Диск (математика)

Диск с
окружность С

диаметр D

радиус R

центр или начало координат O

В геометрии диск . ( также пишется диск ) ^[1] — это область на плоскости, ограниченная кругом . Диск называется замкнутым , если он содержит окружность, образующую его границу, и открытым , если его нет. ^[2]

Для радиуса, $r$ , открытый диск обычно обозначается как $D_{r}$ и закрытый диск ${\overline {D_{r}}}$ . Однако в области топологии закрытый диск обычно обозначается как $D^{2}$ пока открытый диск $\operatorname {Int} D^{2}$ .

Формулы

В декартовых координатах открытый диск центра $(a,b)$ а радиус R определяется по формуле: ^[1]

D=\{(x,y)\in {\mathbb {R} ^{2}}:(x-a)^{2}+(y-b)^{2}<R^{2}\}

а закрытый диск с тем же центром и радиусом определяется формулой:

{\overline {D}}=\{(x,y)\in {\mathbb {R} ^{2}}:(x-a)^{2}+(y-b)^{2}\leq R^{2}\}.

Площадь равна закрытого или открытого диска радиуса R π R. ² (см. область диска ). ^[3]

Характеристики

Диск имеет круговую симметрию . ^[4]

Открытый диск и закрытый диск топологически не эквивалентны (то есть не гомеоморфны ), так как обладают топологическими свойствами, отличными друг от друга. Например, каждый закрытый диск компактен , тогда как каждый открытый диск не компактен. ^[5] Однако с точки зрения алгебраической топологии у них много общих свойств: оба они стягиваемы. ^[6] и поэтому гомотопически эквивалентны одной точке. Отсюда следует, что их фундаментальные группы тривиальны, а все группы гомологий тривиальны, кроме 0-й, изоморфной Z . Эйлерова характеристика точки (а значит, и замкнутого или открытого диска) равна 1. ^[7]

Каждое непрерывное отображение замкнутого диска в себя имеет хотя бы одну неподвижную точку (мы не требуем, чтобы отображение было биективным или даже сюръективным ); это случай n = 2 теоремы Брауэра о неподвижной точке . ^[8] Утверждение неверно для открытого диска: ^[9]

Рассмотрим, например, функцию $f(x,y)=\left({\frac {x+{\sqrt {1-y^{2}}}}{2}},y\right)$ который отображает каждую точку открытого единичного диска в другую точку открытого единичного диска справа от данной. Но для замкнутого единичного диска он фиксирует каждую точку полукруга. $x^{2}+y^{2}=1,x>0.$

Как статистическое распределение

Среднее расстояние до локации от точек на диске

В статистике иногда встречается равномерное распределение на единичном круговом диске. Чаще всего это происходит при исследовании операций в области математики городского планирования, где его можно использовать для моделирования населения города. В других целях можно воспользоваться тем фактом, что это распределение, для которого легко вычислить вероятность того, что заданный набор линейных неравенств будет удовлетворен. ( Гауссово распределение на плоскости требует числовой квадратуры .)

«Гениальный аргумент с помощью элементарных функций» показывает, что среднее евклидово расстояние между двумя точками диска равно $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ 128 / 45π ⁠ ≈ 0.90541$ , ^[10] в то время как прямое интегрирование в полярных координатах показывает, что среднеквадратичное расстояние равно $1$ .

Если нам дано произвольное место на расстоянии $q$ от центра диска, то также представляет интерес определить среднее расстояние $b (q)$ от точек распределения до этого места и средний квадрат таких расстояний. Последнее значение можно вычислить непосредственно как $q 2 + ⁠ 1 / 2 ⁠$ .

Среднее расстояние до произвольной внутренней точки

Среднее расстояние от диска до внутренней точки

Чтобы найти $b (q),$ нам нужно отдельно рассмотреть случаи, когда местоположение является внутренним или внешним, т.е. когда $q ≶ 1$ , и мы обнаруживаем, что в обоих случаях результат может быть выражен только через полные эллиптические интегралы .

