Jump to content

Начальная топология

(Перенаправлено из исходной единой структуры )

В общей топологии и смежных областях математики исходная топология (или индуцированная топология) [1] [2] или слабая топология , или предельная топология , или проективная топология ) на множестве относительно семейства функций на это самая грубая топология на что делает эти функции непрерывными .

Конструкции топологии подпространства и топологии произведения являются частными случаями исходных топологий. Действительно, первоначальную конструкцию топологии можно рассматривать как их обобщение.

Двойственное , которая для данного семейства функций , понятие — это окончательная топология отображающихся в множество это лучшая топология на что делает эти функции непрерывными.

Определение

[ редактировать ]

Учитывая набор и индексированная семья топологических пространств с функциями исходная топология на это самая грубая топология на такой, что каждый является непрерывным .

Определение в терминах открытых множеств

Если это семейство топологий индексируется то с наименьшей верхней оценкой топология из этих топологий является самой грубой топологией на это лучше, чем каждый Эта топология всегда существует и равна топологии, порожденной [3]

Если для каждого обозначает топологию на затем это топология на , и исходная топология по отображениям является наименьшей верхней границей топологии -индексированное семейство топологий (для ). [3] Явно, исходная топология представляет собой совокупность открытых множеств, порожденных всеми множествами вида где представляет собой открытый набор в для некоторых при конечных пересечениях и произвольных объединениях.

Наборы формы часто называют наборами цилиндров . Если содержит ровно один элемент , то все открытые множества исходной топологии представляют собой комплекты цилиндров.

Некоторые топологические конструкции можно рассматривать как частные случаи исходной топологии.

Характеристики

[ редактировать ]

Характерное свойство

[ редактировать ]

Начальная топология на можно охарактеризовать следующим характерным свойством:
Функция из какого-то пространства к непрерывно тогда и только тогда, когда является непрерывным для каждого [4]

Характеристическое свойство исходной топологии
Characteristic property of the initial topology

Обратите внимание: несмотря на то, что они выглядят очень похоже, это не универсальное свойство . Категориальное описание приведено ниже.

Фильтр на сходится к точке тогда и только тогда, когда префильтр сходится к для каждого [4]

По универсальному свойству топологии произведения мы знаем, что любое семейство непрерывных отображений определяет уникальное непрерывное отображение

Эта карта известна как оценочная карта . [ нужна ссылка ]

Семейство карт говорят, что отдельные точки в если для всех в существует какой-то такой, что Семья разделяет точки тогда и только тогда, когда соответствующая оценочная карта является инъективным .

Карта оценки будет топологическим вложением тогда и только тогда, когда имеет начальную топологию, определяемую отображениями и это семейство карт разделяет точки в

Хаусдорфность

Если имеет начальную топологию, индуцированную и если каждый есть Хаусдорф, тогда является хаусдорфовым пространством тогда и только тогда, когда эти отображения разделяют точки на [3]

Транзитивность исходной топологии

[ редактировать ]

Если имеет начальную топологию, индуцированную -индексированное семейство отображений и если для каждого топология на — начальная топология, индуцированная некоторыми -индексированное семейство отображений (как колеблется в пределах ), то исходная топология на вызванный равна исходной топологии, индуцированной -индексированное семейство отображений как колеблется в пределах и колеблется в пределах [5] Теперь приводятся несколько важных следствий из этого факта.

В частности, если то топология подпространства, которая наследует от равна исходной топологии, индуцированной отображением включения (определено ). Следовательно, если имеет начальную топологию, индуцированную то топология подпространства, которая наследует от равна исходной топологии, индуцированной на из-за ограничений принадлежащий к [4]

продукта Топология на равна исходной топологии, индуцированной каноническими проекциями как колеблется в пределах [4] Следовательно, исходная топология на вызванный равен прообразу топологии произведения на по оценочной карте [4] Более того, если карты отдельные пункты по тогда оценочное отображение является гомеоморфизмом на подпространство пространства продукта [4]

Отделение точек от замкнутых множеств

[ редактировать ]

Если пространство поставляется с топологией, часто полезно знать, используется ли топология на — начальная топология, индуцированная некоторым семейством отображений на В этом разделе дано достаточное (но не необходимое) условие.

Семейство карт отделяет точки от замкнутых множеств в если для всех закрытых множеств в и все существует какой-то такой, что где обозначает оператор замыкания .

Теорема . Семейство непрерывных карт отделяет точки от замкнутых множеств тогда и только тогда, когда цилиндр устанавливает для открыть в сформировать основу для топологии на

Отсюда следует, что всякий раз, когда отделяет точки от замкнутых множеств, пространство имеет начальную топологию, индуцированную отображениями Обратное неверно, поскольку обычно наборы цилиндров образуют только подбазу (а не базу) исходной топологии.

Если пространство является T 0 пространством , то любой набор отображений который отделяет точки от замкнутых множеств в также необходимо разделить точки. В этом случае оценочная карта будет вложением.

Исходная однородная структура

[ редактировать ]

Если представляет собой семейство однородных структур на индексируется тогда наименьшая верхняя граница однородной структуры представляет собой наиболее грубую однородную структуру на это лучше, чем каждый Эта форма всегда существует и равна фильтру на генерируется подбазой фильтра [6] Если топология на индуцированный однородной структурой тогда топология на связанная с наименьшей верхней границей однородной структуры, равна топологии наименьшей верхней границы [6]

Теперь предположим, что это семейство карт и для каждого позволять быть однородной структурой на Тогда исходная однородная структура по отображениям уникальная грубейшая однородная структура на делая все равномерно непрерывный . [6] Он равен наименьшей верхней границе однородной структуры -индексированное семейство однородных структур (для ). [6] Топология на вызванный это самая грубая топология на такой, что каждый является непрерывным. [6] Исходная однородная структура также равна самой грубой однородной структуре такой, что тождественные отображения равномерно непрерывны. [6]

Хаусдорфнесс : Топология на индуцированный исходной однородной структурой является Хаусдорфом тогда и только тогда, когда различны ( ) то существует некоторый и немного окружения из такой, что [6] Более того, если для каждого индекса топология на вызванный является Хаусдорфом, то топология на индуцированный исходной однородной структурой является Хаусдорфом тогда и только тогда, когда отображения отдельные пункты по [6] (или, что то же самое, тогда и только тогда, когда карта оценки является инъективным)

Равномерная непрерывность : Если — исходная равномерная структура, индуцированная отображениями тогда функция из некоторого однородного пространства в равномерно непрерывен тогда и только тогда, когда равномерно непрерывен для каждого [6]

Фильтр Коши : Фильтр на это фильтр Коши на тогда и только тогда, когда это предварительный фильтр Коши на для каждого [6]

Транзитивность исходной однородной структуры » слово «топология» заменить на «однородная структура» : Если в приведенном выше утверждении о « транзитивности исходной топологии , то полученное утверждение также будет верным.

Категориальное описание

[ редактировать ]

На языке теории категорий исходную конструкцию топологии можно описать следующим образом. Позволять быть функтором из дискретной категории к категории топологических пространств какие карты . Позволять быть обычным забывчивым функтором из к . Карты тогда можно рассматривать как конус из к То есть, является объектом конусов категория Точнее, этот конус определяет -структурированный косок в

Забывчивый функтор вы представите функционера . Характеристическое свойство исходной топологии эквивалентно утверждению о существовании универсального морфизма из к то есть конечный объект в категории
Явно это состоит из объекта в вместе с морфизмом такое, что для любого объекта в и морфизм существует единственный морфизм такая, что следующая диаграмма коммутирует:

Задание размещение исходной топологии на продолжается до функтора который является правосопряженным к забывчивому функтору Фактически, является правой противоположностью ; с является тождественным функтором на

См. также

[ редактировать ]
  1. ^ Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN  978-0-07-054236-5 . OCLC   21163277 .
  2. ^ Адамсон, Иэн Т. (1996). «Индуцированные и коиндуцированные топологии» . Рабочая тетрадь по общей топологии . Биркхойзер, Бостон, Массачусетс. стр. 23–30. дои : 10.1007/978-0-8176-8126-5_3 . ISBN  978-0-8176-3844-3 . Проверено 21 июля 2020 г. ... топология, индуцированная на E семейством отображений ...
  3. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с Гротендик 1973 , с. 1.
  4. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с д и ж Гротендик 1973 , с. 2.
  5. ^ Гротендик 1973 , стр. 1–2.
  6. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с д и ж г час я дж Гротендик 1973 , с. 3.

Библиография

[ редактировать ]
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 5ead987f197decd5d589c251a1ac9471__1708371000
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/5e/71/5ead987f197decd5d589c251a1ac9471.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Initial topology - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)