Геометрография
В математической области геометрии геометрография — это изучение геометрических построений. [1] Концепции и методы геометрографии были впервые изложены Эмилем Лемуаном (1840–1912), французским инженером-строителем и математиком , на заседании Французской ассоциации развития наук, проходившем в Оране в 1888 году. [1] Позже Лемуан расширил свои идеи в других мемуарах, прочитанных на По , состоявшемся в 1892 году. собрании той же Ассоциации в [2]
хорошо известно Из элементарной геометрии , что некоторые геометрические конструкции проще некоторых других. Но во многих случаях оказывается, что кажущаяся простота конструкции состоит не в практическом выполнении конструкции, а в краткости изложения того, что должно быть сделано. Можно ли тогда установить какой-либо объективный критерий, с помощью которого можно было бы оценить относительную простоту нескольких различных конструкций для достижения одной и той же цели? Чтобы ответить на этот вопрос, Лемуан развил идеи геометрографии. [1] Также поднимается вопрос о повсеместности конструкции. Важным фактором является вопрос о том, может ли конструкция, независимо от ее простоты, применяться во всех или большинстве условий или только в особых случаях.
Основные идеи
[ редактировать ]Развивая идеи геометрографии, Лемуан ограничился евклидовыми построениями с использованием только линеек и циркуля . Согласно анализу Лемуана, все подобные конструкции могут быть выполнены, поскольку выбранная последовательность операций образует фиксированный набор из пяти элементарных операций. Пять элементарных операций, выделенных Лемуаном, следующие:
Элементарные операции в геометрическом построении.
| Сл. Нет. | Операция | Обозначения для работы |
|---|---|---|
| 1 | Чтобы совместить край линейки с точкой | Р 1 |
| 2 | Чтобы нарисовать прямую линию | Р 2 |
| 3 | Поместить острие циркуля в определенную точку | С 1 |
| 4 | Поместить точку циркуля в неопределенную точку прямой. | С 2 |
| 5 | Чтобы описать круг | С 3 |
В геометрической конструкции тот факт, что операцию X необходимо проделать n раз, обозначается выражением n X. Операция помещения линейки всовпадение с двумя точками обозначается 2R 1 . Операция приведения одной точки циркуля к определенной точке, а другой точки циркуля.в другой определенной точке есть 2C 1 .
Любую геометрическую конструкцию можно представить выражением следующего вида
- л 1 р 1 + л 2 р 2 + м 1 C 1 + м 2 C 2 + м 3 C 3 .
Здесь коэффициенты l 1 и т. д. обозначают количество раз, когда любоевыполняется конкретная операция.
Коэффициент простоты
[ редактировать ]Число l 1 + l 2 + m 1 + m 2 + m 3 называется коэффициентом простоты , или простотой конструкции . Он обозначает общее количество операций.
Коэффициент точности
[ редактировать ]Число l 1 + m 1 + m 2 равноназывается коэффициентом точности , или точностью конструкции ; оно обозначает количество подготовительных операций, от которых зависит точность конструкции.
Примеры
[ редактировать ]Лемуан применил свою схему для анализа более шестидесяти задач элементарной геометрии. [1]
- Построение треугольника по трем вершинам можно представить выражением 4R 1 + 3R 2 .
- Определенная конструкция правильного семиугольника с участием кругов Карлейля может быть представлена выражением 8R 1 + 4R 2 + 22C 1 + 11C 3 и имеет простоту 45. [3]
Ссылки
[ редактировать ]- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б с д Дж. С. Маккей (1893). «Геометрография задач Евклида» . Труды Эдинбургского математического общества . 12 :2–16. дои : 10.1017/S0013091500001565 . Проверено 5 ноября 2011 г.
- ^ Лемуан, Эмиль. «Геометрография или Искусство геометрических построений» . Цифровая библиотека Галлики . Проверено 5 ноября 2011 г.
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Гептадекагон». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Heptadecagon.html
Дальнейшее чтение
[ редактировать ]- Хесс, Адриен Л. (март – апрель 1956 г.). «Некоторые темы, связанные с конструкциями с линейкой и циркулем». Журнал «Математика» . 29 (4): 217–221. дои : 10.2307/3029638 . JSTOR 3029638 .
- Ньютон, Гай Торнвел (1926). Геометрография с приложениями к инструментам рисовальщика . Техасский университет. п. 190.
- ДеТемпл, Дуэйн В. (февраль 1991 г.). «Окружности Карлейля и простота Лемуана многоугольных конструкций» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 98 (2): 97–208. дои : 10.2307/2323939 . JSTOR 2323939 . Архивировано из оригинала (PDF) 21 декабря 2015 г. Проверено 6 ноября 2011 г.