Ультрапродукт

Ультрапроизведение абстрактной — математическая конструкция, которая появляется главным образом в алгебре и математической логике , в частности в теории моделей и теории множеств . Ультрапродукт — это частное прямого произведения семейства структур . Все факторы должны иметь одинаковую подпись . Сверхдержава — это частный случай этой конструкции, в которой все факторы равны.

Например, сверхспособности можно использовать для создания новых полей из уже имеющихся. Гипердействительные числа , ультрастепень действительных чисел , являются частным случаем этого.

Некоторые яркие применения ультрапроизведений включают очень элегантные доказательства теоремы о компактности и теоремы о полноте , сверхстепенную теорему Кейслера , которая дает алгебраическую характеристику семантического понятия элементарной эквивалентности, а также представление Робинсона-Закона об использовании надстроек и их мономорфизмы для построения нестандартных моделей анализа, что привело к росту области нестандартного анализа , который был впервые предложен (как применение теоремы о компактности) Абрахамом Робинсоном .

Определение

Общий метод получения ультрапродуктов использует набор индексов. $I,$ структура ​ $M_{i}$ (в этой статье предполагается, что он непустой) для каждого элемента $i\in I$ (все одной подписи ) и ультрафильтр ${\mathcal {U}}$ на $I.$

Для любых двух элементов $a_{\bullet }=\left(a_{i}\right)_{i\in I}$ и $b_{\bullet }=\left(b_{i}\right)_{i\in I}$ декартова произведения ${\textstyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i},}$ объявить их ${\mathcal {U}}$-эквивалент , написано $a_{\bullet }\sim b_{\bullet }$ или $a_{\bullet }=_{\mathcal {U}}b_{\bullet },$ тогда и только тогда, когда набор индексов $\left\{i\in I:a_{i}=b_{i}\right\}$ по которому они согласны, является элементом ${\mathcal {U}};$ в символах,

$$a_{\bullet }\sim b_{\bullet }\;\iff \;\left\{i\in I:a_{i}=b_{i}\right\}\in {\mathcal {U}},$$

который сравнивает компоненты только относительно ультрафильтра ${\mathcal {U}}.$ Это бинарное отношение $\,\sim \,$ является отношением эквивалентности о декартовом произведении ${\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}.$

Ультрапродукт ​ ​ $M_{\bullet }=\left(M_{i}\right)_{i\in I}$ модуль ${\mathcal {U}}$ представляет фактормножество собой ${\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}$ относительно $\sim$ и поэтому иногда обозначается ${\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}\,/\,{\mathcal {U}}$ или ${\textstyle \prod }_{\mathcal {U}}\,M_{\bullet }.$

Явно, если ${\mathcal {U}}$- класс эквивалентности элемента $a\in {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}$ обозначается

$$a_{\mathcal {U}}:={\big \{}x\in {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}\;:\;x\sim a{\big \}}$$

тогда ультрапроизведение — это множество всех ${\mathcal {U}}$-классы эквивалентности

$${\prod }_{\mathcal {U}}\,M_{\bullet }\;=\;\prod _{i\in I}M_{i}\,/\,{\mathcal {U}}\;:=\;\left\{a_{\mathcal {U}}\;:\;a\in {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}\right\}.$$

Хотя ${\mathcal {U}}$ предполагалось, что это ультрафильтр, описанная выше конструкция может быть осуществлена ​​в более общем смысле всякий раз, когда ${\mathcal {U}}$ это всего фильтр лишь $I,$ в этом случае результирующий набор факторов ${\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}/\,{\mathcal {U}}$ называется уменьшенный продукт .

Когда ${\mathcal {U}}$ является главным ультрафильтром (что происходит тогда и только тогда, когда ${\mathcal {U}}$ содержит свое ядро $\cap \,{\mathcal {U}}$) то ультрапроизведение изоморфно одному из сомножителей. И так обычно, ${\mathcal {U}}$ не является главным ультрафильтром , что происходит тогда и только тогда, когда ${\mathcal {U}}$ бесплатно (имеется в виду $\cap \,{\mathcal {U}}=\varnothing$), или, что то же самое, если каждое коконечное подмножество $I$ является элементом ${\mathcal {U}}.$ Поскольку каждый ультрафильтр на конечном множестве является главным, индексное множество $I$ следовательно, также обычно бесконечна.

Ультрапродукт действует как пространство фильтра, где элементы равны, если они равны только в фильтруемых компонентах (нефильтрованные компоненты игнорируются при эквивалентности). Можно определить конечно-аддитивную меру $m$ в наборе индексов $I$ сказав $m(A)=1$ если $A\in {\mathcal {U}}$ и $m(A)=0$ в противном случае. Тогда два члена декартова произведения эквивалентны в точности, если они равны почти всюду на множестве индексов. Ультрапродукт — это набор сгенерированных таким образом классов эквивалентности.

