Карта включения

В математике , если $A$ является подмножеством $B,$ тогда карта включения — это функция $\iota$ который отправляет каждый элемент $x$ из $A$ к $x,$ рассматриваться как элемент $B:$ $\iota :A\rightarrow B,\qquad \iota (x)=x.$

Карта включения может также называться функцией включения , вставкой , ^[1] или каноническая инъекция .

«крючковатая стрела» ( U+ 21AA ↪ СТРЕЛКА ВПРАВО С КРЮКОМ ) ^[2] иногда используется вместо функциональной стрелки выше для обозначения карты включения; таким образом: $\iota :A\hookrightarrow B.$

(Однако некоторые авторы используют эту стрелку с крючком для любого встраивания .)

Эта и другие аналогичные инъективные функции ^[3] из подструктур иногда называют естественными инъекциями .

Учитывая любой морфизм $f$ между объектами $X$ и $Y$ , если существует отображение включения $\iota :A\to X$ в домен $X$ , то можно сформировать ограничение $f\circ \iota$ из $f.$ Во многих случаях можно также построить каноническое включение в кодомен $R\to Y$ известный диапазон как $f.$

Применение карт включения

Карты включения имеют тенденцию быть гомоморфизмами алгебраических структур ; таким образом, такие карты включения являются вложениями . Точнее, если подструктура закрыта относительно некоторых операций, карта включения будет вложением по тавтологическим причинам. Например, для некоторой бинарной операции $\star ,$ требовать этого $\iota (x\star y)=\iota (x)\star \iota (y)$ это просто сказать, что $\star$ последовательно вычисляется в подструктуре и большой структуре. Случай унарной операции аналогичен; но следует также рассмотреть нулевые операции, которые выбирают постоянный элемент. Здесь дело в том, что замыкание означает, что такие константы уже должны быть заданы в подструктуре.

Карты включения встречаются в алгебраической топологии, где, если $A$ представляет собой сильный деформационный ретракт $X,$ отображение включения дает изоморфизм между всеми гомотопическими группами (т. е. это гомотопическая эквивалентность ).

Карты включения в геометрии бывают разных видов: например вложения подмногообразий , . Контравариантные объекты (то есть объекты, имеющие обратные связи ; в более старой и несвязанной терминологии они называются ковариантными ), такие как дифференциальные формы, ограничиваются подмногообразиями, давая отображение в другом направлении . Другой пример, более сложный, — это аффинные схемы , для которых включения $\operatorname {Spec} \left(R/I\right)\to \operatorname {Spec} (R)$ и $\operatorname {Spec} \left(R/I^{2}\right)\to \operatorname {Spec} (R)$ могут быть разные морфизмы , где $R$ является коммутативным кольцом и $I$ является идеалом $R.$

См. также

Корасслоение – непрерывное отображение между топологическими пространствами.
Функция идентичности . В математике функция, которая всегда возвращает то же значение, которое использовалось в качестве ее аргумента.

Ссылки

^ Маклейн, С.; Биркгоф, Г. (1967). Алгебра . Провиденс, Род-Айленд: Издательство AMS Chelsea. п. 5. ISBN 0-8218-1646-2 . Обратите внимание, что «вставка» — это функция $S \to U$ , а «включение» — отношение $S \subset U$ ; каждое отношение включения порождает функцию вставки.
^ «Стрелки – Юникод» (PDF) . Консорциум Юникод . Проверено 7 февраля 2017 г.
^ Шевалле, К. (1956). Основные понятия алгебры . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Академическая пресса. п. 1 . ISBN 0-12-172050-0 .

[1] Маклейн, С.; Биркгоф, Г. (1967). Алгебра . Провиденс, Род-Айленд: Издательство AMS Chelsea. п. 5. ISBN 0-8218-1646-2 . Обратите внимание, что «вставка» — это функция $S \to U$ , а «включение» — отношение $S \subset U$ ; каждое отношение включения порождает функцию вставки.

[Unicode_Arrows-2] «Стрелки – Юникод» (PDF) . Консорциум Юникод . Проверено 7 февраля 2017 г.

[3] Шевалле, К. (1956). Основные понятия алгебры . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Академическая пресса. п. 1 . ISBN 0-12-172050-0 .

[1]

[2]

[3]