трюк Александра

Трюк Александра , также известный как трюк Александера , — основной результат в геометрической топологии , названный в честь Дж. У. Александера .

Заявление

Два гомеоморфизма n - мерного шара $D^{n}$ которые соглашаются на пограничную сферу $S^{n-1}$ являются изотопными .

В более общем смысле два гомеоморфизма $D^{n}$ изотопные на границе, изотопны.

Доказательство

Базовый случай : каждый гомеоморфизм, фиксирующий границу, изотопен единице относительно границы.

Если $f\colon D^{n}\to D^{n}$ удовлетворяет $f(x)=x{\text{ for all }}x\in S^{n-1}$ , то изотопия, соединяющая f с единицей, определяется выражением

J(x,t)={\begin{cases}tf(x/t),&{\text{if }}0\leq \|x\|<t,\\x,&{\text{if }}t\leq \|x\|\leq 1.\end{cases}}

Визуально гомеоморфизм «выпрямляется» от границы, «сжимая» $f$ вплоть до истока. Уильям Терстон называет это «сведением всех клубков к одной точке». В оригинальной двухстраничной статье Дж. У. Александер объясняет, что для каждого $t>0$ трансформация $J_{t}$ копирует $f$ в другом масштабе, на диске радиуса $t$ , таким образом, как $t\rightarrow 0$ разумно ожидать, что $J_{t}$ сливается с личностью.

Тонкость в том, что в $t=0$ , $f$ «исчезает»: зародыш в начале «выпрыгивает» из бесконечно растянутой версии $f$ к личности. Каждый из шагов гомотопии можно сгладить (сгладить переход), но гомотопия (общее отображение) имеет особенность в точке $(x,t)=(0,0)$ . Это подчеркивает, что трюк Александра представляет собой конструкцию PL , но не гладкую.

Общий случай : изотопность на границе подразумевает изотопность

Если $f,g\colon D^{n}\to D^{n}$ два гомеоморфизма, которые согласуются $S^{n-1}$ , затем $g^{-1}f$ это личность на $S^{n-1}$ , итак, у нас есть изотопия $J$ от личности до $g^{-1}f$ . Карта $gJ$ тогда это изотопия от $g$ к $f$ .

Радиальное расширение

Некоторые авторы используют термин «трюк Александера» утверждения, что каждый гомеоморфизм для $S^{n-1}$ можно продолжить до гомеоморфизма всего шара $D^{n}$ .

Однако это гораздо легче доказать, чем рассмотренный выше результат: он называется радиальным расширением (или конусом) и верен также кусочно-линейно , но не гладко.

Конкретно, пусть $f\colon S^{n-1}\to S^{n-1}$ будет гомеоморфизмом, то