Нестандартный анализ

Готфрид Вильгельм Лейбниц идеализированные числа, содержащие бесконечно малые . утверждал, что следует ввести

История исчисления полна философских споров о значении и логической обоснованности флюксий или бесконечно малых чисел. Стандартный способ разрешить эти споры — определить операции исчисления, используя пределы , а не бесконечно малые. Нестандартный анализ вместо этого переформулирует исчисление, используя логически строгое понятие бесконечно малых чисел.

Нестандартный анализ зародился в начале 1960-х годов математиком Абрахамом Робинсоном . Он написал:

... идея бесконечно малых или бесконечно малых величин, кажется, естественным образом обращается к нашей интуиции. Во всяком случае, использование бесконечно малых было широко распространено на этапах формирования дифференциального и интегрального исчисления. Что касается возражения... о том, что расстояние между двумя различными действительными числами не может быть бесконечно малым, Готфрид Вильгельм Лейбниц утверждал, что теория бесконечно малых чисел предполагает введение идеальных чисел, которые могут быть бесконечно малыми или бесконечно большими по сравнению с действительными числами, но которые должны были обладать теми же свойствами, что и последний.

Робинсон утверждал, что этот закон непрерывности Лейбница является предшественником принципа переноса . Робинсон продолжил:

Однако ни он, ни его ученики и преемники не смогли дать рационального развития, ведущего к системе такого рода. В результате теория бесконечно малых постепенно потеряла репутацию и в конечном итоге была заменена классической теорией пределов.

Робинсон продолжает:

... Идеи Лейбница могут быть полностью подтверждены и ... они ведут к новому и плодотворному подходу к классическому анализу и ко многим другим областям математики. Ключом к нашему методу является детальный анализ отношений между математическими языками и математическими структурами, лежащий в основе современной теории моделей .

В 1973 году интуиционист Аренд Хейтинг похвалил нестандартный анализ как «стандартную модель важных математических исследований».

Введение

Ненулевой элемент упорядоченного поля $\mathbb {F}$ бесконечно мал тогда и только тогда, когда его абсолютное значение меньше любого элемента $\mathbb {F}$ это в форме ${\frac {1}{n}}$, для $n$ стандартное натуральное число. Упорядоченные поля, содержащие бесконечно малые элементы, также называются неархимедовыми . В более общем смысле, нестандартный анализ — это любая форма математики, основанная на нестандартных моделях и принципе переноса . Поле, удовлетворяющее принципу переноса действительных чисел, называется вещественным закрытым полем , а нестандартный действительный анализ использует эти поля как нестандартные модели действительных чисел.

Оригинальный подход Робинсона был основан на этих нестандартных моделях поля действительных чисел. Его классическая фундаментальная книга по теме «Нестандартный анализ» была опубликована в 1966 году и издается до сих пор. На странице 88 Робинсон пишет:

Существование нестандартных моделей арифметики открыл Торальф Скулем (1934). Метод Скулема предвещает создание сверхдержавы [...]

Для разработки исчисления бесконечно малых необходимо решить несколько технических проблем. Например, недостаточно построить упорядоченное поле с бесконечно малыми значениями. См. статью о гипердействительных числах , где обсуждаются некоторые соответствующие идеи.

Основные определения

В этом разделе мы описываем один из простейших подходов к определению гиперреального поля. $^{*}\mathbb {R}$. Позволять $\mathbb {R}$ быть полем действительных чисел, и пусть $\mathbb {N}$ полукольцо натуральных чисел. Обозначим через $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ совокупность последовательностей действительных чисел. Поле $^{*}\mathbb {R}$ определяется как подходящее частное $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$, следующее. Возьмем неглавный ультрафильтр $F\subseteq P(\mathbb {N} )$. В частности, $F$ содержит фильтр Фреше . Рассмотрим пару последовательностей

$u=(u_{n}),v=(v_{n})\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$

Мы говорим, что $u$ и $v$ эквивалентны, если совпадают на множестве индексов, входящем в ультрафильтр, или в формулах:

$\{n\in \mathbb {N} :u_{n}=v_{n}\}\in F$

Фактор $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ по полученному отношению эквивалентности является гипердействительным полем $^{*}\mathbb {R}$, ситуация описывается формулой $^{*}\mathbb {R} ={\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}/{F}$.