Если мы рассматриваем внутреннее местоположение, наша цель (глядя на диаграмму) состоит в том, чтобы вычислить ожидаемое значение $r$ при распределении, плотность которого равна $⁠ 1 / π ⁠$ для $0 \leq r \leq s (θ)$ , интегрирование в полярных координатах с центром в фиксированном месте, для которого площадь ячейки равна $r d r dθ$ ; следовательно $b(q)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\textrm {d}}\theta \int _{0}^{s(\theta )}r^{2}{\textrm {d}}r={\frac {1}{3\pi }}\int _{0}^{2\pi }s(\theta )^{3}{\textrm {d}}\theta .$

Здесь $s (θ)$ можно найти через $q$ и $θ,$ используя закон косинусов . Шаги, необходимые для вычисления интеграла, а также несколько ссылок можно найти в статье Лью и др.; ^[10] результат таков, что $b(q)={\frac {4}{9\pi }}{\biggl \{}4(q^{2}-1)K(q^{2})+(q^{2}+7)E(q^{2}){\biggr \}}$ где $K$ и $E$ — полные эллиптические интегралы первого и второго рода. ^[11] $б (0) = ⁠ 2/3 ⁠;$ $б (1) = ⁠ 32 / 9π ⁠ \approx 1.13177$ .

Среднее расстояние до произвольной внешней точки

Среднее расстояние от диска до внешней точки

Обращаясь к внешнему расположению, мы можем аналогичным образом настроить интеграл, на этот раз получив

$b(q)={\frac {2}{3\pi }}\int _{0}^{{\textrm {sin}}^{-1}{\tfrac {1}{q}}}{\biggl \{}s_{+}(\theta )^{3}-s_{-}(\theta )^{3}{\biggr \}}{\textrm {d}}\theta$ где закон косинусов говорит нам, что $s + (θ)$ и $s - (θ)$ являются корнями для $s$ уравнения $s^{2}-2qs\,{\textrm {cos}}\theta +q^{2}\!-\!1=0.$ Следовательно $b(q)={\frac {4}{3\pi }}\int _{0}^{{\textrm {sin}}^{-1}{\tfrac {1}{q}}}{\biggl \{}3q^{2}{\textrm {cos}}^{2}\theta {\sqrt {1-q^{2}{\textrm {sin}}^{2}\theta }}+{\Bigl (}1-q^{2}{\textrm {sin}}^{2}\theta {\Bigr )}^{\tfrac {3}{2}}{\biggl \}}{\textrm {d}}\theta .$ Мы можем заменить $u = q sinθ,$ чтобы получить ${\begin{aligned}b(q)&={\frac {4}{3\pi }}\int _{0}^{1}{\biggl \{}3{\sqrt {q^{2}-u^{2}}}{\sqrt {1-u^{2}}}+{\frac {(1-u^{2})^{\tfrac {3}{2}}}{\sqrt {q^{2}-u^{2}}}}{\biggr \}}{\textrm {d}}u\\[0.6ex]&={\frac {4}{3\pi }}\int _{0}^{1}{\biggl \{}4{\sqrt {q^{2}-u^{2}}}{\sqrt {1-u^{2}}}-{\frac {q^{2}-1}{q}}{\frac {\sqrt {1-u^{2}}}{\sqrt {q^{2}-u^{2}}}}{\biggr \}}{\textrm {d}}u\\[0.6ex]&={\frac {4}{3\pi }}{\biggl \{}{\frac {4q}{3}}{\biggl (}(q^{2}+1)E({\tfrac {1}{q^{2}}})-(q^{2}-1)K({\tfrac {1}{q^{2}}}){\biggr )}-(q^{2}-1){\biggl (}qE({\tfrac {1}{q^{2}}})-{\frac {q^{2}-1}{q}}K({\tfrac {1}{q^{2}}}){\biggr )}{\biggr \}}\\[0.6ex]&={\frac {4}{9\pi }}{\biggl \{}q(q^{2}+7)E({\tfrac {1}{q^{2}}})-{\frac {q^{2}-1}{q}}(q^{2}+3)K({\tfrac {1}{q^{2}}}){\biggr \}}\end{aligned}}$ используя стандартные интегралы. ^[12]

Следовательно, снова $b (1) = ⁠ 32 / 9π ⁠$ , а также ^[13] $\lim _{q\to \infty }b(q)=q+{\tfrac {1}{8q}}.$

См. также

Единичный диск , диск радиуса один
Кольцо (математика) , область между двумя концентрическими кругами.
Шар (математика) — обычный термин для обозначения трёхмерного аналога диска.
Дисковая алгебра , пространство функций на диске.
Круглый сегмент
Ортоцентроидальный диск , содержащий определенные центры треугольника.

