Госсард Перспектор
В геометрии Госсарда перспектива [1] (также называемый перспектором Зеемана – Госсарда [2] ) — особая точка, связанная с плоским треугольником . Это центр треугольника обозначен как X(402) Кларка Кимберлинга он , и в Энциклопедии центров треугольников . Точка была названа перспективой Госсарда Джоном Конвеем в 1998 году в честь Гарри Клинтона Госсарда, открывшего ее существование в 1916 году. Позже об этом стало известно.что эта точка появилась в статье Кристофера Зеемана, опубликованной в 1899–1902 годах. С 2003 года Энциклопедия центров треугольников называет эту точку перспективой Зеемана-Госсарда . [2]
Определение
[ редактировать ]
Треугольник Госсара
[ редактировать ]Пусть ABC — любой треугольник. Пусть линия Эйлера треугольника ABC пересекает стороны BC , CA и AB треугольника ABC в точках D , E и F соответственно. Пусть A g B g C g — треугольник, образованный прямыми Эйлера треугольников AEF , BFD и CDE , вершина A g — пересечение линий Эйлера треугольников BFD и CDE , и аналогично для двух других вершин. Треугольник AgBgCg треугольником называется Госсарда треугольника ABC . [3]
Госсард Перспектор
[ редактировать ]Пусть ABC любой треугольник и — его — AgBgCg Госсара треугольник . прямые AAg , BBg Тогда и CCg . совпадают Точка совпадения называется перспективой Госсарда треугольника ABC .
Характеристики
[ редактировать ]- Пусть AgBgCg — треугольник Госсара треугольника ABC . Прямые BgCg , CgAg AB AgBg и и прямым BC , CA соответственно . параллельны [4]
- Любой треугольник и его треугольник Госсарда конгруэнтны.
- Любой треугольник и его треугольник Госсарда имеют одну и ту же прямую Эйлера.
- Треугольник Госсара треугольника ABC является отражением треугольника ABC в перспективе Госсара.
Трилинейные координаты
[ редактировать ]Трилинейные координаты перспективы Госсарда треугольника ABC :
- ( ж ( а , б , с ) : ж ( б , с , а ) : ж ( с , а , б ) )
где
- ж ( а , б , c ) знак равно п ( а , б , c ) y ( а , б , c ) / а
где
- п ( а , б , c ) знак равно 2 а 4 − а 2 б 2 − а 2 с 2 − ( б 2 − с 2 ) 2
и
- y ( а , б , c ) знак равно а 8 − а 6 ( б 2 + с 2 ) + а 4 ( 2 б 2 − с 2 ) ( 2 с 2 − б 2 ) + ( б 2 − с 2 ) 2 [ 3 а 2 ( б 2 + с 2 ) − б 4 − с 4 − 3 б 2 с 2 ]
Обобщения
[ редактировать ]Конструкция, дающая треугольник Госсарда треугольника ABC, может быть обобщена для получения треугольников A'B'C' , которые конгруэнтны треугольнику ABC и боковые линии которых параллельны сторонам треугольника ABC .
Обобщение Зеемана
[ редактировать ]Этот результат принадлежит Кристоферу Зееману. [4]
Пусть l — любая прямая, параллельная линии Эйлера треугольника ABC . Пусть l пересекает стороны BC , CA , AB треугольника ABC в точках X , Y , Z соответственно. Пусть A'B'C' — треугольник, образованный прямыми Эйлера треугольников AYZ , BZX и CXY . Тогда треугольник A'B'C' равен треугольнику ABC и его стороны параллельны сторонам треугольника ABC . [4]
Обобщение Ю
[ редактировать ]
Это обобщение принадлежит Полу Ю. [1] [5]
Пусть P — любая точка плоскости треугольника ABC, от его центроида G. отличная
- Пусть линия PG пересекает боковые линии BC , CA и AB в точках X , Y и Z соответственно.
- Пусть центры тяжести треугольников AYZ , BZX и CXY будут G a , G b и G c соответственно.
- Пусть P a точка такая YP a параллелен что CP , а ZP a параллелен , BP — .
- Пусть P b точка такая ZP b параллельна что AP а , XP b параллельна , CP — .
- Пусть P c точка XP c параллельна , BP а , YP c параллельна — такая AP что .
- Пусть A'B'C' — треугольник, образованный прямыми G a P a , G b P b и G c P c .
Тогда треугольник A'B'C' равен треугольника треугольнику ABC и его стороны параллельны сторонам ABC .
Когда P совпадает с ортоцентром H треугольника ABC , то прямая PG совпадает с линией Эйлера треугольника ABC . Треугольник A'B'C совпадает Госсара AgBgCg ' ABC треугольника с треугольником .
Обобщение Дао
[ редактировать ]Теорема была дополнительно обобщена Дао Тхань Оаем . Пусть АВС — треугольник. Пусть H и O — две точки на плоскости, и пусть прямая HO пересекает BC, CA, AB в точках , A0 B0 , C0 соответственно . Пусть A H A O такие C 0 A H параллельна BH A , B 0 и H параллельна CH CO и C 0 AO , параллельна BO что , B 0 AO параллельна — две точки . Определите B H , B O , CH , CO циклически. прямыми AHAO гомотетичен а ABC , BHBO , и Тогда треугольник , CHCO треугольником , образованный . OH и , на прямой конгруэнтен центр гомотетии лежит Результат Дао Тхань Оая является обобщением всех приведенных выше результатов. [6] [7] [8]
- Когда HO — линия Эйлера , результатом Дао является теорема о перспекторе Госсарда.
- Когда PQ параллелен линии Эйлера , результат Дао является обобщением Зеемана.
- Когда P является центроидом , результат Дао является обобщением Ю.
Гомотетический центр в Энциклопедии Треугольных Центров назван Дао-Зееманом как перспектива линии OH . [7]
См. также
[ редактировать ]- Центральная линия
- Энциклопедия центров треугольников
- Центр тяжести треугольника
- Центральный треугольник
- линия Эйлера
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Jump up to: а б Кимберлинг, Кларк. «Госсард Перспектор» . Архивировано из оригинала 10 мая 2012 года . Проверено 17 июня 2012 г.
- ^ Jump up to: а б Кимберлинг, Кларк. "X(402) = Зееман--Госсаровский наблюдатель" . Энциклопедия центров треугольников . Архивировано из оригинала 19 апреля 2012 года . Проверено 17 июня 2012 г.
- ^ Кимберлинг, Кларк. «Гарри Клинтон Госсард» . Архивировано из оригинала 22 мая 2013 года . Проверено 17 июня 2012 г.
- ^ Jump up to: а б с Хациполакис, Антреас П. «Сообщение Гиацинта № 7564» . Архивировано из оригинала 5 января 2013 года . Проверено 17 июня 2012 г.
- ^ Гринберг, Дарий. «Сообщение Гиацитоса № 9666» . Архивировано из оригинала 5 января 2013 года . Проверено 18 июня 2012 г.
- ^ Дао Тхань Оай, Обобщение теоремы Зеемана-Госсарда о перспекторе , Международный журнал компьютерной математики, Том 1, (2016), Выпуск 3, стр. 76-79 , ISSN 2367-7775
- ^ Jump up to: а б Сезар Элиуд Лосада, Преамбула перед X (63787) Энциклопедия центров треугольников
- ^ Владимир Шеломовский, специалист Госсарда Искусство решения проблем