Мотивация

Есть как минимум три причины рассмотреть нестандартный анализ: исторический, педагогический и технический.

Исторический

Большая часть самых ранних разработок исчисления бесконечно малых Ньютоном и Лейбницем была сформулирована с использованием таких выражений, как бесконечно малое число и исчезающая величина . Как отмечается в статье о гипердействительных числах , эти формулировки подверглись широкой критике со стороны Джорджа Беркли и других. Задача разработки последовательной и удовлетворительной теории анализа с использованием бесконечно малых впервые была решена Абрахамом Робинсоном.

В 1958 году Курт Шмиден и Детлеф Лаугвиц опубликовали статью «Расширение исчисления бесконечно малых». («Расширение исчисления бесконечно малых»), предложивший конструкцию кольца, содержащего бесконечно малые числа. Кольцо было построено из последовательностей действительных чисел. Две последовательности считались эквивалентными, если они различались лишь конечным числом элементов. Арифметические операции определялись поэлементно. Однако построенное таким образом кольцо содержит делители нуля и поэтому не может быть полем.

Педагогический

Х. Джером Кейслер , Дэвид Талл и другие преподаватели утверждают, что использование бесконечно малых более интуитивно понятно и легче усваивается студентами, чем подход «эпсилон-дельта» к аналитическим концепциям. Этот подход иногда может обеспечить более простые доказательства результатов, чем соответствующая эпсилон-дельта-формулировка доказательства. Большая часть упрощения достигается за счет применения очень простых правил нестандартной арифметики, а именно:

бесконечно малый × конечный = бесконечно малый

бесконечно малый + бесконечно малый = бесконечно малый

вместе с принципом передачи, упомянутым ниже.

Другое педагогическое применение нестандартного анализа – это трактовка Эдвардом Нельсоном теории случайных процессов .

Технический

Некоторые недавние работы были проведены в области анализа с использованием концепций нестандартного анализа, особенно при исследовании предельных процессов статистики и математической физики. Серджио Альбеверио и др. обсудить некоторые из этих приложений.

Подходы к нестандартному анализу

Существует два основных различных подхода к нестандартному анализу: семантический или теоретико-модельный подход и синтаксический подход. Оба эти подхода применимы и к другим областям математики, выходящим за рамки анализа, включая теорию чисел, алгебру и топологию.

Оригинальная формулировка нестандартного анализа Робинсона попадает в категорию семантического подхода . Как развито им в его работах, оно основано на изучении моделей (в частности насыщенных моделей ) теории . С момента первого появления работы Робинсона был разработан более простой семантический подход (благодаря Элиасу Закону) с использованием чисто теоретико-множественных объектов, называемых суперструктурами . В этом подходе модель теории заменяется объектом, называемым V ( S ) над множеством S. надстройкой Начиная с надстройки V ( S ), строится другой объект * V ( S ), используя сверхстепенную конструкцию вместе с отображением V ( S ) → * V ( S ), удовлетворяющим принципу переноса . Отображение * связывает формальные свойства V ( S ) и * V ( S ) . Более того, можно рассмотреть более простую форму насыщения, называемую счетным насыщением. Этот упрощенный подход также больше подходит для использования математиками, не являющимися специалистами в теории моделей или логике.

Синтаксический подход требует гораздо меньше логики и теории моделей для понимания и использования. Этот подход был разработан в середине 1970-х годов математиком Эдвардом Нельсоном . Нельсон представил полностью аксиоматическую формулировку нестандартного анализа, которую он назвал теорией внутренних множеств (IST). IST является расширением теории множеств Цермело-Френкеля (ZF) в том смысле, что наряду с базовым бинарным отношением принадлежности ∈ он вводит новый стандарт унарных предикатов , который может применяться к элементам математической вселенной вместе с некоторыми аксиомами для рассуждений с этим новым предикат.