Финитарные операции над декартовым произведением ${\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}$ определяются поточечно (например, если $+$ это бинарная функция, тогда $a_{i}+b_{i}=(a+b)_{i}$). Другие отношения могут быть расширены таким же образом:

$$R\left(a_{\mathcal {U}}^{1},\dots ,a_{\mathcal {U}}^{n}\right)~\iff ~\left\{i\in I:R^{M_{i}}\left(a_{i}^{1},\dots ,a_{i}^{n}\right)\right\}\in {\mathcal {U}},$$

где $a_{\mathcal {U}}$ обозначает ${\mathcal {U}}$-класс эквивалентности $a$ относительно $\sim .$ В частности, если каждый $M_{i}$ является упорядоченным полем , то и ультрапроизведение тоже.

Сверхсила

Ультрадержава – это ультрапродукт, для которого все факторы $M_{i}$ равны. Явно, сверхмощность набора $M$ модуль ${\mathcal {U}}$ это ультрапродукт ${\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}\,/\,{\mathcal {U}}={\textstyle \prod }_{\mathcal {U}}\,M_{\bullet }$ индексируемого семейства $M_{\bullet }:=\left(M_{i}\right)_{i\in I}$ определяется $M_{i}:=M$ для каждого индекса $i\in I.$ Сверхмощность можно обозначить через ${\textstyle \prod }_{\mathcal {U}}\,M$ или (поскольку ${\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M$ часто обозначается $M^{I}$) к

$$M^{I}/{\mathcal {U}}~:=~\prod _{i\in I}M\,/\,{\mathcal {U}}\,$$

Для каждого $m\in M,$ позволять $(m)_{i\in I}$ обозначим постоянную карту $I\to M$ что тождественно равно $m.$ Эта константная карта/кортеж является элементом декартова произведения. $M^{I}={\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M$ и так задание $m\mapsto (m)_{i\in I}$ определяет карту $M\to {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M.$естественное встраивание $M$ в ${\textstyle \prod }_{\mathcal {U}}\,M$ это карта $M\to {\textstyle \prod }_{\mathcal {U}}\,M$ который отправляет элемент $m\in M$ к ${\mathcal {U}}$-класс эквивалентности постоянного кортежа $(m)_{i\in I}.$

Примеры

Гипердействительные числа представляют собой ультрапроизведение одной копии действительных чисел для каждого натурального числа с учетом ультрафильтра по натуральным числам, содержащего все коконечные множества. Их порядок является расширением порядка действительных чисел. Например, последовательность $\omega$ данный $\omega _{i}=i$ определяет класс эквивалентности, представляющий гипердействительное число, которое больше любого действительного числа.

Аналогично можно определить нестандартные целые числа , нестандартные комплексные числа и т. д., взяв ультрапроизведение копий соответствующих структур.

В качестве примера переноса отношений в ультрапроизведение рассмотрим последовательность $\psi$ определяется $\psi _{i}=2i.$ Потому что $\psi _{i}>\omega _{i}=i$ для всех $i,$ отсюда следует, что класс эквивалентности $\psi _{i}=2i$ больше, чем класс эквивалентности $\omega _{i}=i,$ так что его можно интерпретировать как бесконечное число, большее, чем изначально построенное. Однако пусть $\chi _{i}=i$ для $i$ не равен $7,$ но $\chi _{7}=8.$ Набор индексов, по которым $\omega$ и $\chi$ согласен, является членом любого ультрафильтра (поскольку $\omega$ и $\chi$ почти везде согласен), так что $\omega$ и $\chi$ принадлежат одному классу эквивалентности.

В теории больших кардиналов стандартная конструкция состоит в том, чтобы взять ультрапроизведение всей теоретико-множественной вселенной относительно некоторого тщательно выбранного ультрафильтра. ${\mathcal {U}}.$ Свойства этого ультрафильтра ${\mathcal {U}}$ оказывают сильное влияние на свойства (высшего порядка) ультрапродукта; например, если ${\mathcal {U}}$ является $\sigma$-полным, то ультрапроизведение снова окажется обоснованным. ( см. в измеримом кардинале Прототипический пример .)

Теорема Лоша

Теорема Лося, также называемая фундаментальной теоремой об ультрапроизведениях , принадлежит Ежи Лось (фамилия произносится [ˈwɔɕ] , примерно «мыть»). Он утверждает, что любая формула первого порядка истинна в ультрапроизведении тогда и только тогда, когда набор индексов $i$ такая, что формула верна в $M_{i}$ является членом ${\mathcal {U}}.$ Точнее:

Позволять $\sigma$ быть подписью, ${\mathcal {U}}$ ультрафильтр над набором $I,$ и для каждого $i\in I$ позволять $M_{i}$ быть $\sigma$-структура. Позволять ${\textstyle \prod }_{\mathcal {U}}\,M_{\bullet }$ или ${\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}/{\mathcal {U}}$ быть ультрапродуктом $M_{i}$ относительно ${\mathcal {U}}.$ Тогда для каждого $a^{1},\ldots ,a^{n}\in {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i},$ где $a^{k}=\left(a_{i}^{k}\right)_{i\in I},$ и для каждого $\sigma$-формула $\phi ,$

$${\prod }_{\mathcal {U}}\,M_{\bullet }\models \phi \left[a_{\mathcal {U}}^{1},\ldots ,a_{\mathcal {U}}^{n}\right]~\iff ~\{i\in I:M_{i}\models \phi [a_{i}^{1},\ldots ,a_{i}^{n}]\}\in {\mathcal {U}}.$$

Теорема доказывается индукцией по сложности формулы $\phi .$ Тот факт, что ${\mathcal {U}}$ является ультрафильтром (а не просто фильтром) используется в предложении отрицания, а аксиома выбора необходима на этапе квантора существования. В качестве приложения получена теорема переноса для гиперреальных полей .

