Интерполяция Эрмита

В численном анализе интерполяция Эрмита , названная в честь Чарльза Эрмита , представляет собой метод полиномиальной интерполяции , который обобщает интерполяцию Лагранжа . Интерполяция Лагранжа позволяет вычислить полином степени меньше $n$ , который принимает то же значение в $n$ заданных точках, что и заданная функция. Вместо этого интерполяция Эрмита вычисляет полином степени меньше $n,$ такой, что полином и его первые несколько производных имеют те же значения в $m$ (меньше $n$ ) заданных точках, что и заданная функция и ее первые несколько производных в этих точках. Количество фрагментов информации, значений функций и производных значений должно в сумме составлять $n$ .

Метод интерполяции Эрмита тесно связан с методом интерполяции Ньютона , поскольку оба могут быть получены путем вычисления разделенных разностей . Однако существуют и другие методы вычисления интерполяционного полинома Эрмита. Можно использовать линейную алгебру , взяв коэффициенты интерполяционного полинома в качестве неизвестных и записав в виде линейных уравнений ограничения, которым должен удовлетворять интерполирующий полином. О другом методе см. Китайскую теорему об остатках § Интерполяция Эрмита . Еще один метод см. ^[1] который использует контурную интеграцию.

Постановка задачи

В ограниченной формулировке, изученной в ^[2] Интерполяция Эрмита состоит в вычислении полинома как можно более низкой степени, который соответствует неизвестной функции как по наблюдаемому значению, так и по наблюдаемому значению ее первых $m$ производных. Это означает, что $n (m + 1)$ значений ${\begin{matrix}(x_{0},y_{0}),&(x_{1},y_{1}),&\ldots ,&(x_{n-1},y_{n-1}),\\[1ex](x_{0},y_{0}'),&(x_{1},y_{1}'),&\ldots ,&(x_{n-1},y_{n-1}'),\\[1ex]\vdots &\vdots &&\vdots \\[1.2ex](x_{0},y_{0}^{(m)}),&(x_{1},y_{1}^{(m)}),&\ldots ,&(x_{n-1},y_{n-1}^{(m)})\end{matrix}}$ должно быть известно. Полученный полином имеет степень меньше $n (m + 1)$ . (В более общем случае нет необходимости, чтобы $m$ было фиксированным значением; то есть некоторые точки могут иметь больше известных производных, чем другие. В этом случае результирующий полином имеет степень меньшую, чем количество точек данных.)

Рассмотрим многочлен $P (x)$ степени меньше $n (m +1)$ с неопределенными коэффициентами; то есть коэффициенты $P (x)$ представляют собой $n (m + 1)$ новых переменных. Тогда, записав ограничения, которым должен удовлетворять интерполяционный полином, получаем систему из $n (m + 1)$ линейных уравнений с $n (m + 1)$ неизвестными.

В общем случае такая система имеет ровно одно решение. В, ^[1] Чарльз Эрмит использовал контурное интегрирование, чтобы доказать, что это действительно так, и найти единственное решение при условии, что $попарно xi$ различны. Ниже описан метод вычисления решения. ^[3]

Метод

Простой случай, когда все $k=2$

При использовании разделенных разностей для вычисления полинома Эрмита функции f первым шагом является копирование каждой точки m раз. (Здесь мы рассмотрим простейший случай $m=1$ для всех точек.) Поэтому, учитывая $n+1$ точки данных $x_{0},x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ и значения $f(x_{0}),f(x_{1}),\ldots ,f(x_{n})$ и $f'(x_{0}),f'(x_{1}),\ldots ,f'(x_{n})$ для функции $f$ что мы хотим интерполировать, мы создаем новый набор данных $z_{0},z_{1},\ldots ,z_{2n+1}$ такой, что $z_{2i}=z_{2i+1}=x_{i}.$

Теперь мы создаем таблицу разделенных разностей для точек $z_{0},z_{1},\ldots ,z_{2n+1}$ . Однако для некоторых разделенных различий $z_{i}=z_{i+1}\implies f[z_{i},z_{i+1}]={\frac {f(z_{i+1})-f(z_{i})}{z_{i+1}-z_{i}}}={\frac {0}{0}}$ который не определен.В этом случае разделенная разность заменяется на $f'(z_{i})$ . Все остальные рассчитываются нормально.

