Теорема Крейна – Милмана

Учитывая выпуклую форму $K$ (голубой) и его набор крайних точек $B$ (красный), выпуклая оболочка $B$ является $K.$

В математической теории функционального анализа теорема Крейна–Милмана представляет собой предложение о компактных выпуклых множествах в локально выпуклых топологических векторных пространствах (ТВП).

Теорема Крейна – Милмана — Компактное его выпуклое подмножество хаусдорфова локально выпуклого топологического векторного пространства равно замкнутой выпуклой оболочке крайних точек .

Эта теорема обобщает на бесконечномерные пространства и произвольные компактные выпуклые множества следующее основное наблюдение: выпуклый (то есть «заполненный») треугольник, включая его периметр и площадь «внутри него», равен выпуклой оболочке трех его треугольников. вершины, причем эти вершины являются в точности крайними точками этой фигуры. Это наблюдение справедливо и для любого другого выпуклого многоугольника на плоскости. $\mathbb {R} ^{2}.$

Заявление и определения

Предварительные сведения и определения

Выпуклое множество окрашено в голубой цвет, а его крайние точки - в красный.

Через, $X$ будет вещественным или комплексным векторным пространством .

Для любых элементов $x$ и $y$ в векторном пространстве множество $[x,y]:=\{tx+(1-t)y:0\leq t\leq 1\}$ называется замкнутый сегмент линии или закрытый интервал между $x$ и $y.$ открытый сегмент линии или открытый интервал между $x$ и $y$ является $(x,x):=\varnothing$ когда $x=y$ пока это $(x,y):=\{tx+(1-t)y:0<t<1\}$ когда $x\neq y;$ это удовлетворяет $(x,y)=[x,y]\setminus \{x,y\}$ и $[x,y]=(x,y)\cup \{x,y\}.$ Очки $x$ и $y$ называются концами этого интервала. Говорят, что интервал невырожденная или правильная , если ее концы различны.

Интервалы $[x,x]=\{x\}$ и $[x,y]$ всегда содержат свои конечные точки, в то время как $(x,x)=\varnothing$ и $(x,y)$ никогда не содержат ни одну из своих конечных точек. Если $x$ и $y$ являются точками на реальной линии $\mathbb {R}$ тогда приведенное выше определение $[x,y]$ то же самое, что и его обычное определение как замкнутый интервал .

Для любого $p,x,y\in X,$ суть $p$ говорят (строго) лежать между $x$ и $y$ если $p$ принадлежит к сегменту открытой линии $(x,y).$

Если $K$ является подмножеством $X$ и $p\in K,$ затем $p$ называется крайней точкой $K$ если оно не лежит между какими-либо двумя различными точками $K.$ То есть, если не существует $x,y\in K$ и $0<t<1$ такой, что $x\neq y$ и $p=tx+(1-t)y.$ В этой статье набор всех крайних точек $K$ будет обозначаться $\operatorname {extreme} (K).$

Например, вершины любого выпуклого многоугольника на плоскости $\mathbb {R} ^{2}$ являются крайними точками этого многоугольника. Крайние точки замкнутого единичного диска в $\mathbb {R} ^{2}$ это единичный круг . Каждый открытый интервал и вырожденный замкнутый интервал в $\mathbb {R}$ не имеет крайних точек, а крайние точки невырожденного отрезка $[x,y]$ являются $x$ и $y.$