Синтаксический нестандартный анализ требует большой осторожности при применении принципа формирования множеств (формально известного как аксиома понимания ), который математики обычно принимают как должное. Как указывает Нельсон, ошибка в рассуждениях IST заключается в неправильном формировании множества . Например, в IST нет множества, элементами которого являются именно стандартные целые числа (здесь под стандартом понимается новый предикат). Чтобы избежать неправильного формирования наборов, для определения подмножеств нужно использовать только предикаты ZFC.

Другим примером синтаксического подхода является альтернативная теория множеств Вопенки . который пытается найти аксиомы теории множеств, более совместимые с нестандартным анализом, чем аксиомы ZF.

книга Робинсона

Книга Абрахама Робинсона «Нестандартный анализ» была опубликована в 1966 году. Некоторые темы, развитые в книге, уже присутствовали в его одноименной статье 1961 года (Робинсон, 1961). Помимо первого полного рассмотрения нестандартного анализа, книга содержит подробный исторический раздел, в котором Робинсон оспаривает некоторые из существующих мнений по истории математики, основанных на восприятии бесконечно малых величин, существовавших до нестандартного анализа, как противоречивых сущностей. Таким образом, Робинсон оспаривает идею о том, что Огюстена-Луи Коши « теорема суммы » в Курсе анализа относительно сходимости ряда непрерывных функций была неверной, и предлагает интерпретацию ее гипотезы, основанную на бесконечно малых, которая приводит к правильной теореме. .

Проблема инвариантного подпространства

Абрахам Робинсон и Аллен Бернштейн использовали нестандартный анализ, чтобы доказать, что каждый полиномиально компактный линейный оператор в гильбертовом пространстве имеет инвариантное подпространство .

Учитывая оператор T гильбертовом пространстве H , рассмотрим орбиту точки v в H при итерациях T. в Применяя Грама-Шмидта, можно получить ортонормированный базис ( e _i ) для H . Пусть ( H _i ) будет соответствующей вложенной последовательностью «координатных» подпространств H . Матрица a _i,j, выражающая T относительно ( e _i ) , почти верхнетреугольная в том смысле, что коэффициенты a _{i +1, i} являются единственными ненулевыми субдиагональными коэффициентами. Бернштейн и Робинсон показывают, что если T полиномиально компактен, то существует гиперконечный индекс w такой, что матричный коэффициент a _{w +1, w} бесконечно мал. Далее рассмотрим подпространство H _w в * H . Если y в H _w имеет конечную норму, то T ( y ) бесконечно близко к H _w .

Теперь пусть T _w — оператор $P_{w}\circ T$ действующий на H _w , где P _w — ортогональный проектор на H _w . Обозначим через q многочлен такой, что q ( T ) компактен. Подпространство H _w является внутренним гиперконечной размерности. Путем переноса верхней триангуляризации операторов конечномерного комплексного векторного пространства существует внутренний ортонормированный базис гильбертова пространства ( e _k ) для H _w, где k принимает значения от 1 до w , такой, что каждое из соответствующих k -мерных подпространств E _k является Т -инвариант. Обозначим через проекцию _Πk на Ek _{подпространство} . Для ненулевого вектора x конечной нормы в H можно предположить, что q ( T )( x ) не равно нулю или | q ( ​​Т )( Икс )| > 1, чтобы зафиксировать идеи. Поскольку q ( T ) компактный оператор, ( q ( T _w ))( x ) бесконечно близок к q ( T )( x ) , и поэтому также | q ( ​​Т _ш )( Икс )| > 1 . Теперь пусть j — наибольший индекс такой, что ${\textstyle \left|q(T_{w})\left(\prod _{j}(x)\right)\right|<{\tfrac {1}{2}}}$. Тогда пространство всех стандартных элементов, бесконечно близких к E _j, является искомым инвариантным подпространством.