Более общий случай, когда $k>2$

В общем случае пусть задана точка $x_{i}$ имеет k производных. Затем набор данных $z_{0},z_{1},\ldots ,z_{N}$ содержит k одинаковых копий $x_{i}$ . При создании таблицы разделенные разницы $j=2,3,\ldots ,k$ идентичные значения будут рассчитаны как ${\frac {f^{(j)}(x_{i})}{j!}}.$

Например, $f[x_{i},x_{i},x_{i}]={\frac {f''(x_{i})}{2}}$ $f[x_{i},x_{i},x_{i},x_{i}]={\frac {f^{(3)}(x_{i})}{6}}$ и т. д.

Быстрый алгоритм для полностью общего случая приведен в . ^[4] Более медленный, но более численно устойчивый алгоритм описан в . ^[5]

Пример

Рассмотрим функцию $f(x)=x^{8}+1$ . Вычисление функции и ее первых двух производных при $x\in \{-1,0,1\}$ , получим следующие данные:

$х$	$е (х)$	$ж'(Икс)$	$ж ″(х)$
−1	2	−8	56
0	1	0	0
1	2	8	56

Поскольку у нас есть две производные, с которыми нужно работать, мы строим набор $\{z_{i}\}=\{-1,-1,-1,0,0,0,1,1,1\}$ . Тогда наша таблица разделенных разностей будет выглядеть так: ${\begin{array}{llcclrrrrr}z_{0}=-1&f[z_{0}]=2&&&&&&&&\\&&{\frac {f'(z_{0})}{1}}=-8&&&&&&&\\z_{1}=-1&f[z_{1}]=2&&{\frac {f''(z_{1})}{2}}=28&&&&&&\\&&{\frac {f'(z_{1})}{1}}=-8&&f[z_{3},z_{2},z_{1},z_{0}]=-21&&&&&\\z_{2}=-1&f[z_{2}]=2&&f[z_{3},z_{2},z_{1}]=7&&15&&&&\\&&f[z_{3},z_{2}]=-1&&f[z_{4},z_{3},z_{2},z_{1}]=-6&&-10&&&\\z_{3}=0&f[z_{3}]=1&&f[z_{4},z_{3},z_{2}]=1&&5&&4&&\\&&{\frac {f'(z_{3})}{1}}=0&&f[z_{5},z_{4},z_{3},z_{2}]=-1&&-2&&-1&\\z_{4}=0&f[z_{4}]=1&&{\frac {f''(z_{4})}{2}}=0&&1&&2&&1\\&&{\frac {f'(z_{4})}{1}}=0&&f[z_{6},z_{5},z_{4},z_{3}]=1&&2&&1&\\z_{5}=0&f[z_{5}]=1&&f[z_{6},z_{5},z_{4}]=1&&5&&4&&\\&&f[z_{6},z_{5}]=1&&f[z_{7},z_{6},z_{5},z_{4}]=6&&10&&&\\z_{6}=1&f[z_{6}]=2&&f[z_{7},z_{6},z_{5}]=7&&15&&&&\\&&{\frac {f'(z_{6})}{1}}=8&&f[z_{8},z_{7},z_{6},z_{5}]=21&&&&&\\z_{7}=1&f[z_{7}]=2&&{\frac {f''(z_{7})}{2}}=28&&&&&&\\&&{\frac {f'(z_{7})}{1}}=8&&&&&&&\\z_{8}=1&f[z_{8}]=2&&&&&&&&\\\end{array}}$ и сгенерированный полином ${\begin{aligned}P(x)&=2-8(x+1)+28(x+1)^{2}-21(x+1)^{3}+15x(x+1)^{3}-10x^{2}(x+1)^{3}\\&\quad {}+4x^{3}(x+1)^{3}-1x^{3}(x+1)^{3}(x-1)+x^{3}(x+1)^{3}(x-1)^{2}\\&=2-8+28-21-8x+56x-63x+15x+28x^{2}-63x^{2}+45x^{2}-10x^{2}-21x^{3}\\&\quad {}+45x^{3}-30x^{3}+4x^{3}+x^{3}+x^{3}+15x^{4}-30x^{4}+12x^{4}+2x^{4}+x^{4}\\&\quad {}-10x^{5}+12x^{5}-2x^{5}+4x^{5}-2x^{5}-2x^{5}-x^{6}+x^{6}-x^{7}+x^{7}+x^{8}\\&=x^{8}+1.\end{aligned}}$ взяв коэффициенты из диагонали таблицы разделенных разностей и умножив k- й коэффициент на ${\textstyle \prod _{i=0}^{k-1}(x-z_{i})}$ , как и при создании полинома Ньютона.