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Клэпхэм, Кристофер; Николсон, Джеймс (2014), Краткий Оксфордский математический словарь , Oxford University Press, стр. 138, ISBN 9780199679591 .
^ Арнольд, Б.Х. (2013), Интуитивные концепции в элементарной топологии , Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications, стр. 58, ISBN 9780486275765 .
^ Ротман, Джозеф Дж. (2013), «Путешествие в математику: введение в доказательства» , Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications, стр. 44, ISBN 9780486151687 .
^ Альтманн, Саймон Л. (1992). Иконы и симметрии . Издательство Оксфордского университета. ISBN 9780198555995 . круговая симметрия диска.
^ Модлин, Тим (2014), Новые основы физической геометрии: теория линейных структур , Oxford University Press, стр. 339, ISBN 9780191004551 .
^ Коэн, Дэниел Э. (1989), Комбинаторная теория групп: топологический подход , Тексты для студентов Лондонского математического общества, том. 14, Издательство Кембриджского университета, с. 79, ISBN 9780521349369 .
^ В более высоких измерениях эйлерова характеристика закрытого шара остается равной +1, но эйлерова характеристика открытого шара равна +1 для четномерных шаров и -1 для нечетномерных шаров. Видеть Клейн, Дэниел А.; Рота, Джан-Карло (1997), Введение в геометрическую вероятность , Lezioni Lincee, Cambridge University Press, стр. 46–50 .
^ Арнольд (2013) , с. 132.
^ Арнольд (2013) , Пр. 1, с. 135.
^ Jump up to: ^а ^б Дж. С. Лью и др., «О средних расстояниях в круглом диске» (1977).
^ Абрамовиц и Стегун , 17.3.
^ Градштейн и Рыжик 3.155.7 и 3.169.9, с учетом разницы в обозначениях Абрамовица и Стегуна. (Сравните A&S 17.3.11 с G&R 8.113.) Эта статья соответствует обозначениям A&S.
^ Абрамовиц и Стегун, 17.3.11 и далее.

[odm-1] Jump up to: ^а ^б Клэпхэм, Кристофер; Николсон, Джеймс (2014), Краткий Оксфордский математический словарь , Oxford University Press, стр. 138, ISBN 9780199679591 .

[2] Арнольд, Б.Х. (2013), Интуитивные концепции в элементарной топологии , Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications, стр. 58, ISBN 9780486275765 .

[3] Ротман, Джозеф Дж. (2013), «Путешествие в математику: введение в доказательства» , Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications, стр. 44, ISBN 9780486151687 .

[4] Альтманн, Саймон Л. (1992). Иконы и симметрии . Издательство Оксфордского университета. ISBN 9780198555995 . круговая симметрия диска.

[5] Модлин, Тим (2014), Новые основы физической геометрии: теория линейных структур , Oxford University Press, стр. 339, ISBN 9780191004551 .

[6] Коэн, Дэниел Э. (1989), Комбинаторная теория групп: топологический подход , Тексты для студентов Лондонского математического общества, том. 14, Издательство Кембриджского университета, с. 79, ISBN 9780521349369 .

[7] В более высоких измерениях эйлерова характеристика закрытого шара остается равной +1, но эйлерова характеристика открытого шара равна +1 для четномерных шаров и -1 для нечетномерных шаров. Видеть Клейн, Дэниел А.; Рота, Джан-Карло (1997), Введение в геометрическую вероятность , Lezioni Lincee, Cambridge University Press, стр. 46–50 .

[8] Арнольд (2013) , с. 132.

[9] Арнольд (2013) , Пр. 1, с. 135.

[lew-10] Jump up to: ^а ^б Дж. С. Лью и др., «О средних расстояниях в круглом диске» (1977).

[11] Абрамовиц и Стегун , 17.3.

[12] Градштейн и Рыжик 3.155.7 и 3.169.9, с учетом разницы в обозначениях Абрамовица и Стегуна. (Сравните A&S 17.3.11 с G&R 8.113.) Эта статья соответствует обозначениям A&S.

[13] Абрамовиц и Стегун, 17.3.11 и далее.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]