Прочитав препринт статьи Бернштейна и Робинсона, Пол Халмос по-новому интерпретировал их доказательство, используя стандартные методы. Обе статьи появились подряд в одном и том же выпуске Pacific Journal of Mathematics . Некоторые идеи, использованные в доказательстве Халмоша, вновь появились много лет спустя в собственной работе Халмоша по квазитреугольным операторам.

Другие приложения

Остальные результаты были получены по линии переосмысления или опровержения ранее известных результатов. Особый интерес представляет доказательство Тетуро Камаэ. индивидуальной эргодической теоремы Л. ван ден Дриса и Алекса Уилки или трактовки теоремы Громова о группах полиномиального роста . Нестандартный анализ использовался Ларри Маневицем и Шмуэлем Вайнбергером для доказательства результатов в алгебраической топологии.

Однако реальный вклад нестандартного анализа заключается в концепциях и теоремах, которые используют новый расширенный язык нестандартной теории множеств. Среди списка новых приложений математики — новые подходы к теории вероятностей. гидродинамика, теория меры, негладкий и гармонический анализ, и т. д.

Существуют также приложения нестандартного анализа к теории случайных процессов, в частности, к конструкциям броуновского движения как случайных блужданий . Альбеверио и др. иметь представление об этой области исследований.

С точки зрения аксиоматики аксиома сверхуниверсальности Боффа нашла применение в качестве основы аксиоматического нестандартного анализа.

Приложения к исчислению

В качестве приложения к образованию математическому Х. Джером Кейслер написал «Элементарное исчисление: бесконечно малый подход» . Охватывая нестандартное исчисление , он развивает дифференциальное и интегральное исчисление с использованием гипердействительных чисел, включающих бесконечно малые элементы. Эти применения нестандартного анализа зависят от существования стандартной части конечного гипервещества r . Стандартная часть r , обозначаемая st( r ) , представляет собой стандартное действительное число, бесконечно близкое к r . Одним из устройств визуализации, которые использует Кейслер, является воображаемый микроскоп с бесконечным увеличением, позволяющий различать точки, бесконечно близкие друг к другу. Книга Кейслера больше не издается, но ее можно бесплатно найти на его веб-сайте; см. ссылки ниже.

Критика

Несмотря на элегантность и привлекательность некоторых аспектов нестандартного анализа, критика также высказывалась, например, со стороны Эрретта Бишопа , Алена Конна и Пола Халмоша , что документально подтверждено критикой нестандартного анализа .

Логическая структура

Для любого множества S надстройкой над множеством S является множество V ( S ), определенное условиями

$V_{0}(S)=S,$

$V_{n+1}(S)=V_{n}(S)\cup \wp (V_{n}(S)),$

$V(S)=\bigcup _{n\in \mathbf {N} }V_{n}(S).$

Таким образом, надстройка над S получается, начиная с S и повторяя операцию присоединения к степеней S множеству и объединения полученной последовательности. Надстройка над действительными числами включает в себя множество математических структур: например, она содержит изоморфные копии всех сепарабельных метрических пространств и метризуемых топологических векторных пространств . Практически вся математика, интересующая аналитика, происходит внутри V ( R ) .

Рабочий вид нестандартного анализа — это набор * R и отображение * : V ( R ) → V (* R ), которое удовлетворяет некоторым дополнительным свойствам. Чтобы сформулировать эти принципы, сначала приведем некоторые определения.

