Теорема Крамера (большие уклонения)

Теорема Крамера — фундаментальный результат теории больших уклонений , раздела теории вероятностей . Он определяет функцию скорости ряда iid случайных величин . Слабая версия этого результата была впервые показана Харальдом Крамером в 1938 году.

Заявление

Логарифмическая производящая функция момента (которая является производящей функцией кумулянта ) случайной величины определяется как:

$\Lambda (t)=\log \operatorname {E} [\exp(tX_{1})].$

Позволять $X_{1},X_{2},\dots$ быть последовательностью iid действительных случайных величин с конечной логарифмической производящей функцией момента, т.е. $\Lambda (t)<\infty$ для всех $t\in \mathbb {R}$.

Тогда преобразование Лежандра $\Lambda$:

$\Lambda ^{*}(x):=\sup _{t\in \mathbb {R} }\left(tx-\Lambda (t)\right)$

удовлетворяет,

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\log \left(P\left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\geq nx\right)\right)=-\Lambda ^{*}(x)$

для всех $x>\operatorname {E} [X_{1}].$

В терминологии теории больших уклонений результат можно переформулировать следующим образом:

Если $X_{1},X_{2},\dots$ представляет собой серию iid случайных величин, то распределения $\left({\mathcal {L}}({\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i})\right)_{n\in \mathbb {N} }$ удовлетворить принципу большого отклонения с функцией скорости $\Lambda ^{*}$.

Ссылки

• Кленке, Ахим (2008). Теория вероятностей . Берлин: Шпрингер. стр. 508 . дои : 10.1007/978-1-84800-048-3 . ISBN  978-1-84800-047-6 .
• «Теорема Крамера» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]