Центральный треугольник

В геометрии центральный треугольник — это треугольник, лежащий в плоскости опорного треугольника. Трилинейные координаты его вершин относительно опорного треугольника определенным циклическим образом выражаются через две функции, имеющие одинаковую степень однородности . По крайней мере одна из двух функций должна быть функцией центра треугольника . Внешний треугольник является примером центрального треугольника. Центральные треугольники были разделены на три типа на основе свойств двух функций.

Определение

Функция центра треугольника

- Функция центра треугольника это действительнозначная функция ⁠ $F(u,v,w)$ ⁠ трех действительных переменных $u, v, w,$ обладающих следующими свойствами:

Свойство однородности : $F(tu,tv,tw)=t^{n}F(u,v,w)$ для некоторой постоянной $n$ и для всех $t > 0$ . Константа $n$ — это степень однородности функции ⁠ $F(u,v,w).$ ⁠
Свойство бисимметрии: $F(u,v,w)=F(u,w,v).$

Центральные треугольники типа 1

Пусть ⁠ $f(u,v,w)$ ⁠ и ⁠ $g(u,v,w)$ ⁠ — две функции центра треугольника, а не обе тождественно нулевые функции, имеющие одинаковую степень однородности. Пусть $a, b, c$ — длины сторон опорного треугольника $△ ABC$ . -центральный треугольник $(f, g)$ типа 1 — это треугольник $△ A'B'C',$ трилинейные координаты вершин которого имеют следующий вид: ^[1]^[2]^{[ нужен лучший источник ]} ${\begin{array}{rcccccc}A'=&f(a,b,c)&:&g(b,c,a)&:&g(c,a,b)\\B'=&g(a,b,c)&:&f(b,c,a)&:&g(c,a,b)\\C'=&g(a,b,c)&:&g(b,c,a)&:&f(c,a,b)\end{array}}$

Центральные треугольники Типа 2

Пусть ⁠ $f(u,v,w)$ ⁠ — функция центра треугольника и ⁠ $g(u,v,w)$ ⁠ — функция-функция, удовлетворяющая свойству однородности и имеющая ту же степень однородности, что и ⁠. $f(u,v,w)$ ⁠, но не удовлетворяющий свойству бисимметрии. -центральный треугольник $(f, g)$ типа 2 — это треугольник $△ A'B'C',$ трилинейные координаты вершин которого имеют следующий вид: ^[1]^{[ нужен лучший источник ]} ${\begin{array}{rcccccc}A'=&f(a,b,c)&:&g(b,c,a)&:&g(c,b,a)\\B'=&g(a,c,b)&:&f(b,c,a)&:&g(c,a,b)\\C'=&g(a,b,c)&:&g(b,a,c)&:&f(c,a,b)\end{array}}$

Центральные треугольники Типа 3

Пусть ⁠ $g(u,v,w)$ ⁠ — функция центра треугольника. g $-$ центральным треугольником типа 3 называется треугольник $△ A'B'C',$ трилинейные координаты вершин которого имеют следующий вид: ^[1]^{[ нужен лучший источник ]} ${\begin{array}{rrcrcr}A'=&0\quad \ \ &:&g(b,c,a)&:&-g(c,b,a)\\B'=&-g(a,c,b)&:&0\quad \ \ &:&g(c,a,b)\\C'=&g(a,b,c)&:&-g(b,a,c)&:&0\quad \ \ \end{array}}$

Это вырожденный треугольник в том смысле, что точки $A', B', C'$ лежат на одной прямой.

Особые случаи

Если $f = g$ , $(f, g)$ -центральный треугольник типа 1 вырождается в центр треугольника $A'$ . Все центральные треугольники как 1-го, так и 2-го типа относительно равностороннего треугольника вырождаются в точку.

Примеры

Тип 1

Внешний треугольник треугольника $△ ABC$ является центральным треугольником типа 1. Это получается, если взять $f(u,v,w)=-1,\ g(u,v,w)=1.$

Пусть $X$ — центр треугольника, определяемый функцией центра треугольника ⁠ $g(a,b,c).$ ⁠ Тогда чевианский треугольник $X$ является $(0, g)$ -центральным треугольником типа 1. ^[3]^{[ нужен лучший источник ]}

Пусть $X$ — центр треугольника, определяемый функцией центра треугольника ⁠ $f(a,b,c).$ ⁠ Тогда антицевов треугольник $X$ является $(- f, f)$ -центральным треугольником типа 1. ^[4]^{[ нужен лучший источник ]}

Центральный треугольник Лукаса — это $(f, g)$ -центральный треугольник с $f(a,b,c)=a(2S+S_{2}),\quad g(a,b,c)=aS_{A},$ где $S$ — удвоенная площадь треугольника ABC, а $S_{A}={\tfrac {1}{2}}(b^{2}+c^{2}-a^{2}).$ ^[5]^{[ нужен лучший источник ]}

Тип 2

Пусть $X$ — центр треугольника. Педальный являются и антипедальный треугольники X $центральными треугольниками$ типа 2. ^[6]^{[ нужен лучший источник ]}
Yff Центральный Треугольник ^[7]^{[ нужен лучший источник ]}

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с Вайсштейн, Эрик В. «Центральный треугольник» . MathWorld — веб-ресурс Wolfram . Математический мир . Проверено 17 декабря 2021 г.
^ Кимберлинг, К. (1998). «Центры треугольников и центральные треугольники». Конгресс Нумерантиум. Журнал конференции по числовым темам. 129 . 129 .
^ Вайсштейн, Эрик В. «Чевианский треугольник» . MathWorld — веб-ресурс Wolfram . Математический мир . Проверено 18 декабря 2021 г.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Антицевский треугольник» . MathWorld — веб-ресурс Wolfram . Математический мир . Проверено 18 декабря 2021 г.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Центральный треугольник Лукаса» . MathWorld — веб-ресурс Wolfram . Математический мир . Проверено 18 декабря 2021 г.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Треугольник педали» . MathWorld — веб-ресурс Wolfram . Математический мир . Проверено 18 декабря 2021 г.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Центральный треугольник Yff» . MathWorld — веб-ресурс Wolfram . Математический мир . Проверено 18 декабря 2021 г.

[Wolf-1] Jump up to: ^а ^б ^с Вайсштейн, Эрик В. «Центральный треугольник» . MathWorld — веб-ресурс Wolfram . Математический мир . Проверено 17 декабря 2021 г.

[2] Кимберлинг, К. (1998). «Центры треугольников и центральные треугольники». Конгресс Нумерантиум. Журнал конференции по числовым темам. 129 . 129 .

[3] Вайсштейн, Эрик В. «Чевианский треугольник» . MathWorld — веб-ресурс Wolfram . Математический мир . Проверено 18 декабря 2021 г.

[4] Вайсштейн, Эрик В. «Антицевский треугольник» . MathWorld — веб-ресурс Wolfram . Математический мир . Проверено 18 декабря 2021 г.

[5] Вайсштейн, Эрик В. «Центральный треугольник Лукаса» . MathWorld — веб-ресурс Wolfram . Математический мир . Проверено 18 декабря 2021 г.

[6] Вайсштейн, Эрик В. «Треугольник педали» . MathWorld — веб-ресурс Wolfram . Математический мир . Проверено 18 декабря 2021 г.

[7] Вайсштейн, Эрик В. «Центральный треугольник Yff» . MathWorld — веб-ресурс Wolfram . Математический мир . Проверено 18 декабря 2021 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]