Матрица Гурвица

В математике матрица Гурвица или матрица Рауса-Гурвица в инженерной матрице устойчивости представляет собой структурированную действительную квадратную матрицу, построенную с коэффициентами вещественного многочлена.

Матрица Гурвица и критерий устойчивости Гурвица

А именно, учитывая действительный полином

$p(z)=a_{0}z^{n}+a_{1}z^{n-1}+\cdots +a_{n-1}z+a_{n}$

тот $n\times n$ квадратная матрица

$H={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}&\dots &\dots &\dots &0&0&0\\a_{0}&a_{2}&a_{4}&&&&\vdots &\vdots &\vdots \\0&a_{1}&a_{3}&&&&\vdots &\vdots &\vdots \\\vdots &a_{0}&a_{2}&\ddots &&&0&\vdots &\vdots \\\vdots &0&a_{1}&&\ddots &&a_{n}&\vdots &\vdots \\\vdots &\vdots &a_{0}&&&\ddots &a_{n-1}&0&\vdots \\\vdots &\vdots &0&&&&a_{n-2}&a_{n}&\vdots \\\vdots &\vdots &\vdots &&&&a_{n-3}&a_{n-1}&0\\0&0&0&\dots &\dots &\dots &a_{n-4}&a_{n-2}&a_{n}\end{pmatrix}}.$

называется матрицей Гурвица, соответствующей многочлену $p$. установил В 1895 году Адольф Гурвиц , что действительный полином с $a_{0}>0$ стабилен ​ (т. е. все ее корни имеют строго отрицательную действительную часть) тогда и только тогда, когда все ведущие главные миноры матрицы $H(p)$ положительные:

${\begin{aligned}\Delta _{1}(p)&={\begin{vmatrix}a_{1}\end{vmatrix}}&&=a_{1}>0\\[2mm]\Delta _{2}(p)&={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\a_{0}&a_{2}\\\end{vmatrix}}&&=a_{2}a_{1}-a_{0}a_{3}>0\\[2mm]\Delta _{3}(p)&={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}\\a_{0}&a_{2}&a_{4}\\0&a_{1}&a_{3}\\\end{vmatrix}}&&=a_{3}\Delta _{2}-a_{1}(a_{1}a_{4}-a_{0}a_{5})>0\end{aligned}}$

и так далее. Несовершеннолетние $\Delta _{k}(p)$ называются определителями Гурвица . Аналогично, если $a_{0}<0$ тогда полином устойчив тогда и только тогда, когда главные миноры имеют чередующиеся знаки, начиная с отрицательного.

Стабильные матрицы Гурвица

В технике и теории устойчивости квадратная матрица $A$ называется матрицей Гурвица, если каждое собственное значение матрицы $A$ имеет строго отрицательную действительную часть , т. е.

$\operatorname {Re} [\lambda _{i}]<0\,$

для каждого собственного значения $\lambda _{i}$. $A$ называется также устойчивой матрицей , поскольку тогда дифференциальное уравнение

${\dot {x}}=Ax$

, асимптотически устойчива т. е. $x(t)\to 0$ как $t\to \infty .$

Если $G(s)$ является (матричнозначной) передаточной функцией , тогда $G$ называется гурвицевым, если полюса всех элементов $G$ иметь отрицательную действительную часть. Обратите внимание, что это не обязательно $G(s),$ для конкретного аргумента $s,$ быть матрицей Гурвица — она даже не обязательно должна быть квадратной. Связь в том, что если $A$ является матрицей Гурвица, то динамическая система

${\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)$

$y(t)=Cx(t)+Du(t)\,$

имеет передаточную функцию Гурвица.

Любая гиперболическая неподвижная точка (или точка равновесия ) непрерывной динамической системы локально асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда якобиан динамической системы устойчив по Гурвицу в фиксированной точке.

Матрица устойчивости Гурвица является важной частью теории управления . Система устойчива , если ее матрица управления является матрицей Гурвица. Отрицательные действительные компоненты собственных значений матрицы представляют собой отрицательную обратную связь . Точно так же система по своей природе нестабильна , если любое из собственных значений имеет положительные действительные компоненты, представляющие положительную обратную связь .

См. также

• Критерий Льенара – Шипарта
• М-матрица
• P-матрица
• Теорема Перрона – Фробениуса
• Z-матрица
• Критерий устойчивости Жюри для аналогового критерия для систем с дискретным временем.

Ссылки

• Аснер, Бернард А. младший (1970). «О полной неотрицательности матрицы Гурвица». SIAM Journal по прикладной математике . 18 (2): 407–414. дои : 10.1137/0118035 . JSTOR   2099475 .
• Димитров, Димитар К.; Пенья, Хуан Мануэль (2005). «Почти строгая полная положительность и класс полиномов Гурвица» . Журнал теории приближения . 132 (2): 212–223. дои : 10.1016/j.jat.2004.10.010 . hdl : 11449/21728 .
• Гантмахер, Франция (1959). Приложения теории матриц . Нью-Йорк: Интерсайенс .
• Гурвиц, А. (1895). «Об условиях, при которых уравнение имеет корни только с отрицательными действительными частями» . Математические летописи . 46 (2): 273–284. дои : 10.1007/BF01446812 . S2CID   121036103 .
• Халил, Хасан К. (2002). Нелинейные системы . Прентис Холл .
• Ленигк, Зигфрид Х. (1970). «О матрице Гурвица». Журнал прикладной математики и физики . 21 (3): 498–500. Бибкод : 1970ЗаМП...21..498Л . дои : 10.1007/BF01627957 . S2CID   123380473 .

Эта статья включает в себя материал из матрицы Гурвица на сайте PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

Внешние ссылки

• «Матрица Гурвица» . ПланетаМатематика .