Квинтическая интерполяция Эрмита

Интерполяция Эрмита пятой степени, основанная на функции ( $f$ ), его первый ( $f'$ ) и вторые производные ( $f''$ ) в двух разных точках ( $x_{0}$ и $x_{1}$ ) можно использовать, например, для интерполяции положения объекта на основе его положения, скорости и ускорения.Общий вид имеет вид ${\begin{aligned}p(x)&=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+{\frac {1}{2}}f''(x_{0})(x-x_{0})^{2}+{\frac {f(x_{1})-f(x_{0})-f'(x_{0})(x_{1}-x_{0})-{\frac {1}{2}}f''(x_{0})(x_{1}-x_{0})^{2}}{(x_{1}-x_{0})^{3}}}(x-x_{0})^{3}\\&+{\frac {3f(x_{0})-3f(x_{1})+2\left(f'(x_{0})+{\frac {1}{2}}f'(x_{1})\right)(x_{1}-x_{0})+{\frac {1}{2}}f''(x_{0})(x_{1}-x_{0})^{2}}{(x_{1}-x_{0})^{4}}}(x-x_{0})^{3}(x-x_{1})\\&+{\frac {6f(x_{1})-6f(x_{0})-3\left(f'(x_{0})+f'(x_{1})\right)(x_{1}-x_{0})+{\frac {1}{2}}\left(f''(x_{1})-f''(x_{0})\right)(x_{1}-x_{0})^{2}}{(x_{1}-x_{0})^{5}}}(x-x_{0})^{3}(x-x_{1})^{2}.\end{aligned}}$

Ошибка

Вызовите вычисленный полином H и исходную функцию f . Рассмотрим сначала действительный случай. Оценка точки $x\in [x_{0},x_{n}]$ , функция ошибки $f(x)-H(x)={\frac {f^{(K)}(c)}{K!}}\prod _{i}(x-x_{i})^{k_{i}},$ где c — неизвестное в диапазоне $[x_{0},x_{N}]$ , K — общее количество точек данных, а $k_{i}$ количество производных, известных в каждом $x_{i}$ .Таким образом, степень полинома справа на единицу выше, чем степень, ограниченная для $H(x)$ . При этом ошибка и все ее производные с точностью до $k_{i}-1$ Первый порядок равен нулю в каждом узле, как и должно быть.

В сложном случае, как описано, например, на с. 360 дюймов, ^[5] $f(z)-H(z)={\frac {w(z)}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f(\zeta )}{w(\zeta )(\zeta -z)}}d\zeta$ где контур $C$ заключает в себе $z$ и все узлы $x_{i}$ , а узловой полином равен $w(z)=\prod _{i}(z-x_{i})^{k_{i}}$ .

См. также

Кубический сплайн Эрмита
Ряд Ньютона , также известный как конечные разности
Схема Невилла
Полиномы Бернштейна

Ссылки

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Эрмит, Чарльз (1878). «Об интерполяционной формуле Лагранжа» . Дж. Куин Энджью. Математика. : 70–79.
^ Трауб, Дж. Ф. (декабрь 1964 г.). «Об интерполяции Лагранжа — Эрмита» . J. Общество промышленной и прикладной математики . 12 (4): 886–891.
^ Шпицбарт, А. (январь 1960 г.). «Обобщение интерполяции Эрмита» . Американский математический ежемесячник . 67 (1): 42–46 . Проверено 2 июня 2024 г.
^ Шнайдер, К; Вернер, В. (1991). «Интерполяция Эрмита: барицентрический подход» . Вычисление . 46 : 35–51.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Корлесс, Роберт М; Филлион, Николас (2013). Введение в численные методы для выпускников . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-1-4614-8452-3 .

Внешние ссылки

Интерполирующий полином Эрмита в Mathworld

[Hermite1878-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Эрмит, Чарльз (1878). «Об интерполяционной формуле Лагранжа» . Дж. Куин Энджью. Математика. : 70–79.

[2] Трауб, Дж. Ф. (декабрь 1964 г.). «Об интерполяции Лагранжа — Эрмита» . J. Общество промышленной и прикладной математики . 12 (4): 886–891.

[3] Шпицбарт, А. (январь 1960 г.). «Обобщение интерполяции Эрмита» . Американский математический ежемесячник . 67 (1): 42–46 . Проверено 2 июня 2024 г.

[4] Шнайдер, К; Вернер, В. (1991). «Интерполяция Эрмита: барицентрический подход» . Вычисление . 46 : 35–51.

[CF2013-5] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Корлесс, Роберт М; Филлион, Николас (2013). Введение в численные методы для выпускников . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-1-4614-8452-3 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]