Примеры

Позволять $R$ быть унарным отношением в структуре $M,$ и сформировать сверхдержаву $M.$ Тогда набор $S=\{x\in M:Rx\}$ есть аналог ${}^{*}S$ в сверхмощных и формулах первого порядка, включающих $S$ также действительны для ${}^{*}S.$ Например, пусть $M$ будьте настоящими, и пусть $Rx$ держи, если $x$ является рациональным числом. Затем в $M$ мы можем сказать, что для любой пары рациональных чисел $x$ и $y,$ существует еще один номер $z$ такой, что $z$ не рационально и $x<z<y.$ Поскольку это можно перевести в логическую формулу первого порядка на соответствующем формальном языке, из теоремы Лося следует, что ${}^{*}S$ имеет то же свойство. То есть мы можем определить понятие гиперрациональных чисел, которые являются подмножеством гиперреальных чисел и обладают теми же свойствами первого порядка, что и рациональные числа.

Однако рассмотрим архимедово свойство действительных чисел, которое гласит, что действительных чисел не существует. $x$ такой, что $x>1,\;x>1+1,\;x>1+1+1,\ldots$ для каждого неравенства в бесконечном списке. Теорема Лоша не применима к архимедову свойству, поскольку архимедово свойство не может быть сформулировано в логике первого порядка. На самом деле, архимедово свойство для гипердействительных чисел неверно, как показывает конструкция гипердействительного числа. $\omega$ выше.

Прямые пределы сверхспособностей (ультрапределы)

Чтобы узнать об ультрапродукте последовательности метрических пространств, см. Ultralimit .

В теории моделей и теории множеств часто рассматривается прямой предел последовательности сверхстепеней. В теории моделей эту конструкцию можно назвать ультрапределом или предельной сверхстепенью .

Начиная со структуры, $A_{0}$ и ультрафильтр, ${\mathcal {D}}_{0},$ сформировать сверхдержаву, $A_{1}.$ Затем повторите процесс, чтобы сформировать $A_{2},$ и так далее. Для каждого $n$ существует каноническое диагональное вложение $A_{n}\to A_{n+1}.$ На предельных стадиях, таких как $A_{\omega },$ образуют прямую границу более ранних стадий. Можно продолжить в трансфинитное.

Монада ультрапродукта

— Монада ультрафильтра это монада кодовой плотности включения категории конечных множеств в категорию всех множеств .

Аналогичным образом, монада ультрапродукта — это монада кодовой плотности включения категории $\mathbf {FinFam}$ семейств конечно-индексированных множеств в категорию $\mathbf {Fam}$ всех индексированных семейств множеств. Так что в этом смысле ультрапродукты категорически неизбежны. Явно объект $\mathbf {Fam}$ состоит из непустого набора индексов $I$ и индексированная семья $\left(M_{i}\right)_{i\in I}$ наборов. Морфизм $\left(N_{i}\right)_{j\in J}\to \left(M_{i}\right)_{i\in I}$ между двумя объектами состоит из функции $\phi :I\to J$ между наборами индексов и $J$-индексированное семейство $\left(\phi _{j}\right)_{j\in J}$ функции $\phi _{j}:M_{\phi (j)}\to N_{j}.$ Категория $\mathbf {FinFam}$ является полной подкатегорией этой категории $\mathbf {Fam}$ состоящий из всех объектов $\left(M_{i}\right)_{i\in I}$ чей индексный набор $I$ конечно. Монада кодовой плотности карты включения $\mathbf {FinFam} \hookrightarrow \mathbf {Fam}$ тогда, по сути, задается формулой

$$\left(M_{i}\right)_{i\in I}~\mapsto ~\left(\prod _{i\in I}M_{i}\,/\,{\mathcal {U}}\right)_{{\mathcal {U}}\in U(I)}\,.$$

См. также

• Теорема о компактности
• Расширитель (теория множеств) - в теории множеств система ультрафильтров, представляющая элементарное вложение, свидетельствующее о больших кардинальных свойствах. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Теорема Левенхайма – Скулема - Существование и мощность моделей логических теорий.
• Принцип переноса - концепция теории моделей.
• Ультрафильтр – Максимально правильный фильтр

Примечания

Доказательства

Ссылки

• Белл, Джон Лейн; Сломсон, Алан Б. (2006) [1969]. Модели и ультрапродукты: введение (перепечатка изд. 1974 г.). Дуврские публикации . ISBN  0-486-44979-3 .
• Беррис, Стэнли Н.; Санкаппанавар, HP (2000) [1981]. Курс универсальной алгебры (изд. Millennium).