Формула тогда и только тогда , имеет ограниченную количественную оценку когда единственные квантификаторы, встречающиеся в формуле, имеют диапазон, ограниченный наборами, то есть все они имеют форму:

$\forall x\in A,\Phi (x,\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})$

$\exists x\in A,\Phi (x,\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})$

Например, формула

$\forall x\in A,\ \exists y\in 2^{B},\quad x\in y$

имеет ограниченную квантификацию, универсальная квантифицированная переменная x варьируется в пределах A , экзистенциально квантифицированная переменная y колеблется в пределах набора B. степеней С другой стороны,

$\forall x\in A,\ \exists y,\quad x\in y$

не имеет ограниченной количественной оценки, поскольку количественная оценка y не ограничена.

Внутренние наборы

Множество x является внутренним тогда и только тогда, когда x является элементом * A для некоторого элемента A из V ( R ) . * A само по себе является внутренним, если A принадлежит V ( R ) .

Теперь сформулируем основную логическую структуру нестандартного анализа:

• Принцип расширения является тождественным на R. : Отображение *
• Принцип переноса : для любой формулы P ( x ₁ , ..., x _n ) с ограниченной количественной оценкой и со свободными переменными 1 _, ..., x _n и для любых элементов A ₁ , ..., An _из x V ( R ) имеет место следующая эквивалентность:

$P(A_{1},\ldots ,A_{n})\iff P(*A_{1},\ldots ,*A_{n})$

• Счетное насыщение : если { A _k } _{k ∈ N} — убывающая последовательность непустых внутренних множеств, где k находится в пределах натуральных чисел, то

$\bigcap _{k}A_{k}\neq \emptyset$

С помощью ультрапроизведений можно показать, что такое отображение * существует. Элементы V ( R ) называются стандартными . Элементы * R называются гипердействительными числами .

Первые последствия

Символ * N обозначает нестандартные натуральные числа. надмножество N. По принципу расширения это Множество * N − N непусто. Чтобы убедиться в этом, примените счетное насыщение к последовательности внутренних множеств.

$A_{n}=\{k\in {^{*}\mathbf {N} }:k\geq n\}$

Последовательность { A _n } _{n ∈ N} имеет непустое пересечение, что и доказывает результат.

Начнем с некоторых определений: гиперреалы r , s бесконечно близки тогда и только тогда, когда

$r\cong s\iff \forall \theta \in \mathbf {R} ^{+},\ |r-s|\leq \theta$

Гипердействительный r является бесконечно малым тогда и только тогда, когда он бесконечно близок к 0. Например, если n является гиперцелым числом , т.е. элементом * N − N , то 1/ n является бесконечно малым. Гиперреальное r ограничено ) тогда и только тогда, когда его абсолютное значение (или конечно доминирует (меньше) стандартного целого числа. Ограниченные гиперреалы образуют подкольцо * R, содержащее реалии. В этом кольце бесконечно малые гиперреальности являются идеалом .

Множество ограниченных гиперреальности или множество бесконечно малых гиперреальности являются внешними подмножествами V (* R ) ; на практике это означает, что ограниченная количественная оценка, где границей является внутренний набор, никогда не выходит за пределы этих наборов.

Пример : Плоскость ( x , y ) с x и y в пределах * R является внутренней и является моделью плоской евклидовой геометрии. Плоскость с x и y ограниченными значениями (аналог плоскости Дена ) является внешней, и в этой ограниченной плоскости нарушается постулат параллельности. Например, любая линия, проходящая через точку (0, 1) на оси y и имеющая бесконечно малый наклон, параллельна оси x .

Теорема. Для любого ограниченного гипервещества r существует единственное стандартное число, обозначаемое st( r ), бесконечно близкое к r . Отображение st является кольцевым гомоморфизмом кольца ограниченных гипервеществ в R .

Отображение st также является внешним.

Один из способов мышления о стандартной части гиперреальности - это дедекиндовские разрезы ; любая ограниченная гиперреальная s определяет разрез, рассматривая пару множеств ( L , U ) , где L — это набор стандартных рациональных чисел a, меньших, чем s , а U — это набор стандартных рациональных чисел, b больших, чем s . действительное число, соответствующее ( L , U ), Видно, что удовлетворяет условию быть стандартной частью s .

