Медиана (геометрия)

Не путать с геометрической медианой .

Медианы треугольника и центр тяжести .

В геометрии медиана соединяющий треугольника . — это отрезок, вершину с серединой противоположной стороны и делящий эту сторону пополам треугольника Каждый треугольник имеет ровно три медианы, по одной от каждой вершины, и все они пересекаются в центроиде . В случае равнобедренных и равносторонних треугольников медиана делит пополам любой угол при вершине, две смежные стороны которого равны по длине.Понятие медианы распространяется и на тетраэдры .

Отношение к центру масс

треугольника Каждая медиана треугольника проходит через центр тяжести , который является центром масс бесконечно тонкого объекта однородной плотности, совпадающего с треугольником. Таким образом, объект будет балансировать в точке пересечения медиан. Центроид находится в два раза ближе вдоль любой медианы к стороне, где медиана пересекается, чем к вершине, из которой она исходит.

Равновеликое деление

Каждая медиана делит площадь треугольника пополам, отсюда и название, и, следовательно, треугольный объект одинаковой плотности будет балансировать на любой медиане. (Любые другие линии, делящие площадь треугольника на две равные части, не проходят через центр тяжести.) Три медианы делят треугольник на шесть меньших треугольников одинаковой площади .

Доказательство равновеликой собственности

Рассмотрим треугольник АВС . Пусть D — середина ${\overline {AB}}$, E — середина ${\overline {BC}}$, F — середина ${\overline {AC}}$, а O — центроид (чаще всего обозначается G ).

По определению, $AD=DB,AF=FC,BE=EC$. Таким образом $[ADO]=[BDO],[AFO]=[CFO],[BEO]=[CEO],$ и $[ABE]=[ACE]$, где $[ABC]$ представляет собой площадь треугольника $\triangle ABC$ ; это справедливо, потому что в каждом случае два треугольника имеют основания одинаковой длины и имеют общую высоту от (расширенного) основания, а площадь треугольника равна половине произведения его основания на его высоту.

У нас есть:

$[ABO]=[ABE]-[BEO]$

$[ACO]=[ACE]-[CEO]$

Таким образом, $[ABO]=[ACO]$ и $[ADO]=[DBO],[ADO]={\frac {1}{2}}[ABO]$

С $[AFO]=[FCO],[AFO]={\frac {1}{2}}[ACO]={\frac {1}{2}}[ABO]=[ADO]$, поэтому, $[AFO]=[FCO]=[DBO]=[ADO]$.Используя тот же метод, можно показать, что $[AFO]=[FCO]=[DBO]=[ADO]=[BEO]=[CEO]$.

Три равных треугольника

В 2014 году Ли Саллоуз обнаружил следующую теорему:

Медианы любого треугольника делят его на шесть равных по площади меньших треугольников, как показано на рисунке выше, где три соседние пары треугольников встречаются в средних точках D, E и F. Если два треугольника в каждой такой паре повернуты вокруг общей средней точки до тех пор, пока они не встречаются так, чтобы иметь общую сторону, то три новых треугольника, образованные объединением каждой пары, конгруэнтны.

Формулы, включающие длины медиан

Длины медиан можно получить из теоремы Аполлония как: $$m_{a}={\sqrt {\frac {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}}}$$$$m_{b}={\sqrt {\frac {2a^{2}+2c^{2}-b^{2}}{4}}}$$$$m_{c}={\sqrt {\frac {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}{4}}}$$где $a,b,$ и $c$ стороны треугольника с соответствующими медианами $m_{a},m_{b},$ и $m_{c}$ от их середин.

Эти формулы подразумевают соотношения: $$a={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{a}^{2}+2m_{b}^{2}+2m_{c}^{2}}}={\sqrt {2(b^{2}+c^{2})-4m_{a}^{2}}}={\sqrt {{\frac {b^{2}}{2}}-c^{2}+2m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {c^{2}}{2}}-b^{2}+2m_{c}^{2}}}$$$$b={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{b}^{2}+2m_{a}^{2}+2m_{c}^{2}}}={\sqrt {2(a^{2}+c^{2})-4m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}-c^{2}+2m_{a}^{2}}}={\sqrt {{\frac {c^{2}}{2}}-a^{2}+2m_{c}^{2}}}$$$$c={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{c}^{2}+2m_{b}^{2}+2m_{a}^{2}}}={\sqrt {2(b^{2}+a^{2})-4m_{c}^{2}}}={\sqrt {{\frac {b^{2}}{2}}-a^{2}+2m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}-b^{2}+2m_{a}^{2}}}.$$

Другие объекты недвижимости

Пусть ABC — треугольник, пусть G — его центр тяжести и пусть D , E и F — середины BC , CA и AB соответственно. Для любой точки P плоскости ABC тогда $$PA+PB+PC\leq 2(PD+PE+PF)+3PG.$$

Центроид делит каждую медиану на части в соотношении 2:1, причем центроид находится в два раза ближе к середине стороны, чем к противоположной вершине.

Для любого треугольника со сторонами $a,b,c$ и медианы $m_{a},m_{b},m_{c},$$${\tfrac {3}{4}}(a+b+c)<m_{a}+m_{b}+m_{c}<a+b+c\quad {\text{ and }}\quad {\tfrac {3}{4}}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)=m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}.$$

Медианы от сторон длин $a$ и $b$ перпендикулярны когда тогда и только тогда, $a^{2}+b^{2}=5c^{2}.$

Медианы прямоугольного треугольника с гипотенузой $c$ удовлетворить $m_{a}^{2}+m_{b}^{2}=5m_{c}^{2}.$

Площадь любого треугольника T можно выразить через его медианы. $m_{a},m_{b}$, и $m_{c}$ следующее. Если их полусумма $\left(m_{a}+m_{b}+m_{c}\right)/2$ обозначается $\sigma$ затем $$T={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma \left(\sigma -m_{a}\right)\left(\sigma -m_{b}\right)\left(\sigma -m_{c}\right)}}.$$

Тетраэдр

медианы тетраэдра

${\begin{aligned}&{\frac {|AS|}{|SS_{BCD}|}}={\frac {|BS|}{|SS_{ACD}|}}={\frac {|CS|}{|SS_{ABD}|}}\\=&{\frac {|DS|}{|SS_{ABC}|}}={\frac {3}{1}}\end{aligned}}$

Тетраэдр объект , — трехмерный имеющий четыре треугольные грани . Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центром тяжести противоположной грани, называется медианой тетраэдра. Есть четыре медианы, и все они совпадают в центроиде тетраэдра. Как и в двумерном случае, центр тяжести тетраэдра является центром масс . Однако, в отличие от двумерного случая, центроид делит медианы не в соотношении 2:1, а в соотношении 3:1 ( теорема Коммандино ).

См. также

• Биссектриса угла
• Высота (треугольник)
• Автомедиан треугольник

Внешние ссылки

• Медианы в развязке
• Площадь срединного треугольника в момент разрезания узла
• Медианы треугольника С интерактивной анимацией
• построения медианы треугольника с помощью циркуля и линейки Анимационная демонстрация
• Вайсштейн, Эрик В. «Медиана треугольника» . Математический мир .