Метод двойной сферы Фурье

В математике двойной сферы Фурье ( DFS ) метод представляет собой простой метод, который преобразует функцию, определенную на поверхности сферы , в функцию, определенную в прямоугольной области, сохраняя при этом периодичность как по долготе, так и по широте.

Введение

Во-первых, функция $f(x,y,z)$ на сфере записывается как $f(\lambda ,\theta )$ используя сферические координаты , т.е.

$f(\lambda ,\theta )=f(\cos \lambda \sin \theta ,\sin \lambda \sin \theta ,\cos \theta ),(\lambda ,\theta )\in [-\pi ,\pi ]\times [0,\pi ].$

Функция $f(\lambda ,\theta )$ является $2\pi$-периодический в $\lambda$, но не периодический по $\theta$. Периодичность в широтном направлении утрачена. Чтобы восстановить его, функция «дублируется» и связанная с ней функция на $[-\pi ,\pi ]\times [-\pi ,\pi ]$ определяется как

${\tilde {f}}(\lambda ,\theta )={\begin{cases}g(\lambda +\pi ,\theta ),&(\lambda ,\theta )\in [-\pi ,0]\times [0,\pi ],\\h(\lambda ,\theta ),&(\lambda ,\theta )\in [0,\pi ]\times [0,\pi ],\\g(\lambda ,-\theta ),&(\lambda ,\theta )\in [0,\pi ]\times [-\pi ,0],\\h(\lambda +\pi ,-\theta ),&(\lambda ,\theta )\in [-\pi ,0]\times [-\pi ,0],\\\end{cases}}$

где $g(\lambda ,\theta )=f(\lambda -\pi ,\theta )$ и $h(\lambda ,\theta )=f(\lambda ,\theta )$ для $(\lambda ,\theta )\in [0,\pi ]\times [0,\pi ]$. Новая функция ${\tilde {f}}$ является $2\pi$-периодический в $\lambda$ и $\theta$, и является постоянным вдоль линий $\theta =0$ и $\theta =\pm \pi$, соответствующие полюсам.

Функция ${\tilde {f}}$ можно разложить в двойной ряд Фурье

${\tilde {f}}\approx \sum _{j=-n}^{n}\sum _{k=-n}^{n}a_{jk}e^{ij\theta }e^{ik\lambda }$

История

Метод DFS был предложен Мерилисом. и развитый Стивеном Орзагом . С тех пор метод DFS был предметом относительно небольшого количества исследований (заметным исключением является работа Форнберга). возможно, из-за доминирования сферических гармонических разложений. За последние пятнадцать лет его начали использовать для расчета гравитационных полей вблизи черных дыр. и к новому пространства-времени спектральному анализу .