Набор $S$ называется выпуклым, если для любых двух точек $x,y\in S,$ $S$ содержит отрезок прямой $[x,y].$ Наименьшее выпуклое множество, содержащее $S$ называется выпуклой оболочкой $S$ и это обозначается $\operatorname {co} S.$ Замкнутая выпуклая оболочка множества $S,$ обозначается ${\overline {\operatorname {co} }}(S),$ — наименьшее замкнутое и выпуклое множество, содержащее $S.$ Оно также равно пересечению всех замкнутых выпуклых подмножеств, содержащих $S$ и замыканию оболочки выпуклой ​ $S$; то есть, $${\overline {\operatorname {co} }}(S)={\overline {\operatorname {co} (S)}},$$ где правая часть обозначает замыкание $\operatorname {co} (S)$ а левая часть — обозначения. Например, выпуклая оболочка любого набора из трех различных точек образует либо замкнутый отрезок линии (если они коллинеарны ), либо сплошной (то есть «заполненный») треугольник, включая его периметр. И в самолете $\mathbb {R} ^{2},$ единичная окружность не выпукла, а замкнутый единичный диск выпуклый, причем этот диск равен выпуклой оболочке круга.

Сепарабельное гильбертово пространство Lp. $\ell ^{2}(\mathbb {N} )$ суммируемых с квадратом последовательностей с обычной нормой $\|\cdot \|_{2}$ имеет компактное подмножество $S$ чья выпуклая оболочка $\operatorname {co} (S)$ не замкнуто и, следовательно , также не компактно. Однако, как и во всех полных хаусдорфовых локально выпуклых пространствах, замкнутая выпуклая оболочка ${\overline {\operatorname {co} }}S$ этого компактного подмножества будет компактным. Но если хаусдорфово локально выпуклое пространство не полно, то вообще не гарантируется, что ${\overline {\operatorname {co} }}S$ будет компактным всякий раз, когда $S$ является; пример можно даже найти в (неполном) догильбертовом векторном подпространстве $\ell ^{2}(\mathbb {N} ).$ Каждое компактное подмножество вполне ограничено (также называемое «предкомпактным»), и замкнутая выпуклая оболочка вполне ограниченного подмножества хаусдорфова локально выпуклого пространства гарантированно полностью ограничена.

Заявление

Теорема Крейна – Милмана - Если $K$ является компактным подмножеством хаусдорфова локально выпуклого топологического векторного пространства , то множество крайних точек $K$ имеет ту же замкнутую выпуклую оболочку, что и $K.$

В случае, когда компакт $K$ также выпукла, то из приведенной выше теоремы следует первая часть следующей теоремы: которую также часто называют теоремой Крейна–Мильмана.

Теорема Крейна – Милмана - Предполагать $X$ — хаусдорфово локально выпуклое топологическое векторное пространство (например, нормированное пространство ) и $K$ является компактным и выпуклым подмножеством $X.$ Затем $K$ равна замкнутой выпуклой оболочке его крайних точек : $$K~=~{\overline {\operatorname {co} }}(\operatorname {extreme} (K)).$$

Более того, если $B\subseteq K$ затем $K$ равна замкнутой выпуклой оболочке $B$ тогда и только тогда, когда $\operatorname {extreme} K\subseteq \operatorname {cl} B,$ где $\operatorname {cl} B$ это закрытие $B.$

Выпуклая оболочка крайних точек $K$ образует выпуклое подмножество $K$ поэтому основная задача доказательства — показать, что крайних точек достаточно, чтобы их выпуклая оболочка покрывала все $K.$ По этой причине следующее следствие приведенной выше теоремы также часто называют теоремой Крейна – Милмана.

( КМ ) Теорема Крейна–Мильмана (Существование) — Каждое непустое компактное выпуклое подмножество хаусдорфова локально выпуклого топологического векторного пространства имеет крайнюю точку ; т. е. множество его крайних точек не пусто.

Чтобы наглядно представить эту теорему и ее заключение, рассмотрим частный случай, когда $K$ представляет собой выпуклый многоугольник . В этом случае углы многоугольника (которые являются его крайними точками) — это все, что нужно для восстановления формы многоугольника. Утверждение теоремы неверно, если многоугольник невыпуклый, так как тогда существует много способов нарисовать многоугольник, задав точки в качестве углов.

