка) изотопия между тождественным отображением на X и гомеоморфизмом из X в Y .

См. также

Локальный гомеоморфизм - математическая функция, обратимая вблизи каждой точки.
Диффеоморфизм - изоморфизм дифференцируемых многообразий.
Равномерный изоморфизм . Равномерно непрерывный гомеоморфизм - это изоморфизм между равномерными пространствами.
Изометрический изоморфизм - математическое преобразование, сохраняющее расстояние. представляют собой изоморфизм между метрическими пространствами.
Группа гомеоморфизмов
Растягивающийся поворот
Гомеоморфизм (теория графов) - концепция теории графов (тесно связанная с подразделением графов).
Гомотопия # Изотопия - Непрерывная деформация между двумя непрерывными функциями.
Группа классов отображения - группа изотопических классов топологической группы автоморфизмов.
Гипотеза Пуанкаре - Теорема геометрической топологии
Универсальный гомеоморфизм

Ссылки

^ Хаббард, Джон Х.; Уэст, Беверли Х. (1995). Дифференциальные уравнения: подход динамических систем. Часть II: Многомерные системы . Тексты по прикладной математике. Том. 18. Спрингер. п. 204. ИСБН 978-0-387-94377-0 .
^ Пуанкаре, Х. (1895). Анализ Ситус . Журнал Политехнической школы. Готье-Виллар. OCLC 715734142 . Архивировано из оригинала 11 июня 2016 года . Проверено 29 апреля 2018 г.
Пуанкаре, Анри (2010). Статьи по топологии: анализ ситуации и пять дополнений к нему . Перевод Стиллвелла, Джона. Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-5234-7 .
^ Гамелен, ТВ; Грин, RE (1999). Введение в топологию (2-е изд.). Дувр. п. 67. ИСБН 978-0-486-40680-0 .
^ Вяйсяля, Юсси (1999). Топология I. Лаймс Р.Ю. стр. 63. ISBN 951-745-184-9 .
^ Дейкстра, Ян Дж. (1 декабря 2005 г.). «О группах гомеоморфизмов и компактно-открытой топологии» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 112 (10): 910–912. дои : 10.2307/30037630 . JSTOR 30037630 . Архивировано (PDF) из оригинала 16 сентября 2016 г.

Внешние ссылки

«Гомеоморфизм» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

[1] Хаббард, Джон Х.; Уэст, Беверли Х. (1995). Дифференциальные уравнения: подход динамических систем. Часть II: Многомерные системы . Тексты по прикладной математике. Том. 18. Спрингер. п. 204. ИСБН 978-0-387-94377-0 .

[2] Пуанкаре, Х. (1895). Анализ Ситус . Журнал Политехнической школы. Готье-Виллар. OCLC 715734142 . Архивировано из оригинала 11 июня 2016 года . Проверено 29 апреля 2018 г.
Пуанкаре, Анри (2010). Статьи по топологии: анализ ситуации и пять дополнений к нему . Перевод Стиллвелла, Джона. Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-5234-7 .

[3] Гамелен, ТВ; Грин, RE (1999). Введение в топологию (2-е изд.). Дувр. п. 67. ИСБН 978-0-486-40680-0 .

[4] Вяйсяля, Юсси (1999). Топология I. Лаймс Р.Ю. стр. 63. ISBN 951-745-184-9 .

[5] Дейкстра, Ян Дж. (1 декабря 2005 г.). «О группах гомеоморфизмов и компактно-открытой топологии» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 112 (10): 910–912. дои : 10.2307/30037630 . JSTOR 30037630 . Архивировано (PDF) из оригинала 16 сентября 2016 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

v т и Топология
Поля	Общий (набор точек) алгебраический комбинаторный Континуум Дифференциал Геометрический низкоразмерный Гомология когомологии теоретико-множественный Цифровой
Ключевые понятия	Открытый набор / Закрытый набор Интерьер Непрерывность Космос компактный подключен Хаусдорф метрика униформа Гомотопия гомотопическая группа фундаментальная группа Симплициальный комплекс комплекс ХО Полиэдрический комплекс Коллектор Связка (математика) Второе счетное пространство Кобордизм
Метрики и свойства	Эйлерова характеристика Номер Бетти Номер обмотки Число Черна Ориентируемость
Ключевые результаты	Банахова теорема о неподвижной точке Когомологии Де Рама Инвариантность домена Гипотеза Пуанкаре Теорема Тихонова Лемма Урысона
Категория Математический портал Викибук Викиверситет Темы общий алгебраический геометрический Публикации