Неравенство Юнга для продуктов

Площадь прямоугольника a,b не может быть больше суммы площадей при выполнении функций $f$ (красный) и $f^{-1}$ (желтый)

В математике — неравенство Юнга для произведений это математическое неравенство относительно произведения двух чисел. Неравенство названо в честь Уильяма Генри Янга , и его не следует путать с неравенством свертки Янга .

Неравенство Юнга для продуктов можно использовать для доказательства неравенства Гёльдера . Он также широко используется для оценки нормы нелинейных членов в теории УЧП , поскольку позволяет оценить произведение двух членов на сумму тех же членов, возведенных в степень и масштабированных.

Стандартная версия для сопряженных показателей Гёльдера

Стандартная форма неравенства следующая, которую можно использовать для доказательства неравенства Гёльдера .

Теорема — Если $a\geq 0$ и $b\geq 0$ являются неотрицательными действительными числами , и если $p>1$ и $q>1$ действительные числа такие, что ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1,$ затем $$ab~\leq ~{\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}}.$$

Равенство имеет место тогда и только тогда, когда $a^{p}=b^{q}.$

Доказательство

С ${\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1,$ $p-1={\tfrac {1}{q-1}}.$ График $y=x^{p-1}$ на $xy$Таким образом, -плоскость также является графом $x=y^{q-1}.$ Из зарисовки визуального представления интегралов площади между этой кривой и осями и площади в прямоугольнике, ограниченном линиями $x=0,x=a,y=0,y=b,$ и тот факт, что $y$ всегда увеличивается для увеличения $x$ и наоборот, мы это видим $\int _{0}^{a}x^{p-1}\mathrm {d} x$ верхняя граница площади прямоугольника под кривой (с равенством при $b\geq a^{p-1}$) и $\int _{0}^{b}y^{q-1}\mathrm {d} y$ верхняя граница площади прямоугольника над кривой (с равенством при $b\leq a^{p-1}$). Таким образом, $\int _{0}^{a}x^{p-1}\mathrm {d} x+\int _{0}^{b}y^{q-1}\mathrm {d} y\geq ab,$ с равенством, когда $b=a^{p-1}$ (или, что то же самое, $a^{p}=b^{q}$). Неравенство Юнга следует из вычисления интегралов. ( Обобщение см. ниже .)

Второе доказательство основано на неравенстве Йенсена .

Доказательство

Утверждение, безусловно, верно, если $a=0$ или $b=0$ так что впредь считаем, что $a>0$ и $b>0.$ Помещать $t=1/p$ и $(1-t)=1/q.$ Поскольку логарифма функция вогнутая , $$\ln \left(ta^{p}+(1-t)b^{q}\right)~\geq ~t\ln \left(a^{p}\right)+(1-t)\ln \left(b^{q}\right)=\ln(a)+\ln(b)=\ln(ab)$$ причем равенство выполняется тогда и только тогда, когда $a^{p}=b^{q}.$ Неравенство Янга следует путем возведения в степень.

Еще одно доказательство состоит в том, чтобы сначала доказать это с помощью $b=1$ затем применим полученное неравенство к ${\tfrac {a}{b^{q}}}$. Приведенное ниже доказательство также иллюстрирует, почему показатель сопряженности Гёльдера является единственным возможным параметром, который делает неравенство Юнга справедливым для всех неотрицательных значений. Подробности следующие:

Доказательство

Позволять $0<\alpha <1$ и $\alpha +\beta =1$. Неравенство $$x~\leq ~\alpha x^{p}+\beta ,\qquad \,for\quad \ all\quad \ x~\geq ~0$$ имеет место тогда и только тогда, когда $\alpha ={\tfrac {1}{p}}$ (и, следовательно, $\beta ={\tfrac {1}{q}}$). Это можно показать с помощью аргументов выпуклости или простой минимизации функции одной переменной.

Чтобы доказать полное неравенство Юнга, очевидно, мы предполагаем, что $a>0$ и $b>0$. Теперь применим неравенство выше к $x={\tfrac {a}{b^{s}}}$ чтобы получить: $${\tfrac {a}{b^{s}}}~\leq ~{\tfrac {1}{p}}{\tfrac {a^{p}}{b^{sp}}}+{\tfrac {1}{q}}.$$ Легко видеть, что выбор $s=q-1$ и умножив обе части на $b^{q+1}$ дает неравенство Юнга.

Неравенство Юнга эквивалентно можно записать как $$a^{\alpha }b^{\beta }\leq \alpha a+\beta b,\qquad \,0\leq \alpha ,\beta \leq 1,\quad \ \alpha +\beta =1.$$

Где это всего лишь вогнутость функции логарифма . Равенство имеет место тогда и только тогда, когда $a=b$ или $\{\alpha ,\beta \}=\{0,1\}.$ Это также следует из взвешенного неравенства AM-GM .

Обобщения

Теорема - Предполагать $a>0$ и $b>0.$ Если $1<p<\infty$ и $q$ таковы, что ${\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1$ затем $$ab~=~\min _{0<t<\infty }\left({\frac {t^{p}a^{p}}{p}}+{\frac {t^{-q}b^{q}}{q}}\right).$$

С использованием $t:=1$ и замена $a$ с $a^{1/p}$ и $b$ с $b^{1/q}$ приводит к неравенству: $$a^{1/p}\,b^{1/q}~\leq ~{\frac {a}{p}}+{\frac {b}{q}},$$ что полезно для доказательства неравенства Гёльдера .

Доказательство

Определите функцию с действительным знаком $f$ на положительных действительных числах $$f(t)~=~{\frac {t^{p}a^{p}}{p}}+{\frac {t^{-q}b^{q}}{q}}$$ для каждого $t>0$ а затем вычислить его минимум.

