Оператор Пуанкаре–Стекло

В математике оператор Пуанкаре-Стеклова (в честь Анри Пуанкаре и Владимира Стеклова ) отображает значения одного граничного условия решения эллиптического уравнения в частных производных в области со значениями другого граничного условия. Обычно любое из граничных условий определяет решение. Таким образом, оператор Пуанкаре – Стеклова инкапсулирует граничный отклик системы, моделируемой уравнением в частных производных. Когда уравнение в частных производных дискретизируется, например, с помощью конечных элементов или конечных разностей , дискретизация оператора Пуанкаре – Стеклова представляет собой дополнение Шура, полученное путем исключения всех степеней свободы внутри области.

Обратите внимание, что для данного уравнения в частных производных может быть много подходящих различных граничных условий, и направление, в котором оператор Пуанкаре – Стеклова отображает значения одного в другое, задается только соглашением. ^{[ 1 ]}

Оператор Дирихле-Неймана в ограниченной области

Рассмотрим установившееся распределение температуры в теле при заданных значениях температуры на поверхности тела. Тогда результирующий тепловой поток через границу (то есть тепловой поток, который потребовался бы для поддержания при заданной температуре поверхности) определяется однозначно. Отображение температуры поверхности в поверхностный тепловой поток представляет собой оператор Пуанкаре – Стеклова. Этот конкретный оператор Пуанкаре–Стеклова называется оператором Дирихле-Неймана (DtN). Значения температуры на поверхности представляют собой граничное условие Дирихле уравнения Лапласа , которое описывает распределение температуры внутри тела. Тепловой поток через поверхность представляет собой граничное условие Неймана (пропорциональное нормальной производной температуры).

Математически для функции $u$ гармоника в области $\Omega \subset R^{n}$ , оператор Дирихле-Неймана отображает значения $u$ на границе $\Omega$ к нормальной производной $\partial u/\partial n$ на границе $\Omega$ . Этот оператор Пуанкаре–Стеклова лежит в основе итерационной подструктуризации . ^{[ 2 ]}

Обратная краевая задача Кальдерона - это проблема нахождения коэффициента дивергенции эллиптического уравнения в частных производных из его оператора Дирихле-Неймана. Это математическая формулировка электроимпедансной томографии .

Оператор Дирихле-Неймана для граничного условия на бесконечности

Решение уравнения в частных производных во внешней области приводит к появлению оператора Пуанкаре–Стеклова, который переносит граничное условие от бесконечности к границе. Одним из примеров является оператор Дирихле-Неймана, который отображает заданную температуру на границе полости в бесконечной среде с нулевой температурой на бесконечности с тепловым потоком на границе полости. Аналогично можно определить оператор Дирихле-Неймана на границе сферы для решения уравнения Гельмгольца во внешности сферы. Аппроксимации этого оператора лежат в основе класса методов моделирования акустического рассеяния в бесконечной среде, где рассеиватель заключен в сфере, а оператор Пуанкаре–Стеклова служит неотражающим (или поглощающим) граничным условием. ^{[ 3 ]}

Оператор Пуанкаре–Стеклова в электромагнетике.

Оператор Пуанкаре – Стеклова определяется как оператор, отображающий гармонику времени (т. е. зависящую от времени как $e^{i\omega t}$ ) тангенциальное электрическое поле на границе области к эквивалентному электрическому току на ее границе. ^{[ 4 ]}

См. также

Анализ взаимодействия жидкости со структурой (граница/интерфейс)
Метод разложения доменов с дополнением Шура

Ссылки

^ Боссавит, Ален (1991). Гловинский, Р. (ред.). «Скалярный» оператор Пуанкаре – Стеклова и «векторный»: алгебраические структуры, лежащие в основе их двойственности» (PDF) . Четвертый международный симпозиум по методам декомпозиции областей дифференциальных уравнений в частных производных (Москва, 1990) . Филадельфия, Пенсильвания: СИАМ: 19–26. ISBN 978-0-89871-278-0 .
^ Квартерони, Альфио ; Валли, Альберто (1999). Методы декомпозиции области для уравнений в частных производных . Оксфорд: Кларендон Пресс. ISBN 0-19-850178-1 . OCLC 40838704 .
^ Оберай, Асад А.; Малхотра, Маниш; Пинский, Питер М. (1998). «О реализации условия излучения Дирихле-Неймана для итеративного решения уравнения Гельмгольца» (PDF) . Прикладная численная математика . Специальный выпуск о поглощающих граничных условиях. 27 (4): 443–464. дои : 10.1016/S0168-9274(98)00024-5 . ISSN 0168-9274 .
^ Нокарт, Люк Ф.; Де Зуттер, Дэниел (2008). «О комплексной симметрии оператора Пуанкаре-Стеклова» . Прогресс в исследованиях в области электромагнетизма Б . 7 : 145–157. дои : 10.2528/PIERB08022102 . hdl : 1854/LU-677948 . ISSN 1937-6472 .

Дальнейшее чтение

Lebedev , V. I.; Agoshkov, V. I. Operatory Puankare-Steklova i ikh prilozheniya v analize. (Russian) [Poincaré Steklov operators and their applications in analysis] Akad. Nauk SSSR, Vychisl. Tsentr, Moscow, 1983. 184 pp. MR 827980
Василевский, П. С. Операторы Пуанкаре–Стеклова для эллиптических разностных задач. ЧР акад. Булгаре Науч. 38 (1985), вып. 5, 543–546. МИСТЕР 799809

[Bossavit-1] Боссавит, Ален (1991). Гловинский, Р. (ред.). «Скалярный» оператор Пуанкаре – Стеклова и «векторный»: алгебраические структуры, лежащие в основе их двойственности» (PDF) . Четвертый международный симпозиум по методам декомпозиции областей дифференциальных уравнений в частных производных (Москва, 1990) . Филадельфия, Пенсильвания: СИАМ: 19–26. ISBN 978-0-89871-278-0 .

[Quarteroni-2] Квартерони, Альфио ; Валли, Альберто (1999). Методы декомпозиции области для уравнений в частных производных . Оксфорд: Кларендон Пресс. ISBN 0-19-850178-1 . OCLC 40838704 .

[3] Оберай, Асад А.; Малхотра, Маниш; Пинский, Питер М. (1998). «О реализации условия излучения Дирихле-Неймана для итеративного решения уравнения Гельмгольца» (PDF) . Прикладная численная математика . Специальный выпуск о поглощающих граничных условиях. 27 (4): 443–464. дои : 10.1016/S0168-9274(98)00024-5 . ISSN 0168-9274 .

[4] Нокарт, Люк Ф.; Де Зуттер, Дэниел (2008). «О комплексной симметрии оператора Пуанкаре-Стеклова» . Прогресс в исследованиях в области электромагнетизма Б . 7 : 145–157. дои : 10.2528/PIERB08022102 . hdl : 1854/LU-677948 . ISSN 1937-6472 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]