Теорема Коммандино

Медианы тетраэдра, пересекающегося в точке $S$ (его центроид), такой, что
${\frac {|AS|}{|SS_{BCD}|}}={\frac {|BS|}{|SS_{ACD}|}}={\frac {|CS|}{|SS_{ABD}|}}={\frac {|DS|}{|SS_{ABC}|}}={\frac {3}{1}}$

Теорема Коммандино , названная в честь Федерико Коммандино (1509–1575), утверждает, что четыре медианы тетраэдра . совпадают в точке S , которая делит их в соотношении 3:1 В тетраэдре медиана — это отрезок, соединяющий вершину с центром тяжести противоположной грани , то есть с центром тяжести противоположного треугольника. Точка S также является центром тяжести тетраэдра.

История

Теорема приписывается Коммандино, который в своей работе De Centro Gravitatis Solidorum («Центр тяжести твердых тел», 1565 г.) заявил, что четыре медианы тетраэдра совпадают. Однако, по словам ученого XIX века Гийома Либри, Франческо Мауролико (1494–1575) утверждал, что нашел результат раньше. Либри тем не менее считал, что оно было известно еще раньше Леонардо да Винчи , который, похоже, использовал его в своем творчестве. Джулиан Кулидж разделял эту оценку, но отметил, что не смог найти явного описания или математической обработки теоремы в работах да Винчи. Другие ученые предположили, что результат, возможно, был уже известен греческим математикам в древности.

Обобщения

Теорема Коммандино имеет прямой аналог для симплексов любой размерности :

Позволять $\Delta$ быть $d$-симплекс некоторой размерности $d>1$ в $\mathbb {R} ^{n}\;(d,n\in \mathbb {N} ,n\geq d)$ и пусть $V_{0},V_{1},\ldots ,V_{p}$ быть его вершинами. Кроме того, пусть $\ell _{0},\ell _{1},\ldots ,\ell _{d}$, быть медианами $\Delta$, линии, соединяющие каждую вершину $V_{i}$ с центром тяжести противоположного $(d-1)$-мерная грань $V_{0}\ldots V_{i-1}V_{i+1}\ldots V_{d}$. Затем эти прямые пересекаются в точке $S$, в соотношении $d:1$.

Полная общность

Первый аналог легко доказать с помощью следующего, более общего результата, аналогичного тому, как работают рычаги в физике:

Позволять $m$ и $k$ быть натуральными числами , так что в $\mathbb {R}$- векторное пространство ${\mathcal {V}}$, $m+k$ попарно разные точки $X_{1},\dots ,X_{m},Y_{1},\dots ,Y_{k}\in {\mathcal {V}}$ даны.

Позволять $S_{X}$ быть центроидом точек $X_{i}\;(i=1,\dots ,m)$, позволять $S_{Y}$ быть центроидом точек $Y_{j}\;(j=1,\dots ,k)$, и пусть $S$ быть центроидом всего этого $m+k$ точки.

Тогда у человека есть

$S=S_{X}+{\frac {k}{m+k}}(S_{Y}-S_{X})={\frac {m}{m+k}}S_{X}+{\frac {k}{m+k}}S_{Y}.$

В частности, центр тяжести $S$ лежит на линии ${\overline {{S_{X}}{S_{Y}}}}$ и делит его в соотношении $k:m$.

Теорема Ройша

Предыдущая теорема имеет и другие интересные следствия, помимо вышеупомянутого обобщения теоремы Коммандино. Его можно использовать для доказательства следующей теоремы о центроиде тетраэдра, впервые описанной в Mathematische Unterhaltungen немецким физиком Фридрихом Эдуардом Ройшем :

Центр тяжести тетраэдра можно найти, взяв середины двух пар двух его противоположных ребер и соединив соответствующие середины через соответствующую среднюю линию. Точка пересечения обеих средних линий будет центроидом тетраэдра.

Поскольку тетраэдр имеет шесть ребер в трех противоположных парах, получается следующее следствие:

В тетраэдре три средние линии, соответствующие средним точкам противоположных ребер, совпадают , а точка их пересечения является центроидом тетраэдра.

Теорема Вариньона

Конкретный случай теоремы Ройша, когда все четыре вершины тетраэдра лежат в одной плоскости и лежат в одной плоскости, тем самым вырождаясь в четырехугольник , теорема Вариньона, названная в честь Пьера Вариньона , утверждает следующее:

Пусть четырехугольник в $\mathbb {R} ^{2}$ быть дано. Тогда две средние линии, соединяющие середины противоположных ребер, пересекаются в центре тяжести четырехугольника и делятся им пополам.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Коммандино» . Математический мир .
• Пара хороших расширений медианных свойств