Теорема — Если $0\leq p_{i}\leq 1$ с $\sum _{i}p_{i}=1$ затем $$\prod _{i}{a_{i}}^{p_{i}}~\leq ~\sum _{i}p_{i}a_{i}.$$ Равенство имеет место тогда и только тогда, когда все $a_{i}$s с ненулевым $p_{i}$s равны.

Элементарный случай

Элементарным случаем неравенства Юнга является неравенство с показателем $2,$ $$ab\leq {\frac {a^{2}}{2}}+{\frac {b^{2}}{2}},$$ что также порождает так называемое неравенство Юнга с $\varepsilon$ (действительно для каждого $\varepsilon >0$), иногда называемое неравенством Питера – Павла. Это название относится к тому факту, что более жесткий контроль над вторым сроком достигается за счет потери некоторого контроля над первым сроком - нужно «ограбить Петра, чтобы заплатить Павлу». $$ab~\leq ~{\frac {a^{2}}{2\varepsilon }}+{\frac {\varepsilon b^{2}}{2}}.$$

Доказательство : неравенство Юнга с показателем. $2$ это особый случай $p=q=2.$ Однако у него есть более элементарное доказательство.

Начните с наблюдения, что квадрат каждого действительного числа равен нулю или положителен. Следовательно, для каждой пары действительных чисел $a$ и $b$ мы можем написать: $$0\leq (a-b)^{2}$$ Вычислите квадрат правой части: $$0\leq a^{2}-2ab+b^{2}$$ Добавлять $2ab$ обеим сторонам: $$2ab\leq a^{2}+b^{2}$$ Разделим обе части на 2 и получим неравенство Юнга с показателем $2:$ $$ab\leq {\frac {a^{2}}{2}}+{\frac {b^{2}}{2}}$$

Неравенство Юнга с $\varepsilon$ следует путем замены $a'$ и $b'$ как показано ниже, в неравенство Юнга с показателем $2:$ $$a'=a/{\sqrt {\varepsilon }},\;b'={\sqrt {\varepsilon }}b.$$

Матричное обобщение

Т. Андо доказал обобщение неравенства Юнга для комплексных матриц, упорядоченных по заказу Лёвнера . Он утверждает, что для любой пары $A,B$ комплексных матриц порядка $n$ существует унитарная матрица $U$ такой, что $$U^{*}|AB^{*}|U\preceq {\tfrac {1}{p}}|A|^{p}+{\tfrac {1}{q}}|B|^{q},$$ где ${}^{*}$ обозначает сопряженное транспонирование матрицы и $|A|={\sqrt {A^{*}A}}.$

Стандартная версия для расширения функций

Для стандартной версии неравенства, позволять $f$ обозначают вещественную, непрерывную и строго возрастающую функцию на $[0,c]$ с $c>0$ и $f(0)=0.$ Позволять $f^{-1}$ обозначим обратную функцию $f.$ Тогда для всех $a\in [0,c]$ и $b\in [0,f(c)],$ $$ab~\leq ~\int _{0}^{a}f(x)\,dx+\int _{0}^{b}f^{-1}(x)\,dx$$ с равенством тогда и только тогда, когда $b=f(a).$

С $f(x)=x^{p-1}$ и $f^{-1}(y)=y^{q-1},$ это сводится к стандартной версии для сопряженных показателей Гёльдера.

За подробностями и обобщениями мы отсылаем к статье Митроя и Никулеску.

Обобщение с использованием преобразований Фенхеля – Лежандра.

Обозначая выпуклую сопряженную вещественную функцию $f$ к $g,$ мы получаем $$ab~\leq ~f(a)+g(b).$$ Это непосредственно следует из определения выпуклого сопряжения. Для выпуклой функции $f$ это также следует из преобразования Лежандра .

В более общем смысле, если $f$ определяется в реальном векторном пространстве $X$ а его выпуклое сопряжение обозначается через $f^{\star }$ (и определяется в дуальном пространстве $X^{\star }$), затем $$\langle u,v\rangle \leq f^{\star }(u)+f(v).$$ где $\langle \cdot ,\cdot \rangle :X^{\star }\times X\to \mathbb {R}$ это двойное спаривание .

Примеры

Выпуклое сопряжение $f(a)=a^{p}/p$ является $g(b)=b^{q}/q$ с $q$ такой, что ${\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1,$ и, таким образом, упомянутое выше неравенство Юнга для сопряженных показателей Гельдера является частным случаем.

Преобразование Лежандра $f(a)=e^{a}-1$ является $g(b)=1-b+b\ln b$, следовательно $ab\leq e^{a}-b+b\ln b$ для всех неотрицательных $a$ и $b.$ Эта оценка полезна в теории больших уклонений в условиях экспоненциального момента, поскольку $b\ln b$ появляется в определении относительной энтропии , которая является функцией скорости в теореме Санова .

См. также

• Выпуклое сопряжение – обобщение преобразования Лежандра.
• Интеграл от обратных функций - математическая теорема, используемая в исчислении.
• Преобразование Лежандра – Математическое преобразование
• Неравенство свертки Юнга - математическое неравенство о свертке двух функций

Ссылки

• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN  978-3-519-02224-4 . OCLC   8210342 .
• Бахури, Хаджер ; Шемен, Жан Ив ; Данчин, Рафаэль (2011). Анализ Фурье и нелинейные уравнения в частных производных . Основные принципы математических наук. Том 343. Берлин, Гейдельберг: Springer. ISBN  978-3-642-16830-7 . OCLC   704397128 .

Внешние ссылки

• Неравенство Янга в PlanetMath
• Вайсштейн, Эрик В. «Неравенство Янга» . Математический мир .