Одна интуитивная характеристика непрерывности такова:

Теорема. Действительная функция f на интервале [ a , b ] непрерывна тогда и только тогда, когда для каждого гипервещественного x в интервале *[ a , b ] имеем: * f ( x ) ≅ * f (st( x ) ) .

( см. Микронепрерывность подробнее ). Сходным образом,

Теорема. Действительная функция f дифференцируема по вещественному значению x тогда и только тогда, когда для каждого бесконечно малого гипердействительного числа h значение

$f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {{^{*}f}(x+h)-{^{*}f}(x)}{h}}\right)$

существует и не зависит от h . В этом случае f ′( x ) является действительным числом и является производной f в точке x .

κ -насыщенность

Можно «улучшить» насыщенность, разрешив пересекаться коллекциям более высокой мощности. Модель является κ - насыщенной, если всякий раз, когда $\{A_{i}\}_{i\in I}$ представляет собой совокупность внутренних множеств со свойством конечного пересечения и $|I|\leq \kappa$,

$\bigcap _{i\in I}A_{i}\neq \emptyset$

Это полезно, например, в топологическом пространстве X , где нам может понадобиться |2 ^Х | -насыщение, чтобы гарантировать, что пересечение стандартной базы соседства непусто.

Для любого кардинала κ -насыщенное расширение . κ можно построить

См. также

• переиграть
• Нестандартное исчисление
• Принцип передачи
• Теория внутренних множеств
• Элементарное исчисление: бесконечно малый подход
• Гиперреальное число
• Гиперцелое число
• бесконечно малый
• Сюрреалистический номер
• Неклассический анализ
• Гладкий бесконечно малый анализ
• Критика нестандартного анализа
• Влияние нестандартного анализа
• Гиперконечный набор
• Конструктивный нестандартный анализ
• Исчисление стало проще

Библиография

• Кроуэлл, Исчисление . Текст с использованием бесконечно малых.
• Роберт Голдблатт (1998) Лекции о гиперреальности . Введение в нестандартный анализ. Тексты для выпускников по математике , 188. Springer-Verlag MR. 1643950
• Эрмосо, Нестандартный анализ и гиперреальность . Нежное знакомство.
• Херд, А.Э. и Леб, Пенсильвания: Введение в нестандартный реальный анализ , Лондон, Academic Press, 1985. ISBN   0-12-362440-1
• Кейслер, Х. Джером. Элементарное исчисление: подход с использованием бесконечно малых . Включает аксиоматическую трактовку гиперреальности и доступен бесплатно по лицензии Creative Commons.
• Кейслер, Х. Джером: бесконечно малый подход к стохастическому анализу , том. 297 мемуаров Американского математического общества, 1984.
• Наранонг С., Нестандартный анализ с теоретико-модельной точки зрения . Обтекаемое вступление в духе Робинзона.
• Робинсон, А. Нестандартный анализ. Голландский Акад. Научный Учеб. Сер. А 64 = День. Математика. 23 (1961) 432–440.
• Роберт, А. Нестандартный анализ , Уайли, Нью-Йорк, 1988. ISBN   0-471-91703-6
• Сколем, Т. (1934) «О нехарактеризуемости числовых рядов посредством конечного или счетного числа утверждений с исключительно числовыми переменными», Fundamenta Mathematicae 23: 150–161.
• Строян К. Краткое введение в исчисление бесконечно малых
• Гордон Э., Кусраев А. и Кутателадзе С. Инфинитезимальный анализ
• Тао, Т. Эпсилон комнаты, II. Страницы третьего курса математического блога. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 2010 г. (стр. 209–229).

Дальнейшее чтение

• Э. Розингер, [math/0407178]. Краткое введение в нестандартный анализ . arxiv.org.

Внешние ссылки

• Цитаты, связанные с нестандартным анализом , в Wikiquote
• Призраки ушедших величин Линдси Киган. Архивировано 25 апреля 2018 года в Wayback Machine.