Знаковая функция матрицы

В математике матричная знаковая функция представляет собой матричную функцию на квадратных матрицах, аналогичную комплексной знаковой функции . ^[1]

Он был представлен Дж. Д. Робертсом в 1971 году как инструмент для редукции моделей и для решения Ляпунова и алгебраического уравнения Риккати в техническом отчете Кембриджского университета , который позже был опубликован в журнале в 1980 году. ^[2]^[3]

Определение

Матричная знаковая функция является обобщением комплексной сигнум-функции.

$\operatorname {csgn} (z)={\begin{cases}1&{\text{if }}\mathrm {Re} (z)>0,\\-1&{\text{if }}\mathrm {Re} (z)<0,\end{cases}}$

к матричному аналогу $\operatorname {csgn} (A)$ . Хотя знаковая функция не является аналитической , матричная функция четко определена для всех матриц, которые не имеют собственного значения на мнимой оси , см., например, определение на основе жордановой формы (где все производные равны нулю).

Характеристики

Теорема: Пусть $A\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ , затем $\operatorname {csgn} (A)^{2}=I$ . ^[1]

Теорема: Пусть $A\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ , затем $\operatorname {csgn} (A)$ диагонализуема и имеет собственные значения , которые $\pm 1$ . ^[1]

Теорема: Пусть $A\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ , затем $(I+\operatorname {csgn} (A))/2$ является проектором на инвариантное подпространство , связанное с собственными значениями в правой полуплоскости , и аналогично для $(I-\operatorname {csgn} (A))/2$ и левая полуплоскость . ^[1]

Теорема: Пусть $A\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ , и $A=P{\begin{bmatrix}J_{+}&0\\0&J_{-}\end{bmatrix}}P^{-1}$ — разложение Жордана такое, что $J_{+}$ соответствует собственным значениям с положительной действительной частью и $J_{-}$ собственному значению с отрицательной действительной частью. Затем $\operatorname {csgn} (A)=P{\begin{bmatrix}I_{+}&0\\0&-I_{-}\end{bmatrix}}P^{-1}$ , где $I_{+}$ и $I_{-}$ являются единичными матрицами размеров, соответствующих $J_{+}$ и $J_{-}$ , соответственно. ^[1]

Вычислительные методы

Функцию можно вычислить с помощью общих методов для матричных функций , но существуют и специализированные методы.

Итерация Ньютона

можно Итерацию Ньютона получить, наблюдая, что $\operatorname {csgn} (x)={\sqrt {x^{2}}}/x$ , что в терминах матриц можно записать как $\operatorname {csgn} (A)=A^{-1}{\sqrt {A^{2}}}$ , где мы используем квадратный корень матрицы . Если мы применим вавилонский метод для вычисления квадратного корня матрицы $A^{2}$ , то есть итерация ${\textstyle X_{k+1}={\frac {1}{2}}\left(X_{k}+AX_{k}^{-1}\right)}$ и определите новую итерацию $Z_{k}=A^{-1}X_{k}$ , мы приходим к итерации

$Z_{k+1}={\frac {1}{2}}\left(Z_{k}+Z_{k}^{-1}\right)$ ,

где обычно $Z_{0}=A$ . Сходимость глобальная, а локально квадратичная. ^[1]^[2]

Итерация Ньютона использует явную обратную итерацию $Z_{k}$ .

Итерация Ньютона – Шульца

Чтобы избежать необходимости явного обратного метода, используемого в итерации Ньютона, обратное можно аппроксимировать одним шагом итерации Ньютона для обратного : $Z_{k}^{-1}\approx Z_{k}\left(2I-Z_{k}^{2}\right)$ , выведенный Шульцем ( де ) в 1933 году. ^[4] Подставляя это приближение в предыдущий метод, новый метод становится

$Z_{k+1}={\frac {1}{2}}Z_{k}\left(3I-Z_{k}^{2}\right)$ .

Сходимость (по-прежнему) квадратичная, но только локальная (гарантированная для $\|I-A^{2}\|<1$ ). ^[1]

Приложения

Решения уравнений Сильвестра

Теорема: ^[2]^[3] Позволять $A,B,C\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ и предположим, что $A$ и $B$ устойчивы , то единственное решение Сильвестра уравнения $AX+XB=C$ , определяется $X$ такой, что

${\begin{bmatrix}-I&2X\\0&I\end{bmatrix}}=\operatorname {csgn} \left({\begin{bmatrix}A&-C\\0&-B\end{bmatrix}}\right).$

Схема доказательства: результат следует из преобразования подобия.