Требование, чтобы выпуклое множество $K$ быть компактным, можно ослабить, чтобы получить следующую усиленную версию обобщения теоремы.

( СКМ ) Сильная теорема Крейна – Милмана (существование) - Предполагать $X$ является хаусдорфовым локально выпуклым топологическим векторным пространством и $K$ является непустым выпуклым подмножеством $X$ с тем свойством, которое всякий раз, когда ${\mathcal {C}}$ это обложка $K$ выпуклыми замкнутыми подмножествами $X$ такой, что $\{K\cap C:C\in {\mathcal {C}}\}$ имеет свойство конечного пересечения , то $K\cap \bigcap _{C\in {\mathcal {C}}}C$ не пуст. Затем $\operatorname {extreme} (K)$ не пуст.

Свойство выше иногда называют квазикомпактность или выпуклая компактность . Компактность подразумевает выпуклую компактность , поскольку топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждое семейство замкнутых подмножеств, обладающее свойством конечного пересечения (FIP), имеет непустое пересечение (то есть его ядро ​​не пусто). Определение выпуклой компактности аналогично этой характеристике компактных пространств в терминах FIP, за исключением того, что оно включает только те замкнутые подмножества, которые также являются выпуклыми (а не все замкнутые подмножества).

Более общие настройки

Предположение о локальной выпуклости окружающего пространства необходимо, поскольку Джеймс Робертс ( 1977 ) построил контрпример для нелокально выпуклого пространства. $L^{p}[0,1]$ где $0<p<1.$

Линейность также необходима, поскольку утверждение неверно для слабо компактных выпуклых множеств в пространствах CAT(0) , как доказал Николя Моно ( 2016 ). Однако Тео Бюлер ( 2006 ) доказал, что теорема Крейна–Милмана справедлива для метрически компактных пространств CAT(0).

Связанные результаты

При предыдущих предположениях о $K,$ если $T$ является подмножеством ​ $K$ и замкнутая выпуклая оболочка $T$ это все из $K,$ тогда каждая крайняя точка $K$ к закрытию относится $T.$ Этот результат известен как Милмана (частичное) обращение к теореме Крейна – Милмана.

Теорема Шоке -Бишопа-де Лю утверждает, что каждая точка в $K$ — барицентр вероятностной меры, поддерживаемой на множестве крайних точек $K.$

Связь с аксиомой выбора

В рамках аксиоматической структуры теории множеств Цермело-Френкеля ( ZF ) аксиомы выбора ( AC ) достаточно для доказательства всех версий теоремы Крейна-Мильмана, приведенных выше, включая утверждение KM и его обобщение SKM . Аксиома выбора также подразумевает, но не эквивалентна, Булевой теореме о простых идеалах ( BPI ), которая эквивалентна теореме Банаха – Алаоглу . И наоборот, теорема Крейна-Милмана KM вместе с булевой теоремой о простых идеалах ( BPI ) подразумевают аксиому выбора. Таким образом, AC выполняется тогда и только тогда, когда выполняются и KM , и BPI . Отсюда следует, что при ZF выбранная аксиома эквивалентна следующему утверждению:

Замкнутый единичный шар непрерывного дуального пространства любого вещественного нормированного пространства имеет крайнюю точку.

Более того, SKM вместе с теоремой Хана–Банаха для вещественных векторных пространств ( HB ) также эквивалентны аксиоме выбора. Известно, что BPI подразумевает HB , но не эквивалентен ему (говоря иначе, BPI строго сильнее HB ).

История

Первоначальное утверждение, доказанное Марком Крейном и Дэвидом Милманом ( 1940 ), было несколько менее общим, чем изложенная здесь форма.

Ранее Герман Минковский ( 1911 ) доказал, что если $X$ является трехмерным, тогда $K$ равна выпуклой оболочке множества его крайних точек. Это утверждение было распространено на случай любой конечной размерности Эрнстом Стейницем ( 1916 ). Теорема Крейна–Мильмана обобщает это на случай произвольных локально выпуклых $X$; однако для обобщения от конечномерных пространств к бесконечномерным необходимо использовать замыкание.

