Поддерживающий функционал

В выпуклом анализе и математической оптимизации опорный функционал является обобщением опорной гиперплоскости множества.

Математическое определение

Пусть X — локально выпуклое топологическое пространство и $C\subset X$ — выпуклое множество , то непрерывный линейный функционал $\phi :X\to \mathbb {R}$ является опорным функционалом C в точке $x_{0}$ если $\phi \not =0$ и $\phi (x)\leq \phi (x_{0})$ для каждого $x\in C$.

Связь с функцией поддержки

Если $h_{C}:X^{*}\to \mathbb {R}$ (где $X^{*}$ это двойственное пространство $X$) является опорной функцией множества C , то если $h_{C}\left(x^{*}\right)=x^{*}\left(x_{0}\right)$, отсюда следует, что $h_{C}$ определяет вспомогательный функционал $\phi :X\to \mathbb {R}$ C в точке $x_{0}$ такой, что $\phi (x)=x^{*}(x)$ для любого $x\in X$.

Связь с опорной гиперплоскостью

Если $\phi$ является опорным функционалом выпуклого множества C в точке $x_{0}\in C$ такой, что

$\phi \left(x_{0}\right)=\sigma =\sup _{x\in C}\phi (x)>\inf _{x\in C}\phi (x)$

затем $H=\phi ^{-1}(\sigma )$ определяет опорную гиперплоскость к C в точке $x_{0}$.