Теорема Ф. Рисса

Теорема Ф. Рисса (названная в честь Фридьеса Рисса ) — важная теорема функционального анализа , которая утверждает, что Хаусдорфа топологическое векторное пространство (TVS) конечномерно тогда и только тогда, когда оно локально компактно . Теорема и ее следствия повсеместно используются в функциональном анализе, часто без явного упоминания.

Заявление

Напомним, что топологическое векторное пространство (ТВП) $X$ является Хаусдорфовым тогда и только тогда, когда одноэлементное множество $\{0\}$ состоящее целиком из начала координат, является замкнутым подмножеством $X.$ Отображение между двумя ТВС называется ТВС-изоморфизмом или изоморфизмом в категории ТВС, если оно является линейным гомеоморфизмом .

Теорема Ф. Рисса — Хаусдорф ​ ТВС $X$ над полем $\mathbb {F}$ ( $\mathbb {F}$ является либо действительным, либо комплексным числом) конечномерен тогда и только тогда, когда он локально компактен (или, что то же самое, тогда и только тогда, когда существует компактная окрестность начала координат). В этом случае, $X$ TVS-изоморфен $\mathbb {F} ^{{\text{dim}}X}.$

Последствия

Через, $F,X,Y$ являются ТВС (не обязательно Хаусдорфами) с $F$ конечномерное векторное пространство.

• Каждое конечномерное векторное подпространство хаусдорфовой ТВС является замкнутым подпространством.
• Все конечномерные ТВС Хаусдорфа являются банаховыми пространствами , и все нормы в таком пространстве эквивалентны.
• Закрыто + конечномерно закрыто : если $M$ — замкнутое векторное подпространство ТВС $Y$ и если $F$ — конечномерное векторное подпространство $Y$ ( $Y,M,$ и $F$ не обязательно являются Хаусдорфами), то $M+F$ является замкнутым векторным подпространством $Y.$
• Каждый изоморфизм векторного пространства (т.е. линейная биекция ) между двумя конечномерными хаусдорфовыми TVS является TVS-изоморфизмом .
• Уникальность топологии : Если $X$ является конечномерным векторным пространством, и если $\tau _{1}$ и $\tau _{2}$ две топологии Хаусдорфа TVS на $X$ затем $\tau _{1}=\tau _{2}.$
• Конечномерная область : линейное отображение $L:F\to Y$ между ТВС Хаусдорфа обязательно непрерывна.
  • В частности, каждый линейный функционал конечномерной хаусдорфовой ТВС непрерывен.
• Конечномерный диапазон : любая непрерывная сюръективная линейная карта. $L:X\to Y$ с хаусдорфовой конечномерной областью является открытым отображением и, следовательно, топологический гомоморфизм .

В частности, ассортимент $L$ TVS-изоморфен $X/L^{-1}(0).$

• ТВС $X$ (не обязательно Хаусдорфа) локально компактна тогда и только тогда, когда $X/{\overline {\{0\}}}$ является конечномерным.
• Выпуклая оболочка конечномерной компактного подмножества хаусдорфовой ТВС компактна.
  • Отсюда, в частности, следует, что выпуклая оболочка компакта равна замкнутой выпуклой оболочке этого множества.
• Хаусдорфова локально ограниченная ТВС со свойством Гейне-Бореля обязательно конечномерна.

См. также

• Лемма Рисса

Библиография

• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN  978-0-07-054236-5 . OCLC   21163277 .
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .