Плотный набор

В топологии и смежных областях математики подмножество A если топологического пространства X называется плотным в X, каждая точка X либо принадлежит A , либо сколь угодно «близка» к члену A - например, рациональное Числа представляют собой плотное подмножество действительных чисел , поскольку каждое действительное число либо является рациональным числом, либо имеет сколь угодно близкое к нему рациональное число (см. Диофантово приближение ). Формально, $A$ плотный в $X$ если наименьшее замкнутое подмножество $X$ содержащий $A$ является $X$ сам. ^{[ 1 ]}

The плотность топологического пространства $X$ — наименьшая мощность плотного подмножества $X.$

Определение

Подмножество $A$ пространства топологического $X$ Говорят, что это плотное подмножество $X$ если выполнено любое из следующих эквивалентных условий:

Наименьшее закрытое подмножество $X$ содержащий $A$ является $X$ сам.
Закрытие $A$ в $X$ равно $X.$ То есть, $\operatorname {cl} _{X}A=X.$
Интерьер дополнения $A$ пусто. То есть, $\operatorname {int} _{X}(X\setminus A)=\varnothing .$
Каждая точка в $X$ либо принадлежит $A$ или является предельной точкой $A.$
Для каждого $x\in X,$ каждый район $U$ из $x$ пересекает $A;$ то есть, $U\cap A\neq \varnothing .$
$A$ пересекает каждое непустое открытое подмножество $X.$

и если ${\mathcal {B}}$ является базисом открытых множеств для топологии на $X$ то этот список можно расширить, включив в него:

Для каждого $x\in X,$ каждый основной район $B\in {\mathcal {B}}$ из $x$ пересекает $A.$
$A$ пересекает все непустые $B\in {\mathcal {B}}.$

Плотность в метрических пространствах

Альтернативное определение плотного множества в случае метрических пространств состоит в следующем. Когда топология $X$ задается метрикой , замыкание ${\overline {A}}$ из $A$ в $X$ это союз $A$ и множество всех пределов последовательностей элементов в $A$ (его предельные точки ), ${\overline {A}}=A\cup \left\{\lim _{n\to \infty }a_{n}:a_{n}\in A{\text{ for all }}n\in \mathbb {N} \right\}$

Затем $A$ плотный в $X$ если ${\overline {A}}=X.$

Если $\left\{U_{n}\right\}$ представляет собой последовательность плотных открытых множеств в полном метрическом пространстве, $X,$ затем ${\textstyle \bigcap _{n=1}^{\infty }U_{n}}$ также плотен в $X.$ Этот факт является одной из эквивалентных форм теоремы Бэра о категориях .

Примеры

Действительные числа с обычной топологией имеют рациональные числа как счетное плотное подмножество, что показывает, что мощность плотного подмножества топологического пространства может быть строго меньше мощности самого пространства. Иррациональные числа — это еще одно плотное подмножество, которое показывает, что топологическое пространство может иметь несколько непересекающихся плотных подмножеств (в частности, два плотных подмножества могут дополнять друг друга), и они даже не обязательно должны иметь одинаковую мощность. Возможно, еще более удивительно то, что и рациональные, и иррациональные числа имеют пустую внутреннюю часть, показывая, что плотные множества не обязательно должны содержать непустое открытое множество. Пересечение двух плотных открытых подмножеств топологического пространства снова является плотным и открытым. ^{[ доказательство 1 ]} Пустое множество является плотным подмножеством самого себя. Но каждое плотное подмножество непустого пространства также должно быть непустым.

По аппроксимационной теореме Вейерштрасса любая данная комплекснозначная непрерывная функция, определенная на отрезке $[a,b]$ может быть равномерно аппроксимирован сколь угодно близко полиномиальной функцией . Другими словами, полиномиальные функции плотны в пространстве $C[a,b]$ непрерывных комплекснозначных функций на интервале $[a,b],$ оснащен высшей нормой .

Каждое метрическое пространство плотно в своем пополнении .

Характеристики

Каждое топологическое пространство является плотным подмножеством самого себя. Для набора $X$ оснащенное дискретной топологией , все пространство является единственным плотным подмножеством. Каждое непустое подмножество множества $X$ снабженная тривиальной топологией , плотна, и каждая топология, для которой каждое непустое подмножество плотно, должна быть тривиальной.

Плотность транзитивна : учитывая три подмножества. $A,B$ и $C$ топологического пространства $X$ с $A\subseteq B\subseteq C\subseteq X$ такой, что $A$ плотный в $B$ и $B$ плотный в $C$ (в соответствующей топологии подпространства ), то $A$ также плотен в $C.$

Образ сюръективной плотного подмножества под действием непрерывной функции снова плотен. Плотность топологического пространства (наименьшая из мощностей его плотных подмножеств) является топологическим инвариантом .

Топологическое пространство со связным плотным подмножеством само по себе обязательно связно.

Непрерывные функции в хаусдорфовых пространствах определяются их значениями на плотных подмножествах: если две непрерывные функции $f,g:X\to Y$ в хаусдорфово пространство $Y$ договориться о плотном подмножестве $X$ тогда они согласны со всем $X.$

Для метрических пространств существуют универсальные пространства, в которые можно вложить все пространства данной плотности : метрическое пространство плотности $\alpha$ изометрично подпространству $C\left([0,1]^{\alpha },\mathbb {R} \right),$ пространство действительных непрерывных функций произведении на $\alpha$ копии единичного интервала . ^{[ 2 ]}

Связанные понятия

точка $x$ из подмножества $A$ топологического пространства $X$ называется предельной точкой $A$ (в $X$ ), если каждая окрестность $x$ также содержит точку $A$ кроме $x$ себя и изолированную точку $A$ в противном случае. Подмножество без изолированных точек называется плотным в себе .

Подмножество $A$ топологического пространства $X$ называется нигде не плотным (в $X$ ), если нет окрестности в $X$ на котором $A$ плотный. Эквивалентно, подмножество топологического пространства нигде не является плотным тогда и только тогда, когда внутренняя часть его замыкания пуста. Внутренность дополнения нигде не плотного множества всегда плотна. Дополнением к замкнутому нигде не плотному множеству является плотное открытое множество. Учитывая топологическое пространство $X,$ подмножество $A$ из $X$ которое можно выразить как объединение счетного числа нигде не плотных подмножеств $X$ называется скудным . Рациональные числа, хотя и плотны в действительных числах, являются скудным как подмножество действительных чисел.

Топологическое пространство со счетным плотным подмножеством называется сепарабельным . Топологическое пространство является пространством Бэра тогда и только тогда, когда пересечение счетного числа плотных открытых множеств всегда плотно. Топологическое пространство называется разрешимым, если оно представляет собой объединение двух непересекающихся плотных подмножеств. В более общем смысле топологическое пространство называется κ-разрешимым для кардинала κ, если оно содержит κ попарно непересекающихся плотных множеств.

Вложение пространства топологического $X$ как плотное подмножество компакта называется компактификацией , $X.$

Линейный оператор между топологическими векторными пространствами $X$ и $Y$ называется плотно определенным, если его область определения является плотным подмножеством $X$ и если его диапазон содержится в пределах $Y.$ См. также Непрерывное линейное расширение .

Топологическое пространство $X$ гиперсвязно тогда и только тогда , когда каждое непустое открытое множество плотно в $X.$ Топологическое пространство субмаксимально тогда и только тогда, когда каждое плотное подмножество открыто.

Если $\left(X,d_{X}\right)$ — метрическое пространство, то непустое подмножество $Y$ Говорят, что это $\varepsilon$ -плотный, если $\forall x\in X,\;\exists y\in Y{\text{ such that }}d_{X}(x,y)\leq \varepsilon .$

Тогда можно показать, что $D$ плотный в $\left(X,d_{X}\right)$ тогда и только тогда, когда оно ε-плотно для любого $\varepsilon >0.$

См. также

Теорема Блюмберга . Любая действительная функция на R допускает непрерывное ограничение на плотное подмножество R.
Плотный порядок - частичный порядок, при котором между каждыми двумя различными сопоставимыми элементами есть еще один элемент.
Плотный (теория решеток)

Ссылки

^ Стин, Луизиана; Зеебах, Дж. А. (1995), Контрпримеры в топологии , Дувр, ISBN 0-486-68735-Х
^ Кляйбер, Мартин; Первин, Уильям Дж. (1969). «Обобщенная теорема Банаха-Мазура» . Бык. Австрал. Математика. Соц . 1 (2): 169–173. дои : 10.1017/S0004972700041411 .

доказательства

^ Предположим, что $A$ и $B$ являются плотным открытым подмножеством топологического пространства $X.$ Если $X=\varnothing$ то вывод, что открытое множество $A\cap B$ плотный в $X$ является немедленным, поэтому предположим обратное. Позволять $U$ является непустым открытым подмножеством $X,$ так что осталось показать, что $U\cap (A\cap B)$ тоже не пуст. Потому что $A$ плотный в $X$ и $U$ является непустым открытым подмножеством $X,$ их пересечение $U\cap A$ не пуст. Аналогично, потому что $U\cap A$ является непустым открытым подмножеством $X$ и $B$ плотный в $X,$ их пересечение $U\cap A\cap B$ не пуст. $\blacksquare$