См. также

• Теорема Банаха – Алаоглу - Теорема функционального анализа
• Теорема Каратеодори (выпуклая оболочка) — точка в выпуклой оболочке множества P в Rd представляет собой выпуклую комбинацию d+1 точек в P.
• Теория Шоке - Область функционального анализа и выпуклого анализа
• Теорема Хелли - Теорема о пересечении d-мерных выпуклых множеств.
• Теорема Радона - говорит, что d + 2 точки в d измерениях можно разделить на два подмножества, выпуклые оболочки которых пересекаются.
• Лемма Шепли – Фолкмана . Суммы наборов векторов почти выпуклы.
• Топологическое векторное пространство - векторное пространство с понятием близости.

Библиография

• Адаш, Норберт; Эрнст, Бруно; Кейм, Дитер (1978). Топологические векторные пространства: теория без условий выпуклости . Конспект лекций по математике. Том. 639. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-08662-8 . OCLC   297140003 .
• Алипрантис, Хараламбос Д .; Бордер, Ким К. (2006). Бесконечномерный анализ: Путеводитель для путешествующих автостопом (Третье изд.). Берлин: Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-540-29587-7 . OCLC   262692874 .
• Бурбаки, Николя (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Элементы математики . Перевод Эгглстона, Х.Г.; Мадан, Южный Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  3-540-13627-4 . OCLC   17499190 .
• Блэк, Пол Э. , изд. (17 декабря 2004 г.). «крайняя точка» . Словарь алгоритмов и структур данных . США Национальный институт стандартов и технологий . Проверено 24 марта 2011 г.
• Боровский, Эфраим Дж.; Борвейн, Джонатан М. (1989). «крайняя точка». Словарь математики . Словарь Коллинза. ХарперКоллинз . ISBN  0-00-434347-6 .
• Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод Чалджуба, Орландо. Нью-Йорк: Издательство Gordon and Breach Science. ISBN  978-0-677-30020-7 . OCLC   886098 .
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN  978-3-519-02224-4 . OCLC   8210342 .
• Келли, Джон Л.; Намиока, Исаак (1963). Линейные топологические пространства . Тексты для аспирантов по математике . Том. 36. Берлин, Гейдельберг: Springer-Verlag . ISBN  978-3-662-41768-3 . OCLC   913438183 .
• Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I. Основные принципы математических наук. Том 159. Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-642-64988-2 . МР   0248498 . OCLC   840293704 .
• Кете, Готфрид (1979). Топологические векторные пространства II . Основные принципы математических наук. Том 237. Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-0-387-90400-9 . OCLC   180577972 .
• Пинкус, Дэвид (1974). «Сила теоремы Хана-Банаха». В Херде, А.; Леб, П. (ред.). Симпозиум Виктории по нестандартному анализу . Конспект лекций по математике. Том. 369. Берлин, Гейдельберг: Шпрингер. стр. 203–248. дои : 10.1007/bfb0066014 . ISBN  978-3-540-06656-9 . ISSN   0075-8434 .
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• N. K. Nikol'skij (Ed.). Functional Analysis I . Springer-Verlag, 1992.
• Робертсон, Алекс П.; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Кембриджские трактаты по математике . Том. 53. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-29882-7 . OCLC   589250 .
• Х. Л. Ройден, Реальный анализ . Прентис-Холл, Энглвуд-Клиффс, Нью-Джерси, 1988 год.
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN  978-0-07-054236-5 . OCLC   21163277 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN  978-0-12-622760-4 . OCLC   175294365 .
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .
• Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc.  978-0-486-49353-4 . OCLC   849801114 .

Эта статья включает в себя материал из теоремы Крейна-Милмана о PlanetMath , которая распространяется под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .