Теорема выбора Хелли

В математике ) утверждает , теорема выбора Хелли (также называемая принципом выбора Хелли что равномерно ограниченная последовательность монотонных действительных функций допускает сходящуюся подпоследовательность . Другими словами, это секвенциальная теорема компактности пространства равномерно ограниченных монотонных функций. Он назван в честь австрийского математика Эдуарда Хелли . Более общий вариант теоремы утверждает компактность пространства BV _loc функций локально ограниченной полной вариации , равномерно ограниченных в точке.

Теорема имеет приложения в математическом анализе . В теории вероятностей из этого результата следует компактность узкого семейства мер .

Формулировка теоремы

Пусть ( f _n ) _{n ∈ N} — последовательность возрастающих функций, отображающая действительную прямую R в себя, что оно равномерно ограничено: существуют a,b ∈ R такие, что a ⩽ fn _{и предположим ,} ⩽ b для любого n ∈ N . Тогда последовательность ( f _n ) _{n ∈ N} допускает поточечно сходящую подпоследовательность.

Обобщение на BV _loc

Пусть U — открытое подмножество вещественной прямой и пусть f _n : U → R , n ∈ N , — последовательность функций. Предположим, что ( fn ₎ имеет равномерно полную вариацию на любом W , компактно вложенном в U. ограниченную То есть для всех множеств W ⊆ U с компактным замыканием W̄ ⊆ U ,

$\sup _{n\in \mathbf {N} }\left(\left\|f_{n}\right\|_{L^{1}(W)}+\left\|{\frac {\mathrm {d} f_{n}}{\mathrm {d} t}}\right\|_{L^{1}(W)}\right)<+\infty ,$

где производная берется в смысле умеренных распределений .

Тогда существует подпоследовательность f _{n k} , k ∈ N , функции f _n и функция f : U → R локально ограниченной вариации такая, что

• fn _{почти k} сходится к f поточечно всюду ;
• и f _{n k} сходится к f локально в L ¹ (см. локально интегрируемую функцию ), т. е. для всех W, компактно вложенных в U ,

$\lim _{k\to \infty }\int _{W}{\big |}f_{n_{k}}(x)-f(x){\big |}\,\mathrm {d} x=0;$

• и для W, компактно вложенного в U ,

$\left\|{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}\right\|_{L^{1}(W)}\leq \liminf _{k\to \infty }\left\|{\frac {\mathrm {d} f_{n_{k}}}{\mathrm {d} t}}\right\|_{L^{1}(W)}.$

Дальнейшие обобщения

Существует множество обобщений и уточнений теоремы Хелли. Следующая теорема для функций BV, принимающих значения в банаховых пространствах , принадлежит Барбу и Прекупану:

Пусть X — рефлексивное сепарабельное а гильбертово пространство, E замкнутое выпуклое подмножество X. — Пусть ∆ : X → [0, +∞) положительно определена и однородна степени один . Предположим, что zn _n — равномерно ограниченная последовательность в BV([0, T ]; X ) такая, что ( _zn t ) ∈ E для всех ∈ N и t ∈ [0, T ]. Тогда существуют подпоследовательность z _{n k} и функции δ , z ∈ BV([0, T ]; X ) такие, что

• для всех t ∈ [0, T ],

$\int _{[0,t)}\Delta (\mathrm {d} z_{n_{k}})\to \delta (t);$

• и для всех t ∈ [0, T ]

$z_{n_{k}}(t)\rightharpoonup z(t)\in E;$

• и для всех 0 ⩽ s < t ⩽ T ,

$\int _{[s,t)}\Delta (\mathrm {d} z)\leq \delta (t)-\delta (s).$

См. также

• Ограниченная вариация
• Теорема выбора Франьковой-Хелли
• Общая вариация

Ссылки

• Рудин, В. (1976). Принципы математического анализа . Международная серия по чистой и прикладной математике (Третье изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. 167. ИСБН  978-0070542358 .

• Барбу, В.; Прекупану, Т. (1986). Выпуклость и оптимизация в банаховых пространствах . Математика и ее приложения (Восточноевропейская серия). Том. 10 (Второе румынское изд.). Дордрехт: Издательство Д. Рейделя xviii+397. ISBN  90-277-1761-3 . МИСТЕР 860772