${\begin{bmatrix}A&-C\\0&-B\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}I&X\\0&I\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&0\\0&-B\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I&X\\0&I\end{bmatrix}}^{-1},$

с

$\operatorname {csgn} \left({\begin{bmatrix}A&-C\\0&-B\end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}I&X\\0&I\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I&0\\0&-I\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I&-X\\0&I\end{bmatrix}},$

из-за стабильности $A$ и $B$ .

Теорема, естественно, применима и к уравнению Ляпунова . Однако из-за структуры итерация Ньютона упрощается до включения только обратных чисел. $A$ и $A^{T}$ .

Решения алгебраических уравнений Риккати

Аналогичный результат применим и к алгебраическому уравнению Риккати : $A^{H}P+PA-PFP+Q=0$ . ^[1]^[2] Определять $V,W\in \mathbb {C} ^{2n\times n}$ как

${\begin{bmatrix}V&W\end{bmatrix}}=\operatorname {csgn} \left({\begin{bmatrix}A^{H}&Q\\F&-A\end{bmatrix}}\right)-{\begin{bmatrix}I&0\\0&I\end{bmatrix}}.$

В предположении, что $F,Q\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ являются эрмитовыми и существует единственное стабилизирующее решение в том смысле, что $A-FP$ устойчива непротиворечивой , то решение дается переопределенной , но линейной системой

$VP=-W.$

Эскиз доказательства: преобразование подобия

${\begin{bmatrix}A^{H}&Q\\F&-A\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}P&-I\\I&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}(-A-FP)&-F\\0&(A-FP)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}P&-I\\I&0\end{bmatrix}}^{-1},$

и стабильность $A-FP$ подразумевает, что

$\left(\operatorname {csgn} \left({\begin{bmatrix}A^{H}&Q\\F&-A\end{bmatrix}}\right)-{\begin{bmatrix}I&0\\0&I\end{bmatrix}}\right){\begin{bmatrix}X&-I\\I&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}X&-I\\I&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&Y\\0&-2I\end{bmatrix}},$

для какой-то матрицы $Y\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ .

Вычисления матричного квадратного корня

Итерацию Денмана-Биверса для квадратного корня матрицы можно получить из итерации Ньютона для знаковой функции матрицы, заметив, что $A-PIP=0$ — вырождающееся алгебраическое уравнение Риккати ^[3] и по определению решение $P$ квадратный корень из $A$ .

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час Хайэм, Николас Дж. (2008). Функции матриц: теория и вычисления . Общество промышленной и прикладной математики. Филадельфия, Пенсильвания: Общество промышленной и прикладной математики (SIAM, 3600 Market Street, этаж 6, Филадельфия, Пенсильвания, 19104). ISBN 978-0-89871-777-8 . OCLC 693957820 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Робертс, JD (октябрь 1980 г.). «Сведение линейной модели и решение алгебраического уравнения Риккати с использованием знаковой функции» . Международный журнал контроля . 32 (4): 677–687. дои : 10.1080/00207178008922881 . ISSN 0020-7179 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Денман, Юджин Д.; Бобры, Алекс Н. (1976). «Матричная знаковая функция и вычисления в системах» . Прикладная математика и вычислительная техника . 2 (1): 63–94. дои : 10.1016/0096-3003(76)90020-5 . ISSN 0096-3003 .
^ Шульц, Гюнтер (1933). «Итерационное вычисление обратной матрицы» . ЗАММ — Журнал прикладной математики и механики . 13 (1): 57–59. Нагрудный код : 1933ЗаММ...13...57С . дои : 10.1002/zamm.19330130111 . ISSN 1521-4001 .

[:0-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час Хайэм, Николас Дж. (2008). Функции матриц: теория и вычисления . Общество промышленной и прикладной математики. Филадельфия, Пенсильвания: Общество промышленной и прикладной математики (SIAM, 3600 Market Street, этаж 6, Филадельфия, Пенсильвания, 19104). ISBN 978-0-89871-777-8 . OCLC 693957820 .

[:1-2] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Робертс, JD (октябрь 1980 г.). «Сведение линейной модели и решение алгебраического уравнения Риккати с использованием знаковой функции» . Международный журнал контроля . 32 (4): 677–687. дои : 10.1080/00207178008922881 . ISSN 0020-7179 .

[:2-3] Jump up to: ^а ^б ^с Денман, Юджин Д.; Бобры, Алекс Н. (1976). «Матричная знаковая функция и вычисления в системах» . Прикладная математика и вычислительная техника . 2 (1): 63–94. дои : 10.1016/0096-3003(76)90020-5 . ISSN 0096-3003 .

[4] Шульц, Гюнтер (1933). «Итерационное вычисление обратной матрицы» . ЗАММ — Журнал прикладной математики и механики . 13 (1): 57–59. Нагрудный код : 1933ЗаММ...13...57С . дои : 10.1002/zamm.19330130111 . ISSN 1521-4001 .

[1]

[2]

[3]

[4]